方程(组)与不等式(组.ppt

1、第二单元 方程(组)与不等式(组）,数与式是组成方程（组），不等式（组）的要素。本单元先从等式入手，探讨方程的概念、性质、解答方法及其应用，进而层层深入，以同样的方法研究方程组，不等式（组）。 数量均衡（等与不等）；一而二,一、一次方程（组）及其应用,考点1 等式的概念与等式的性质,考点2 方程及相关概念,含有等号的式子叫做等式(数学术语)。 形式：把相等的两个数（或字母表示的数）用“=”连接起来。等式可分为矛盾等式和条件等式。矛盾等式就是左右两边不相等的等式.也就是不成立的等式,比如5+2=8,实际上5+2=7,所以5+2=8是一个矛盾等式.,性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等

2、式仍然成立。 若a=b，那么a+c=b+c 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。 若a=b，那么有ac=bc或ac=bc （c0） 性质3：等式具有传递性。 若a1=a2,a2=a3,4,an=an,那么a1=a2=an,等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质。如移项，运用了等式的性质1；去分母，运用了等式的性质2。 运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义。,方程是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，（通常设未知数为x），通常在两者之间有一个等号“=”。方程不用按逆

3、向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。,解方程的依据：1.移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；2.等式的基本性质3.合并同类项；,考点3一元一次方程及其解法,一、去分母：做法：在方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数；依据：等式的性质2 二、去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）依据：乘法分配律 三、移项：做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）依据：

4、等式的性质1 四、合并同类项：做法：把方程化成ax=b（a0）的形式；依据：（逆用乘法分配律） 五、系数化为1：做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。依据：等式的性质2.,考点4二元一次方程组及其解法,方程组与方程的联系与区别：等量关系个数不同,考点5一次方程（组）的应用,审题要有目的性：带着问题审题； 设未知数应找中间量，按要求尽量少设； 列等量关系,考点6 常见的几种方程类型及等量关系,注解：行程问题研究时间、速度与路程的关系，要时刻注意时间、速度与路程的变化。既要从整体把握三个量的关系，也要从具体情景分析三个量的变化。,基本公式：路程速度时间； 路程时间速度； 路

5、程速度时间,行程问题,关键问题：确定行程过程中的位置.（熟悉运动情景，找出等量关系）,相遇问题：速度和相遇时间相遇路程,追击问题：追击时间路程差速度差,知识点：船在江河里顺水或逆水航行除了与船的本身速度有关外还与水流速度有关。因此行船问题除了要注意速度、时间、路程这三者的之间的关系外还要注意下面的基本数量关系:水速（顺水速度逆水速度）2 顺水行程（船速水速）顺水时间 逆水行程（船速水速）逆水时间 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 基本题型：已知路程（相遇

6、问题、追击问题）、时间（相遇时间、追击时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量。,甲、乙二人分别后，沿着铁轨反向而行。此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒；然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/小时，这列火车有多长 设火车速度为x 甲与火车方向相反，乙与火车方向相同，有 （x+3.6)*15=(x-3.6)*17 解得x=57.6 火车长度为(57.6+3.6)*15/3600=0.255KM=255m,已知一艘轮船顺水行48千米需要4小时，逆水行驶48千米需要6小时，现在轮船从上游A城到下游B城，已知两城的水路长72千米，开

7、船时一旅客从窗口投出一块木板,问船到B城时，木板离B城还有多少千米？,某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。,利润问题,现价=原价*折扣率 每件商品的利润=售价-进货价 =利润率*进价 毛利润=销售额-费用 利润率=（售价-进价）/进价*100% 标价=售价=现价 进价=售价-利润； 售价=利润+进价,浓度问题,溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量 溶质的重量浓度溶液的重量,计算利息

