现代控制理论第六章2010

1、2020年9月6日,第六章 状态反馈和状态观测器,6.1 状态反馈的定义及其性质 6.2 极点配置 6.3 应用状态反馈实现解耦控制 6.4 状态观测器 6.5带状态观测器的反馈系统,2020年9月6日,6.1 状态反馈的定义及其性质,给定系统,在系统中引入反馈控制律,2020年9月6日,的状态空间表达式为：,2020年9月6日,状态反馈性质,，则,，状态反馈就等价于输,出反馈 。,2020年9月6日,利用矩阵运算直接可推出（见书191页）,(2) D=0时，可以求得闭环系统 的传递函数阵,2020年9月6日,若 ，则,的状态空间表达式为：,2020年9月6日,利用矩阵运算直接可推出（见书19

2、1页）,(2) D=0时，可以求得闭环系统 的传递函数阵,2020年9月6日,输出反馈：,a到b前向通道：,2020年9月6日,闭环系统结构：,2020年9月6日,2020年9月6日,依此类推，不难看出,这意味着,2020年9月6日,2020年9月6日,完全能控能观，引入反馈,例 6.1.1 系统,2020年9月6日,：,则闭环系统 的状态空间表达式为,2020年9月6日,6.2 极点配置,6.2.1 极点配置定理 6.2.2单输入系统极点配置 6.2.3 讨论,2020年9月6日,定理 6.2.1 给定系统,6.2.1 极点配置定理,2020年9月6日,证: 只就单输入系统的情况证明本定理,

3、必能将它变为能控标准形,，,2020年9月6日,引入状态反馈,2020年9月6日,其中，显然有,2020年9月6日,可求得期望的闭环特征方程,通过比较系数，可知,2020年9月6日,由此即有,又因为,所以,2020年9月6日,2020年9月6日,6.2.2单输入系统极点配置,开环系统,闭环系统,2020年9月6日,闭环系统的极点,原系统的极点,2020年9月6日,关键：,怎样计算反馈向量K？,2020年9月6日,算法1：按能控标准形求 K,1、求A的特征多项式,2、求闭环系统的期望特征多项式,3、计算,2020年9月6日,4、计算,2020年9月6日,4、计算,5、计算,2020年9月6日,算

4、法2：直接配置,1)将 带入系统状态方程，求得闭环系 统的特征多项式,2) 计算理想特征多项式,2020年9月6日,算法2：直接法,利用方程两边S的各次项系数对应相等,2020年9月6日,2020年9月6日,2020年9月6日,算法1：利用规范化方法配置极点,设所需的状态反馈增益矩阵为,1）开环系统的特征多项式为,得,2020年9月6日,2)期望的特征多项式,得,3),2020年9月6日,4),5),6),2020年9月6日,算法2：直接法,因为经过状态反馈 后，闭环系统的特征多项式为,解：设所需的状态反馈增益矩阵为,2020年9月6日,根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为,20

5、20年9月6日,6.2.3 讨论,其中， 的特征值不能任意配置。,2020年9月6日,2020年9月6日,6.3 应用状态反馈实现解耦控制（自学）,6.3.1 问题的提出 6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论,2020年9月6日,6.3.1 问题的提出,考虑MIMO系统,(6.3.1),(6.3.2),2020年9月6日,式(6.3.2)可写为,2020年9月6日,：,每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例如, 要找到一组输入 如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控

6、制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。 三个基本假定,2020年9月6日,2020年9月6日,显然，经过解耦的系统可以看成是由 个独立单变量子系统所组成。,2020年9月6日,图 6.3.2,2020年9月6日,6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论,定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。,1) 已知传递函数阵,2020年9月6日,2020年9月6日,例6.3.1 给定系统,其中:,2020年9月6日,其传递函数矩阵为 :,得到 :,2020年9月6日,同样，由两种方法求得 的也相同。,2020年9月6日,2020年9月6日,证：对等式,两边分别求导，根据 和 的定义可知,202

