矩阵的初等变换与线性方程组的求解.ppt

1、矩阵的初等变换与线性方程组的求解,理论内容,应用举例,1. 矩阵的初等变换解线性方程组,1. 利用初等变换求整数的最大公因数,2. 利用初等变换解线性不定方程,2. 矩阵的初等变换解矩阵方程,3. 矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用 起点中文阅读 ,若阶梯形矩阵Bmn还满足： （1）B的任一非零行的第一个非零元（每一 行的首非零元或主元）均为1； （2）B的首非零元所在的列的其它元素均 为0. 则称Bmn为行最简形矩阵。,结论：任何矩阵都可以通过行初等变换化 为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简 形唯一）。,理论内容,1. 矩阵的初等变换解线性方程组,给出单位填充矩阵的概念之后，通过对

2、线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行 初等变换，直接得出其基础解系或一般解。,定义1：对于mn阶行最简形矩阵B，按以 下方法构造sn矩阵C： 对任一 i: 1is (1sn)，若B的某个首非零元位于第i列，则 将其所在的行称为C的第i行，否则以n维单位 向量ei =(0, ,0,1,0, ,0)作为C 的第i行，称 C为B的sn单位填充矩阵。,显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素是“1” 或“1”，若主对角线上某一元素为“1”，则该 元素所在的列之列向量称为C的“J列向量”。,定义2： 设B为最简形矩阵，若B的单位填充矩阵C的任一“J列向量” 均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组,的解向量，则

3、称C与B是匹配的（亦称B与C是匹配的）,引理1 设B为mn行最简形矩阵，若将B 的第i列与第j列交换位置所得矩阵B仍为行 最简形，则,（1）将B的sn单位填充矩阵C的第i行与 第j行交换位置所得矩阵C即为B的sn 单位填充矩阵，其中maxi,j s。,（2）若C与B是匹配的，则C与B也是 匹配的。,证明： 结论(1)显然，下证(2)，因为C与 B是匹配的，故C只能是nn矩阵， 从而C 也是nn 矩阵，设以B为系数矩阵的方程组 为(1)，以B为系数矩阵的方程组为,则由B与B的关系可知对方程组(1)进行变量代换：,x1=y1 , , xj=yj , , xn=yn,就得到方程组(2)，于是方程组(

4、1)的任一解向量交换i,j两个分量的位置就是方程组(2)的一个解向量。又从C与C的关系可知， C的任一“ J列向量 ”均可由C的某一“J列向量 ”交换i,j 两个分量的位置后得到，又由C与B是匹配的知，C与B也是匹配的.,引理1 任一nn行最简形矩阵B与其nn 单 位填充矩阵C是匹配的。,证明： 1. 设,则以B为系数矩阵的其次线性方程组为：,而B的填充矩阵为：,其所有J列向量为：,r+1=(b1,r+1, ,br,r+1, 1,0, ,0) r+2=(b1,r+1, ,br,r+1,0, 1, ,0) n=(b1,n, ,br,n,0, , 0, 1),显然它们都是方程组(4)的解，即B与C

5、是 匹配的。,2. 一般形式的行最简形矩阵B显然总是可 以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列 的位置）化为(3)的形式，从而B的单位填充矩 阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5), 由于这种变换是可逆的，据引理2及引理1(2) 知B与C是匹配的。,定理1 设齐次线性方程组,的系数矩阵A经一系列初等行变换化为最简 形矩阵B,则B的nn的单位填充矩阵C的所 有“J列向量”构成方程组(6)的一个基础解 系.,证明 设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为(1)，则(1)与(6)同解，据引理2知C的所有 “J列向量”构成方程组的解，且是nr 个线性无关的解向量(其中r=R(A)=R(B)，,从而构

6、成方程组(1)的一个基础解系，也 就是方程组(6)的一个基础解系。,有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n(n+1)单位填充 矩阵的所有“J列向量”构成方程组(7)的导 出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。,定理2 设非齐次线性方程组,证明 由定理1，前一结论显然。下证的最 后一列为方程组的一个特解。,作齐次线性方程组,则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7)的增广 矩阵A.,由定理1知C的最后一个列向量是方程组 (8)的一个解，从而易知C的最后一个列向 量即为方程组(7)的一个特解。,于是B的n(n+1)单位填充矩阵为：,例1 求线性方程