8、的基本公式,利息本金存期利率 税率=应纳数额/总收入*100% 本息和=本金+利息 税后利息=本金*存期*利率* （1- 税率） 税后利息=利息*税率 利率-利息/存期/本金/*100%,年利率、月利率、日利率三者的换算关系是： 年利率月利率12（月）日利率360（天）； 月利率年利率12（月）日利率30（天）； 日利率年利率360（天）月利率30（天）。 使用利率要注意与存期相一致。,类型之一等式的概念和等式的性质,命题角度：等式及方程的概念；等式的性质,类型之二一元一次方程的解法,命题角度：一元一次方程及其解的概念；解一元一次方程的一般步骤,中考试点,类型之三二元一次方程(组)的有关概念,

9、命题角度：二元一次方程(组)的概念；方程(组)的解的概念,类型之四 二元一次方程组的解法,命题角度：1代入消元法；2加减消元法,分式的基本性质,等式性质2,去括号法则或乘法分配律,移项,等式性质1,合并同类项,系数化为1,等式性质2,分式是从整式的除法推演出来的的，其分母必须含有未知数，分子可以是任意实数，也可以是整式；特别注意分母任何条件下都不等于零。,分式运算可以看做以整式除法为主的整式方程，利用等式的性质和整式的运算法则进行运算,类型之五 利用一次方程(组)解决生活实际问题,命题角度：利用一元一次方程或二元一次方程解决生活实际问题；,2012无锡 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款

10、：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购 投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%. 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用,(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元 问：甲、乙两人各投资了多少万元 解： (2)由题意得0.7x0.62x5，解得x62.5(万元) 甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元,解析

11、 (1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较； (2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解,用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系,嘉兴 目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了半小时回到舟山 (1)求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； (2)两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：,我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y(

12、元)的计算方法为yaxb5，其中a(元/千米)为高速公路里程费，x(千米)为高速公路里程(不包括跨海大桥长)，b(元)为跨海大桥过桥费若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a.,解：(1)设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s千米， 由题意得4(s)4.5(s)10.解得s360. 答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米 (2)将x3604836276，b10080180， y295.4代入yaxb5，得295.4276a1805， 解得a0.4.答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米,二、一元二次方程及其应用,考点1一元二次方程的有关概念,把方

13、程(2x1)(2x1)(x2)2化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是() A5，4，5 B3，4，5 C3，4,5,掌握一元一次，一元二次方程的一般形式及其他形式，分清二次项、一次项、常数项。特别是字母将一次项、二次项系数联系起来。,a不为零，b，c可以为零。,考点2一元二次方程的解法,注意各种解法对应的一元二次方程形式：如因式分解法通常使用十字相乘法解二次三项方程式,要熟练掌握公式法及其应用条件，特别注意方程中各个字母取值的变化（为零，不为零）带来的方程次数的改变。,考点3一元二次方程根的判别式，根与系数的关系,熟练掌握根的判别式，并用其判断根个数；牢记根与系数的关系。 一元

14、二次方程是二次函数在某一函数值所形成的等量关系。 二次函数与x轴有交点，即y=0时，方程的解对应的坐标，此时判别式大于等于零；（一个交点或两个交点） 判别式小于零与x轴无交点。,一元二次方程x2x20的根的情况是() A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根,如果关于x的一元二次方程x2pxq0的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是() A3,2 B3，2 C2，3 D2,3,如果方程ax22x10有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_（注意审题，分情况讨论，然后综合）,方程x22x10的两个实数根分别为x1，x2，则(x11)(x21)_.,已知方程ax24x

15、10，则 (1)当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？ (2)当a取什么值时，方程没有实数根？ (3)当a取什么值时，方程有实数根？,探讨方程根的情况及m取值范围。,已知关于x的方程x22(a1)xa27a40的两根为x1，x2，且满足x1x23x13x220.求a24(4)a(a2)的值,解： 关于x的方程x22(a1)xa27a40有两根x1，x2， 4(a1)24(a27a4)0，(x1x2a27a4，) 即a1.x1x23x13x220，x1x23(x1x2)20， a27a43(22a)20，解得a13，a24. a1，a4. 把a4代入a24(4)a(a2)，得164(4)4(4

