高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用课件(理).ppt

1、第五节 数列的综合应用,考向一等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】(2016太原模拟)已知an是 等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足 b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列. (1)求数列an和bn的通项公式. (2)求数列bn的前n项和.,【解题导引】先求出数列an的公差,再求出数列bn- an的公比,求出bn-an后,再求bn的通项公式及前n项 和.,【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d,由题意得 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,). 设等比数列bn-an的公比为q, 由题意得 解得q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.

2、从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).,(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,). 数列3n的前n项和为 n(n+1),数列2n-1的前n项和 为 所以,数列bn的前n项和为 n(n+1)+2n-1.,【母题变式】 1.若本例题条件“bn-an是等比数列”变为“bn-an 是等差数列”,其他条件不变,求数列bn的通项公式.,【解析】设等差数列bn-an的公差为d2, 由题意得3d2=(b4-a4)-(b1-a1) =(20-12)-(4-3)=7, 解得d2= .所以bn-an=(b1-a1)+(n-1)d2 从而,2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列

3、” 变为“an+2an-1= ”,求数列bn的通项公式. 【解析】由典例解析知an=3n, 所以an+2an-1=3n+23(n-1)=9n-6, 即 =9n-6, 因此bn=81n2-108n +35.,【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.,(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨

4、大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2016天津模拟)已知等差数列an的 公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则 A.2 B.3 C.5 D.6,【解析】选B.因为a2,a4,a8成等比数列,所以 =a2a8, 即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以a1=d,所以,【加固训练】1.等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则公比q为()A.-2 B.1C.-2或1 D.2或-1,【解析】选A.当q=1时,Sn+1=(n+1)a1,Sn=na1, Sn

5、+2=(n+2)a1,不满足Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列, 故q1,2Sn=Sn+1+Sn+2 q2+q-2=0q=-2.,2.(2016内江模拟)已知数列an是公差大于零的等 差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1, a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=anan+1,求数列 的前n项和Tn.,【解析】(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的 公比为q, 由已知得: 解得 或,因为d0,所以d=2,q=2, an=1+2(n-1)=2n-1, bn=22n-1=2n, 即an=2n-1(nN*), bn=2n(nN*).,(2

6、)因为cn=anan+1=(2n-1)(2n+1), 所以,考向二数列中的图表问题 【典例2】(1)(2016广州模拟)将全体正整数排成一 个三角形数阵: 1 23 456 78910 ,按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数 为.,(2)(2016太原模拟)下表是一个由正数组成的数表, 数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且 公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.,求数列an,2的通项公式.,【解题导引】(1)求出第n行(n3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.,【规范解答】(1)由表知

7、前n-1行共有 1+2+3+(n-1)= 项, 故第n行(n3)从左向右第3个数为 原数列的第 项, 即 答案:,(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成 的等比数列的公比是q(q0), 则a2,3=qa1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)q2(1+d)=8, 解得d=1,q=2.a1,2=2an,2=22n-1=2n.,【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键 (1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置. (2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列

8、.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.,(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.,【变式训练】(2016福州模拟)下面给出了一个三角 形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一 行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j 列数为aij(i,jN*),则a43=.,【解析】由题意,第一列公差 所以 由第3行得公比q= , 所以 答案:,【加固训练】1.(2016北京模拟)已知 把数列an的各项 排列成如下的三角形形状.,记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=(

9、),【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+17= =81个数,因此,第10行的第1个数是a82, 第12个数是a93,又因为 所以A(10,12) =a93= .,2.(2016合肥模拟)正整数按下列方法分组:1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第 n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组: 03,13,13,23,23,33,33,43,记第n组中后一 个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=.,【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+(2n-1)=n2个 数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一 个数为(n-1

10、)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数 列的前n项和公式可得 =(n-1)2+n(2n-1),而Bn=n3-(n-1)3,所以An+Bn=2n3.答案:2n3,3.(2016保定模拟)将数列an中的所有项按每一 行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10,记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn, b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和,且满足 (1)证明数列成等差数列,并求数列bn的通项公式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 时,求上表中第k(k3)行所有项的和.