7、0年9月6日,当且仅当矩阵 为非奇异时，由方程组,可唯一确定出 和 在状态反馈 下,有 :,2020年9月6日,输出 仅与输入 有关,且 仅能控制 。定理得证 在状态反馈 下，系统 的状态空间表达式 为:,2020年9月6日,其传递函数矩阵为:,2020年9月6日,6.3.3 算法和推论,2020年9月6日,例6.3.2 给定系统,试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。,2020年9月6日,解：1) 在例6.3.1中已求得,3) 因为,所以有,2020年9月6日,于是,4) 反馈后，对于闭环系统 有,2020年9月6日,推论：,1) 能否态反馈实现解耦控制取决于 和 。,

8、2) 求得 ， ，则解耦系统的传递函数 矩阵即可确定。,3) 系统解耦后，每个SISO系统的传递函数均为 重积分形式。须对它进一步施以极点配 置。,2020年9月6日,4) 要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。 保证闭环系统的稳定性。,2020年9月6日,6.4 状态观测器,6.4.1 状态观测器的存在条件 6.4.2 全维状态观测器,2020年9月6日,一、观测器的设计思路 状态观测器实质上是一个状态估计器（或动态补偿器），它是利用被控对象的输入变量u和输出y对系统的状态x进行估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题。,2020年9月6日,问题的实质就是构造一个新的系统 ( 或者说装置

9、) ，利用原系统中可直接测量的输入量 和输出量 作为它的输入信号，并使其输出信号满足,2020年9月6日,6.4.1 状态观测器的存在条件,定理 6.4.1 给定线性系统,若此系统是状态完全能观测的，则状态向量x可,由输入u和输出y的相应信息构造出来。,2020年9月6日,证: 因为,2020年9月6日,即,所以,只有当 时，上式中的 才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向量 才能由 以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。,2020年9月6日,6.4.2 全维状态观测器,构造一个与原系统完全相同的模拟装置,2020年9月6日,图 6.4.1,2020年9月6日,在 有正实部特征值时

10、， 最终总要趋向无 穷大。,2020年9月6日,(2)闭环全维状态观测器,因为,其解为,若 ,则有,状态观测器的动态方程可写为：,由于 ,观测器中 的特,征值配置问题等价于对偶系统中极点配置问题。,2020年9月6日,图 6.4.2,2020年9月6日,定理 6.4.2 若n维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器,其估计误差 满足,在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵 来任意配置 的特征值。,2020年9月6日,例6.4.1 为例6.2.1的系统设计一个全维状态观测 器，并使观测器的极点为 ， 。,解: 系统完全能观测的，可构造任意配置特征值 全维状态观测器。,1)由 ,得 ；,2

11、) 观测器的期望特征多项式为,得,2020年9月6日,3),4),5),6),2020年9月6日,得全维状态观测器,2020年9月6日,返回,2020年9月6日,6.4.3降维观测器,思路：,利用输出的q个分量直接产生q个状态变量，其余的(n-q)个由观测器来估计出，以观测器的维数据从n降低到n-q维。,如何设计n-q维降维观测器？,2020年9月6日,如何求非奇异变换阵？,状态完全可观测且,2020年9月6日,非奇异变换,2020年9月6日,只要重构子系统S1,2020年9月6日,子系统的状态方程：,令子系统1的输入为：,则有：,2020年9月6日,基于子系统,构造同维观测器,输出,输入,结合,得：,2020年9月6日,降维观测器：,导数,2020年9月6日,令,2020年9月6日,降维观测器估计值：,降维观测器反馈增益阵由下式求得：,其中,2020年9月6日,6.5带状态观测器的反馈系统,带状态观测器的反馈系统结构图,2020年9月6日,2020年9月6日,特征：,1、,3、引入观测后观测器和状态反馈的极点互不影响,2、 的特