16、2)3(4)4(6)2.,已知:ABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5, (1)k为何值时, ABC是以BC为斜边的直角三角形; (2) k为何值时, ABC是等腰三角形,并求出此时ABC的周长.,解题思路：一元二次方程根与系数关系AB、AC的中间量k，再利用勾股定理构建等量关系解题 分类讨论：等腰三角形,考点4一元二次方程的应用,某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m，设游泳池的长为x m，则可得方程() Ax(x10)375 Bx(x10)375 C2x(2x10)375 D

17、2x(2x10)375,类型之一一元二次方程的有关概念,命题角度：一元二次方程及其解的概念；一般式；,下列叙述，正确的是() A形如ax2bxc0的方程叫做一元二次方程 B方程4x23x6不含常数项 C一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0 D(2x)20是一元二次方程,已知关于x的方程x2bxa0有一个根是a(a0)，则ab的值为 A1 B0 C1 D2,整体代入思想，构造已知形式,观察a，b所在的一元二次等式可知，a，b是=22m的两根,类型之二一元二次方程的解法,命题角度：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法,类型之三一元二次方程根的情况,命题角度：判别一元二次方程

18、根的情况求方程字母系数的取值范围,下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是() Ax210 Bx22x10 Cx2x10 Dx22x10,有两个不等实根满足,求a,（2011四川绵阳12，3）若x1,x2(x1 x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为 Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 注意：构建二次函数y=（x-a）（x-b）（ab) 当y=0,时得a，b位置， y=1时得x1,x2位置,类型之四一元二次方程的根与系数的关系,命题角度：利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积；求有关两根的

19、代数式的值；求方程中未知系数的值,类型之五一元二次方程的应用,命题角度：增长率增量基础量 解决变化率问题：a(1m)nb；解决商品销售问题,2011广安 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售,(1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？,2012乐山 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的

20、单价对外批发销售由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售 (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由,三、分式方程及其应用,考点1分式方程及相关概念,在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根， 使方程中的分母为零，因此解分式方程要 验根，其方法是代入最简公分母中看最简公分母 是不是为零,考点2分式方程的解法,考点3分式方程的应用,近年来

21、，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨下面是小明与爸爸的对话： 小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升” 小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格,类型之一分式方程的概念,命题角度：分式方程的概念；分式方程的增根,m2且m3,类型之二分式方程的解法,命题角度：去分母法；换元法,解分式方程常见的误区：(1)忘记验根； (2)去分母时漏乘整式的项； (3)去分母时，没有注意符号的变化,类型之三分式方程的

22、应用,命题角度： 1利用分式方程解决生活实际问题； 2注意分式方程要对方程和实际意义双检验,2012泰安 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元 (1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？,解： (2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天 的施工费为(y1500)元， 根据题意得12(yy1500)102000，解得y5000. 甲公司单独完成此项工程所需的施工费为 2050

23、00100000(元)； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费为 30(50001500)105000(元) 100000105000， 故甲公司的施工费较少,2011济宁 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同 (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来,四、一元一次不等式（组）及其应用,考点1不等式的性质及一元一次不等

24、式（组）的相关概念,等式与不等式的联系与区别？性质的异同？ 注意不等式的方向,考点2一元一次不等式的解法,解一元一次不等式的一般步骤,(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)系数化为1,考点3一元一次不等式组的解法,考点4一元一次不等式（组）的应用,(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组) (2)解不等式(组) (3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案,生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合,类型之一不等式的概念及性质,命题角度：不等式、不等式的解和解集等概念；不等式的性质,类型之二一元一次不等式,命题角度：不等式的概念及其解法,解集在数轴上表示 区分大于与大于等于号的区别与联系,类型之三一元一次不等式组,解不等式组，并把解集在数轴上表示出来,类型之四与一元一次不等式(组)的解集有关的问题,命题角度：求不等式组的整数解；根据解的情况求相关字母的值,m3,类型之五 利用一元一次不等式(组)确定实际问题中的取值范围， 进行方案设计,命题角度：利用不等关系建立不等式组，在其取值范围内的各种方案中，选择最佳方案,例1 2012黔东南 某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优