河北省武邑中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试卷理201902190331

1、武邑中学 2018-2019 学上学期高二期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 a = x x2- x - 2 0且 a 11 ，若当 x3 1时，不等式x3 ax 恒成立，则a 的最小值是 ()a1a. eb. eec. 2d. ln2二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 正三角形 abc 的边长为 1， g 是其重心，则 ab ? ag.2 / 1214.14. 命题“当 c0 时，若 ab ，则 ac bc . ”的逆命题是15. 已知

2、椭圆 x2y22 +2=1 a b 0 ， f1 和 f2 是椭圆的左、右焦点，过f1 的直线交椭圆于ab()a(x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) 两点，若 abf2 的内切圆半径为1， f1 f2 = 2， y1 - y2 = 3，则椭圆离心率为.16. 如图，在三棱锥 pabc ， abc 为等边三角形，pac 为等腰直角三角形， papc 4 ，平面 pac平面 abc ， d 为 ab 的中点，则异面直线ac 与 pd 所成角的余弦值为三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知数列 an 是等差数列， a1 =

3、 t 2 -t ， a2 = 4， a3 = t 2 + t .(1)求数列 an 的通项公式；(2)若数列an 为递增数列，数列 bn 满足 log 2 bn(n)n 的前 n 项和 sn .= an ，求数列 a- 1 b18. 为创建国家级文明城市， 某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1) 求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2) 从这 200 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量x ，求 x的分布列及数学期望.3 / 1219. （ 12 分）已知函

4、数 f xx3ax2bx a, b r 的图象过点p（1,2 ），且在 x1 处3取得极值（ 1）求 a, b 的值；（ 2）求函数 f x 的单调区间；（ 3）求函数 f x 在 1,1 上的最值20. 已知点 m (2,1) 在抛物线 c : y = ax2 上， a, b 是抛物线上异于m 的两点，以ab 为直径的圆过点 m .(1) 证明：直线 ab 过定点；(2) 过点 m 作直线 ab 的垂线，求垂足 n 的轨迹方程 .21. （本大题满分12 分）如图，在五面体abcdpn 中，棱 pa底面2abcd ， abbadap 2pn . 底面 abcd 是菱形，3 .（）求证：pna

5、b ；（）求二面角bdnc 的余弦值 .22. （本大题满分 12 分）已知椭圆 c :x2y21(a b 0)过点 a(2,3) , 且离心率 e1a2b224 / 12（i ）求椭圆 c 的标准方程om16b(0, 4) 的直线 l 交椭圆与不同的两点on（ii ）是否存在过点m , n , 且满足7( 其中 o 为坐标原点 )。若存在 , 求出直线 l 的方程；若不存在, 请说明理由。23. 如图，在四棱锥 pabcd 中，侧面 pad 底面 abcd ，侧棱 pa pd2，底面 abcd为直角梯形，其中 bc ad ， ab ad ， ad 2ab 2bc2 ， o 为 ad 中点（

6、1）求证：po 平面 abcd ；（ 2）求异面直线 pb 与 cd 所成角的余弦值；（ 3）求点 a 到平面 pcd 的距离5 / 12高二数学 ( 理科 ) 参考答案1-5:cabdb6-10:bddac11、 12： ca13. 114.当 c0 时，若 acbc ，则 ab15.223216. 417. 解： (1) 由题意得 tt = 2 时， a1 = 2 ，公差2 2- t + t + t = 2td = 2 ，所以 an2= 8 ，所以 t =? 2，= 2n ，t = - 2 时， a1 = 6 ，公差 d = - 2 ，所以 an = 8 - 2n .(2) 若数列 an

7、为递增数列， 则 an= 2n ，所以log 2 bn = 2n ， bn= 4n ，(an- 1)bn = (2n - 1)?4n ，所以23n- 1nsn =1?4 3 ?45?4 + (2n - 3)?4(2n - 1)?4 ，4 sn = 1?423?435?44 + (2n - 3)?4n (2n - 1)?4n +1 ，42 1 - 4n- 1)所以 - 3sn= 4 + 2?422?43 + 2 ?4 n (2n - 1)?4n +1 = 4 + 2 ?( - 3(2n - 1) 4n+1= - 20 - (6n - 5)4 n+1，所以s = (6n - 5) 4n +1 +2

8、03n9.18. 解：由图可知，参加送考次数为1 次， 2 次， 3 次的司机人数分别为20，100， 80.(1) 该出租车公司司机参加送考的人均次数为：1? 20 2? 100 3 ? 80.= 2.3200(2) 从该公司任选两名司机， 记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 a ，“这两人中一人参加2 次，另一人参加3 次送考”为事件 b ，“这两人中一人参加1 次，另一人参加3 次送考”为事件 c ，“这两人参加次数相同”为事件d .则 p (x = 1) = p ( a)+ p (b) =c201 c1001+c1001c801100， p (x = 2) =

9、 p(c ) =c201 c8011622=2=，c200c200199c200199px = 0= pd)=c202 + c1002+c80283c2002=.()(199x 的分布列：x012p83100161991991996 / 12x 的数学期望 ex = 0 ?831? 1002?16132 .19919919919919. （ 12 分） 【解析】（1）函数 fxx3ax2bxa,br的图象过点 p（ 1,2 ），f (1)2,ab1（1 分）又函数 fx在 x1处取得极值，f 1033因 f x3x22axb2a3b1解得 a4, b3，（ 3 分）经检验 x1（ 4 分）是

