[中考数学课件]中考数学复习等腰梯形课件.ppt

1、等 腰 梯 形,考纲要求与命题趋势,掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念。掌握等腰梯形的以下性质：同一底上的两底角相等，两条对角线相等。掌握等腰梯形的判定定理：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，通过本节的学习，能正确运用梯形、等腰梯形、直角梯形等有关知识进行计算、证明、作图，进一步认识和运用转化思想并提高推理论证能力。,知识要点,1. 梯形 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底的距离叫做梯形的高。 注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置而言。,（2） 特殊梯

2、形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 （3）梯形的判定方法 可依据梯形的定义来判定一个四边形是否为梯形。,2. 等腰梯形的性质 如图所示，等腰梯形ABCD （1）等腰梯形的两腰相等、两底平行：AB CD，ADBC；,A,B,C,D,（2）等腰梯形在同一底上的两底相等：ABCBCD，BADCDA； （3）等腰梯形的对角线相等ACBD； （4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴，即MN。,A,B,C,D,M,N,例1. 下列语句中错误的是（ ） A. 只有一组对边平行的四边形是梯形 B. 有一组对边平行而另一组对边

3、不平行的四边形是梯形 C. 有一组对边平行的四边形是梯形 D. 一组对边平行且不相等的四边形是梯形,思路点拨：解答本题的关键是要紧扣梯形的定义，先排除B，然后排除A，考虑D，一组对边平行且不相等的四边形一定不是平行四边形，从而可知它的另一组对边不平行，因此D是正确的。,解：选C 误点剖析：应仔细体会A和C的区别。 评注：正确理解每个命题的意义是解题的必要条件。,例2. 求证：等腰梯形上底的中点与下底两端点距离相等。 已知如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，M是AD的中点。求证:MB=MC 思路点拨：要证BMCM，只需证 ABMDCM。,解：在等腰梯形ABCD中，ABDC， AD，

4、又M是AD的中点， AMDM ABMDCM BMCM,误点剖析：对等腰梯形的定义理解不深刻，只认为是判定用，因而得不出ABCD，故本题的证明难于着手。 评注：等腰梯形是轴对称图形，本题也可利用轴对称的性质来解。 本题中题设ABDC与结论BMCM交换，其他条件不变，命题仍成立。,例3. 如图，梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O，且ACBD，AC4，BD3.4，求梯形ABCD的面积 。 思路点拨:求梯形的面积常用公式 S 来计算，而此题上 底、下底、高都是未知数，故不能用此公式，但S梯形ABCDSABDSBCD，利用这一等量关系可求。,解：ACBD SABDAOBD SBCDCOBD S梯

5、形ABCDSABDSBCD AOBDCOBD （AOCO）BD 即S梯形ABCDACBD43.46.8 答：梯形的面积为6.8。,误点剖析要注意灵活应用梯形面积的求法。 评注（1）当梯形（或任意四边形）对角线互相垂直时，它们的面积等于对角线乘积的一半。 （2）本题也可以利用等量关系 S梯形ABCDSABCSADC来解答。,（3）本题还可以过D点作DEAC交BC的延长线于E，如图所示，则SABD=SCDE，从而 S梯形ABCDSBCD SABDSBCDSCDE SBDEBDDEBDAC6.8,E,方法指引 解有关梯形问题的途径可化归、分割、拼接成三角形.平行四边形的问题来解决，常用的方法如下：

6、1. 平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线、把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图所示。,例4. 已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15 cm和49cm，求它的腰长。 思路点拨：通过平移一腰把等腰梯形化为平行四边形和等边三角形式 解如图，过D作DEAB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形。 ADBE15cm，ABDE EC491534cm AB=CD CD=DE,又C60 CDE是等边三角形 CDEC34cm 误点剖析本例获解的关键是辅助线的添加，因此，若不能平移一腰，得到等边三角形CDE，则问题的获解将变得困难得多。评注：在等腰梯形中通常通过作腰的平行线，构造平行四边形

7、和等腰三角形，利用平行四边形，把分散的条件集中到一个三角形中去。,例5. 如图，梯形ABCD中，ABDC，AB5，BC，C45，D60，求DC的长及梯形的面积。 思路点拨：作AEDC，BFCD，垂足为E、F，这样可构造两个直角三角形。 解：作AECD于E，BFCD于F，则四边形ABFE是矩形 EFAB5，AEBF， 在RtBCF中，C45 CFBF 设CFBFx 由勾股定理，得x2+x2=( )2,x3，BFCF3， AE3， 在RtADE中，D60 DAE30DEAD 设DEy ,则AD2y (2y)2-y2=9 y= DE= CD=DE+EF+FC= +5+3=8+,S梯形ABCD（ABC

