2.2平面向量的加法

1、2.2向量加法、减法运算及其几何意义 2.2.1向量的加法,知识回顾,1. 向量与数量有何区别?,2. 怎样来表示向量向量?,3. 什么叫相等向量向量?,数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等,向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等,1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。,2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.,长度相等,方向相同的向量相等.,(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.),规定：零向量与任一向量平行; 记作:,如果表示两个向量的有向线段所

2、在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.,平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量. 表示为：,4. 什么叫平行(共线)向量?,两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.,上海,香港,台北,引入1： 由于大陆和台湾没有直航，因此要到台北，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，则飞机的位移是多少?,飞机从上海到香港，再从香港到台北，两次位移的结果与飞机直接从上海到台北的位移显然是相同的，物 理中把后一次位移称为前两次位移 的和,类似地，我

3、们可以获得向量的加法运算，,向量加法的三角形法则：,C,A,B,首尾连 首尾相接,作法（1）在平面内任取一点A,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,尝试练习一：,A,B,C,D,E,（1）根据图示填空：,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,则,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作 ， ，,例题讲解：,思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？,（1）,（2）,B,C,B,C,当向量 不共线时，和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何？,三角形的两边之和大于第三边,综合以上探究我们可得结论：,F为F1与F2的合力,

4、引入2：,图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。,图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO,从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？,C,作法（1）在平面内任取一点O,向量加法的平行四边形法则,这种作法叫做向量加法的平行四边形法则,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型,O,起点相同,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,则,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作 ， ，,例题讲解：,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,例题讲解：,作法2：在平面内任取一点O，,作 ， ，,以 为邻边作 OACB ，,连结OC，则,平

5、行四边形法则,尝试练习二：,(3)已知向量 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出,结论,数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船

6、进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。,A,D,B,C,补充练习,例2: 求向量 之和.,.化简,巩固练习:,课堂小结：,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,2.2向量加法、减法运算及其几何意义

7、 2.2.2向量的减法,学习导航 预习目标 重点难点 重点：向量减法法则的理解 难点：向量减法的运算,1、向量加法的三角形法则,温故知新,首尾相接，连首尾,2、向量加法的平行四边形法则,起点相同连对角,3、向量加法的交换律：,4、向量加法的交换律：,向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5-1=5+(-1),向量的减法是否也有类似的法则： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？,一、相反向量,定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作：,结论：,（1）,（2）零向量的相反向量仍是零向量,（4）如果是a,b互为相反的向量，那么,

8、二、向量减法：,定义：,即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。,把 也叫做 与 的差。 与 的差也是一个向量。,三、向量减法的作图方法：,设,D,E,又,所以,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？,四、向量减法的几何意义:,将两向量平移,使它们有相同的起点.,连接两向量的终点.,箭头的方向是指向“被减数”的终点.,“共起点，连终点，指向被减向量”,练习：,(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？,？,（1）,（2）,A,B,A,B,练习,（1）,（2）,（3）,（4）,例2：选择题：,D,C,解：有向量加法的平行四边形法则， 得,由向量的减法可得，,练习1,重要提示,你能将减法运算转化为加法运算吗？,(一)知识 1理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则,小结:,(二)重点 重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则,“共起点