10、f x 的极值点3（2）由（ 1）得 f x3x28x3 ，令 f x 0，得 x -3 或 x 1 ，3令 f x 0，得 -3 x 1 ，（ 6 分）3所以，函数fx 的单调增区间为,3 ,1 ,，3单调减区间为3, 1（ 8 分）3（3）由（ 2）知， fx在1,1上是减函数，在1 ,1 上是增函数33所以 fx又 f 1所以 fx所以，函数在1,1上的最小值为114（10 分）f，3276, f12在1,1上的最大值为f 16f x 在1,1 上的最小值为1427 ，最大值为 6（ 12 分）20. 解： (1) 点 m 在抛物线 c : y = ax2 上，代入得 a =1 ，所以抛

11、物线 c 的方程为 x2 = 4 y ，47 / 12由题意知，直线ab 的斜率存在，设直线ab 的方程为 y = kx + m ，设 a(x1 , y1) ， b(x2 , y2 ) ， 22? x = 4 y? x4 kx - 4m = 0，得 x1 + x2 = 4 k ， x1 ? x2 - 4m ，联立得 ? y = kx +m?由于 ma mb ，所以 ma ?mb0 ，即 (x1 - 2)( x2 - 2) +( y1 - 1)( y2 - 1) = 0 ，即 x1 x2 - 2(x1 + x2 ) + y1 y2 - ( y1 + y2 ) + 5 = 0 .(*)又因为22y

12、1 + y2 = k (x1+ x2 ) + 2m ， y1 ? y2 k x1 x2 + km (x1 + x2 ) + m ，式得 4k 2 +8k22代入 (*)= m2 - 6m + 5 ，即 (2k +2)= (m - 3) ，所以 2k + 2 = m - 3或 2k + 2 = 3 - m ，即 m = 2k + 5 或 m =- 2k +1.当 m = 2k + 5 时，直线 ab 方程为 y = k (x + 2) +5，恒过定点 (- 2,5) ，经验证，此时d 0 ，符合题意；当 m = - 2k +1时，直线 ab 方程为 y = k (x - 2) +1，恒过定点 (

13、2,1) ，不合题意，所以直线 ab 恒过定点 (- 2,5) .(2) 由 (1) ，设直线 ab 恒过定点 r(- 2,5) ，则点 n 的轨迹是以mr 为直径的圆且去掉(2,1) ，方程为 x2 + ( y - 3)2 = 8( y ? 1).21. 解：（）在菱形abcd 中， abcd ， cd面 cdpn ， ab面 cdpn ， ab面 cdpn .又 ab面 abpn ，面 abpn面 cdpnpn ， ab pn .（）作 cd 的中点 m ，则由题意知amab ， pa面 abcd ， paab，paam .如图，以 a 点为原点，建立空间直角坐标系axyz ，8 / 12

14、设 ab2 ，则 b(2,0,0)， c (1,3,0)， d (1, 3,0)， n (0,0,2) ， bd( 3,3,0) ， dn(1,3, 2) ， cd(2,0,0) .设平面 bdn 的一个法向量为n1( x1 , y1, z1 ) ，3x13 y10则由 n1bd 0， n1 dn0 ，得 x13y12z1 0 ，令 x11，则 y13 ， z11，即 n1(1,3,1) ，同理，设平面 dnc 的一个法向量为n2( x2 , y2 , z2 ) ，x23y22 z20由n2 bd 0，n2 dn 0，得2x20，令 z21，则y23n2(0,3 ,1)2 ， x20 ，即2，

15、cosn1 , n2n1n23535n1n27 ，即二面角 bdnc 的余弦值为7 .x2y2, 且离心率 e122. （ 1）椭圆 c : a2b21 ab0过点 a2,32491a2b2c1a2a2b2c2解得 a216,b212 ,9 / 12x2y21椭圆的方程为1612om16b 0, 4的直线 l 交椭圆于不同的两点m , non（2）假设存在过点, 且满足7若直线 l 的斜率不存在 , 且直线过点 b 0,4, 则直线 l 即为 y 轴所在直线直线 l 与椭圆的两不同交点m , n 就是椭圆短轴的端点,m0,23 , n0,23omon0,230, 2 312167k直线 l 的

16、斜率必存在 , 不妨设为,可设直线 l 的方程为 y4kx , 即 ykx4x3y211612, 消 y 得 34k2 x232kx 16 0联立ykx4,直线与椭圆相交于不同的两点m , n221132k4 1634k0 得 :kk2 2 或设 m x1 , y1 , n x2 , y2 ,x1 x232k2, x1 x21623 4k34ky1 y2kx1 4kx24k2 x1 x2 4k x1 x2 164848k 234k2om on167 ,又om onx1 x2164848k 26448k 216y1y2234k234k 273 4k化简得 k 21,10 / 12k 1或 k1

17、, 经检验均满足式直线 l 的方程为 :yx 4 或 yx4存在直线 l : xy40 或 x y40 满足题意23. 解：（ 1）在 pad 中 papd ， o 为 ad 中点，所以poad 又侧面 pad底面 abcd ，平面 pad平面 abcd ad ， po平面 pad ，所以 po平面 abcd （4 分）（2）连结 bo ，在直角梯形abcd 中，bc ad ,ad2ab2bc ，有 od bc且 odbc ，所以四边形obcd 是平行四边形，所以ob dc 由（ 1）知 poob ，pbo 为锐角，所以pbo 是异面直线pb 与 cd 所成的角因为 ad2ab2bc2 ，在 rt ao