8、D）AE （5+8+）3 误点剖析本例的误点就是不能作出辅助线AE与BF，因此，能否利用过上底的端点向下底作垂线，将梯形分割为一个矩形和两个直角三角形是问题获解的关键。,评注：作梯形的高构造直角三角形，再利用勾股定理求出有关线段的长度，这是常见的题型。,例6. 如图，梯形ABD中，ABDC，ABCD14，对角线ACBD，BDC30，求梯形的高AH。 思路点拨由题设对角线ACBD，想到平移对角线可构造直角三角形和平行四边形，,A,B,C,D,H,O,解：过A作AEBD交CD的延长线于点E， E=BDC=30，CAE=COD=90 ABCE AEBD DE=AB AB+CD=14 DE+CD=14

9、 ，即CE=14 在RtACE中，AC= CE=7 AE= 在RtAHE中，AH= AE=,误点剖析 不能添加辅助线AE是本例的误点，因此我们要通过解题实践，针对问题的具体情况总结梯形添加辅助线的规律，以提高我们的解题水平。,例7.如图，在梯形ABCD中，ADBC，且AB=AD+BC，M为DC的中点，求证：ABM= CBM 思路点拨：由条件AB=AD+BC，想到应将两底集中，由于M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于N这样易证ADMNCM，从而构造出等腰ABN，由等腰三角形的三线合一性质可证得ABMCBM， 证明：延长AM交BC的 延长线于N,ADBC3D 又12，DMCM ADMNCM A

10、DCNAMMN ABADBC ABCNBC 即ABBN 又AMMN ABMCBM,误点剖析如何应用题设条件ABADBC是本例的关键，而误点就在于此，即不知如何应用，论证不易展开。 评注（1）还可证得BMAM， （2）如果延长BM交AD的 延长线于一点也可获证， （3）若将题设ABADBC与结论交换，其他条件不变结论仍成立。,例8. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB90，E、F分别是AB、CD的中 点，求证EF（ABCD） 思路点拨：由AB90，可考虑把A、B移到同一个三角形中，从而构造出一个直角三角形来。,证明：过E作FMAD交AB于M，作FNBC交AB于N， DFAMADFM 四边形A

11、MFD是平行四边形 1ADFAM 同理可证2B.CFBN AB90 1290MFN90 DFCFAMBN,A,B,C,D,F,E,M,N,1,2,AEBEMENE EFMN DFAMCFBN MNABCD EF（ABCD）,A,B,C,D,F,E,M,N,1,2,误点剖析在证明一个较复杂的题目时， 要理清思路，本例中要证明EF（AB CD），只要证MN ABCD和EFMN， 而证EFMN又需证两个条件：MFN 90，和MFNF，缺少任一条件都会导致错误。,A,B,C,D,F,E,M,N,1,2,评注：本例也可以延长AD、BC，并设它的相交于G，通过先证E、F、G共线后，再利用直角三角形斜边上的

12、中线等于斜边的一半来证明，较繁杂了。,例9. 已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H， 求证： （1）EGHF； （2）GH（BCAD）。,精析：由于EF是梯形ABCD的中位线，则EFADBC，从而G、H分别为BD、AC的中点，再利用三角形中位线定理即可得出结论。 证明（1）因为在梯形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，所以ADEFBC 所以ADEFBC 所以G、H分别是BD、AC的中点,所以EGAD，FHAD 所以EGFH （2）因为E、H分别是AB、AC的中点， 所以EHBC 因为GHEHEG 所以GHBCAD（B

13、CAD）,说明：此题是三角形、梯形中位线定理的综合运用，解此题的关键是确定G、H分别是BD、AC的中点。,例10. 已知：如图，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC、BD相交于点O，点P、Q、R分别为AO、BC、DO的中点，且AOB60。 求证：PQR为等边三角形。,精析： 由三角形中位线定理易得PRAD，欲证PQR为等边三角形， 只要证明PQRQADBC即可。 由等腰梯形ABCD易得AOBO， 又AOB60，从而AOB 为等边三角形，又P是AO的中 点，即有BPC90， 从而有PQBC，类似地RQBC，从而原题得证。,证明：连结RC、PB， 因为四边形ABCD是等腰梯形， 所以ADBC，ACBD， 在ABC和BAD中，因为ACBD，BCAD，ABBA， 所以ABCBAD， 因此CABDAB 所以OAOB，