5.6正定二次型.ppt

1、5.6 正定二次型,1.惯性定理 2.正(负)定二次型的概念 3.正(负)定二次型的判别,一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形.其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.,且二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f的正惯性指数与负惯性指数之和等于f的秩,一、惯性定理,定理11(惯性定理) 设实二次型f=X AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使 f=1y12+2y22+ryr2 (i0) f=k1z12+k2z22+krzr2 (ki0), 则1

2、,2,r中正数的个数与k1,k2,kr中正数的个数相等.,定理说明实二次型f的矩阵A与对角矩阵相合,该对角矩阵主对角线上的正元素的个数等于f的正惯性指数,负元素的个数等于f的负惯性指数.,从而进一步有A与0相合,若f的正惯性指数为p,秩为r,则f的规范形为:,f=y12+yp2yp+12yr2,二、正(负)定二次型的概念,定义12 设有实二次型f=X AX,如果X0,都有f 0,则称f是正定二次型, A是正定矩阵;如果X0,都有f0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.,正定二次型,负定二次型,例如, f=x2+4y2+16z2 f= x123x22,三、正(负)定二次型的判别,判别法1: 用

3、定义,例1 设A,B均为n阶正定阵,证明A+B也为n阶正定阵,证,A,B为n阶正定阵,X0,有X AX0, X BX0,X (A+B)X,A+B为n阶正定阵,0,=X AX+X BX,判别法2: 用标准型,定理12 n元实二次型f=X AX为正定的f的正惯性指数为n,证,设可逆变换X=PY,使 f=X AX=k1y12+k2y22+knyn2,充分性:,已知ki0 (i=1,2,n),则X0,有Y=P1X0,故f=X AX=k1y12+k2y22+knyn20,P可逆,必要性:,反证法,设有ks0,取Y=es (单位向量),=ks,与f正定矛盾, ks0 (s=1,2,n),则X=Pes,0,

4、故f=X AX=k1y12+k2y22+knyn2,0,即f的正惯性指数为n,定理说明实二次型f正定的充要条件是f的矩阵A与主对角线上的元素全为正数的对角矩阵相合,判别法3: 用特征值,推论1 实二次型f=X AX正定A的特征值全为正,推论2 实对称矩阵A正定存在可逆矩阵P,使P AP=E,说明:正定的对称矩阵与单位矩阵相合,推论3 正定矩阵的行列式大于零,A正定,A与E相合,A=Q EQ,=Q Q,|A|=|Q Q|,=|Q|2,0,例2 设A为正定阵,证明A1, A*都是正定阵,证,A为正定阵,A的特征值全大于零,A1, A*的特征值全大于零,A1, A*都是正定阵,判别法4: 用霍尔维茨定理,例4 t为何值时,二次型 f=5x12+4x1x22x1x3+x222x2x3+tx32 正定?,解:,50,=t2,t2时,|A|0,t2时,二次型正定,A为正定阵,A的特征值均0,A与E合同,A的各阶主子式0,存在可逆阵Q,使得A=QQ,f(x1,x2,xn)为正定,