11、,【解析】(1)由已知,当n2时,=1,又Sn=b1+b2+bn,所以 即 所以 又S1=b1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,由上可知 即Sn= ,所以当n2时, 因此,(2)设表中从第三行起,每行的公比都为q,且q0.因为1+2+12= =78,所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项, 故a81在表中第13行第三列,因此a81=b13q2= .又b13= ,所以q=2.,记表中第k(k3)行所有项的和为S,则,考向三数列的实际应用问题 【典例3】(2016遂宁模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年

12、的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?,【解题导引】10次还款连同利息之和等于本金10年后的本息. 【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下: 第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清; 第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;,第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息 之和为x(1+10%)2元; 第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息 之和为x(1+10%)9元. 10年后应还款总数为20 000(1+10%)10.,依题意得: x+

13、x(1+10%)+x(1+10%)2+x(1+10%)9 =20 000(1+10%)10, 解得 答:每年应还3 255元.,【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20 000(1+10%)-x=20 0001.1-x,第2次还款x元后欠银行20 000(1+10%)-x(1+10%)-x=20 0001.12-1.1x-x,第10次还款x元后,还欠银行20 0001.110-1.19x-1.18x-x,依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得20 0001.110-(1.19+1.18+1)x=0,解得 答:每年应还3 255元.,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型

14、类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:,(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.,易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.,【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一

15、年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?,(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%?(参考数据:1.0841.36, 1.0851.47,1.0861.59),【解析】(1)设中低价房的面积构成数列an,由题意 可知an是等差数列,其中a1=250,d=50, 则 令25n2+225n4750, 即n2+9n-1900,而n是正整数, 解得n10. 答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4

16、 750万平方米.,(2)设新建住房的面积构成数列bn,由题意可知,bn 是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=4001.08n-1. 由题意可知an0.85bn, 有250+(n-1)504001.08n-10.85. 当n=5时,a50.85b6, 即满足上述不等式的最小正整数n为6. 答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于85%.,【加固训练】1.(2016成都模拟)张丘建算经卷上第22题为:今 有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织 相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共 织390尺布,则每天比前一天多织

17、尺布.(),【解析】选C.由题可知,每天织布的尺数组成等差数列 an,首项是5,设公差为d,因为前30项和为390,根据等 差数列的前n项和公式,有 解得d= .,2.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间 本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污. 现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨.,(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少 万吨?,(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国” 的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完 成减排任务的条

18、件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的取值范围.,【解析】(1)设“十二五”期间,该城市共排放SO2约y 万吨,依题意,2011年至2015年SO2的年排放量构成等差数列 an,且a1=9.3,公差d=-0.3,所以y=59.3+ (-0.3)=43.5(万吨).答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约为 43.5万吨.,(2)由已知得,2012年的SO2年排放量为9.3-0.3=9(万 吨),所以2012年至2020年SO2的年排放量构成等比数列bn 且b1=9,公比q=1-p.由题意得9(1-

19、p)84.94%.答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为 (4.94%,1).,考向四数列与函数、不等式的综合问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:数列与函数的综合问题 【典例4】(2014陕西高考)设fn(x)=x+x2+xn-1,nN,n2. (1)求fn(2). (2)证明:fn(x)在 内有且仅有一个零点(记为an), 且0an- .,【解题导引】(1)求导后代值,利用错位相减法求得数列的前n项和即可得解. (2)首先求导,确定函数单调性,利用零点的存在性定理说明零点的唯一性,并确定其范围.,【规范解答】(1)由题设fn(x)=1+2x+nxn-1, 所以fn(2)

20、=1+22+n2n-1, 所以2fn(2)=12+222+n2n, -得-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n 所以fn(2)=(n-1)2n+1.,(2)因为fn(0)=-10, 所以fn(x)在 内至少存在一个零点, 又 所以fn(x)在 内是增加的,因此,fn(x)在 内有且仅有一个零点an. 由于 所以 由此可得 故 所以,【典例5】(2015重庆高考)在数列中,a1=3,an+1an+ an+1+ =0(nN*). (1)若=0,=-2,求数列 的通项公式. (2)若= (k0N*,k02),=-1,证明:,命题方向2：数列与不等式的综合问题,【解题导引】(1)由题意结合递推关

21、系可以直接证明 数列 为等比数列,从而可求出数列 的通项公 式.(2)利用题意及放缩法证明.,【规范解答】(1)由=0,=-2,有an+1an= (nN*). 若存在某个n0N*,使得 =0,则由上述递推公式易知 重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对 任意nN*,an0. 从而an+1=2an(nN*).即 是一个公比为q=2的等比 数列,故an=a1qn-1=32n-1.,(2)由 =-1,数列 的递推关系变为 an+1an+ an+1- =0, 变形为 由上式及a1=30,归纳可得 3=a1a2anan+10. 因为,所以对n=1,2,k0求和得,另一方面,由上已证的不等式知 得 综上,【技法感悟】 1.解决函数与数列的综合问题的基本思路 (1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题. (2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决.,2.数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. (4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.,【题组通关】 1.(2016黄冈模拟)已知等比数