概率论与数理统计05常见连续型分布.ppt

1、第二章,随机变量及其分布,第三讲,常见的连续性 随机变量的分布,导读内容,1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它们的概率密度函数是怎样的？ 2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些重要应用？如何解决实际问题？请查找资料举例说明。,(1) 均匀分布,若X的概率密度函数为,则称X服从区间( a , b)上的均匀分布或称X服从,参数为 a , b的均匀分布，记作,* 显然 ，且,* 对于 中任一子区间 ，有,即 X落在 中任一子区间 中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即 在区间 上“等可能取值”,例1:设连续型随机变量X在a,b上服从均匀分布，求其分布函数.,解因为,所

2、以当时,当时,当时,即,例2宁波的路公共汽车每隔15分钟一趟，若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间超过8分钟的概率是多少？ 解设X为候车时间，则X在0,15上服从均匀分布，其概率密度函数为 0 x15 其他,(2) 指数分布,若 的概率密度函数为,则称 服从参数为 的指数分布，记作, 0 为常数,* 显然 ，且,容易求得，指数分布的分布函数为,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似,例3假设某元件的寿命服从参数 = 0.0015的指数分布，求它使用1000小时后还没有坏的

3、概率. 解设X为该元件的寿命，则,解（1）,（2）,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,(3) 正态分布,若随机变量 的概率密度函数为,则称 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 N ( , 2 ),为常数，,正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时得到的，故正态分布也称为高斯分布.,f (x) 的性质：,1. 图形关于直线 x = 对称, 即,且在 x = 时, f (x) 取得最大值,2. 在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,3. 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,4. 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( -

4、x),正态分布图象, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同。, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,附近值的概率更大。,前者取 ,服从正态分布的指标有什么特点,一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.,为什么叫“正态”分布,正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态 ( normal )”的分布.,问题,？,问题,？,正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，在数理统计中

5、解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关.,O,这是什么曲线?,高尔顿钉板试验,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 炮弹弹着点；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,一个地区的家庭年收入； 一个班的某门课程的考试成绩；,成年人的各种生理指标： 身高、体重、血压、视力、智商等,气象中的月平均气温、湿度、降水量等,分布函数,其值有专门的表供查.,（4） 标准正态分布N (0,1),密度函数,因此，当XN(0,1)，有,注：将的数值列成表格，则计算服从标准正态分布的随机变量X落在某个区间内的概率只需直接查表，而无需每次去计算定积分,其查表的方法如下：,（1）,（）,（）,例设XN(0,1)， 利用 的数值表计算：,解,故服从正态分布的随机变量X的概率可以通过查正态分布表求得.,一般正态分布概率的计算,解,补充1：3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,注：一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小。,补充2：标准正态分布的上 分位数 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用 数据,解,所以,查表得,从而,解 所求的d 应满足,由于(x)为单增函数，查表知 即,例4: 将一