7、组,的一般解。,解 方程组的增广矩阵为：,用初等行变换将A化为行最简形矩阵B:,写出B的56单位填充矩阵C：,于是方程组的导出组的基础解系为：,而方程组的一个特解为：,从而原方程组的一般解为：,其中k1为任意常数。,2. 矩阵的初等变换解矩阵方程,设矩阵方程为,其中Xns为所求，对方程(1)有下面的结论：,结果1 方程(1)有解的充要条件为：,且,(i) 若r=n，则(1)有唯一解；,(ii) 若rn，则(1)有无穷多解。,结果2 设方程(1)中R(Amn)=r，且Amn的前r个 列向量线性无关，则矩阵(Amn,Bms)可经过一系 列初等行变换化为如下形式,此时，(i)方程(1)有解的充要条件

8、是E(mr) s是 零矩阵；,(ii)若r=n，则Xns=Dns为(1)的唯一解；,为(1)的导出方程的解的基础阵；,(iii) 若rn，则矩阵,为(1)的一个特解，从而(1)的一般解为,其中H (nr) s为所论域的任意矩阵；Er为r阶 单位矩阵；O为相应阶的零矩阵。,若s=1，则方程(1)为一般非齐次线性方程组,此时基础阵F 的(nr)个列向量即为导出 方程组的基础解系，G为其一个特解。,例2 解矩阵方程,解,因为E23为零矩阵，由结论2知(4)有解。又R(A45)=25，所以有无穷多解，且导出方程的解的基础阵为,方程(4)的一个特解为,从而(4)的一般解为,其中kij(i,j =1,2,

9、3)为任意常数。,应用举例,1. 利用初等变换求整数的最大公因数,(1)当n=2时，可设a1a20,由辗转相除法知：,证明：,a1=q1a2+r1,0r1a2,a2=q2r1+r2,0r2r1, ,rm-2=qmrm-1+rm,0rmrm-1,rm-1=qm+1rm（m1, rm=d）,于是，令,则 命题成立。,(2)假设当 时 ，命题成立。,则当 时，由假定知，存在k阶可 逆方阵Akk，,使得 ，,其中 ，,从而有,又由(1)知，存在二阶可逆方阵 A22,使得,其中 ，,于是,令,即当n=k时，命题成立，,由归纳法知， 当n2时，命题成立。,由命题1的证明过程可以得出如下两个推论：,推论1

10、设a1,a2, ,an为不全为0的整数，则存在 Z上的n阶可逆矩阵B，使得,且d是a1,a2, ,an的最大公因数，B是一些初等 矩阵的乘积。,B的求法如下：将a1,a2, ,an下面写一个单位 矩阵，构成一个(n+1) n矩阵，再对A施行列 初等变换，当A的第一行变成(d,0, ,0)时，则下面的单位阵便成了B。,即：,推论2 设 最大公因数d 可表示 成它们的线性组合：,例3 求115，570，935的最大公因数，并表 示其线性组合。,解：,作矩阵A，并对A的列作初等变换：,所以,且,2. 利用初等变换解线性不定方程,命题2 设n元一次不定方程,若 ,则方程(3)有整数解，其解为,而bij

11、是(1)中矩阵B的元素。,证明：,是方程(3)的一组整数解。,由(1)得,故(4)是方程(3)的解。,设 是方程(3) 的任一整数解，则,由 得,再由(1)得,所以 ， 故再由(5)得,令,则,所以,故(4)代表了方程(3)的任一整数解。,解：作矩阵A，并对的列作初等变换：,于是：d =18且18|36，,故原不定方程有整数解，且其所有解为：,3. 矩阵的初等变换在求特征值与特 征向量的应用,物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题由特征方程求特征值是比较困难的。,而在现有的教材和参考资料由特征方程求 特征值总要解带参数的行列式，且只有先求 出特征值方可由方

12、程组求特征向量有些文 献给出了只需通过行变换即可同步求出特征 值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数 行列式的计算问题,下面给出一种只需对原矩阵进行行列互逆 变换就可同时求出特征值与特征向量的结论， 进而讨论反问题.,定义：设A是n阶方阵，如果存在数和n维非 零向量x，使得Ax =x成立，则称为A的特征 值，x是A的对应特征值的特征向量。,性质：,（1）若i是A的ri重特征值，A对应特征值i有 si个线性无关的特征向量(siri),（2）若x1,x2都是矩阵A的属于特征值0的特征 量，则当k1,k2不全为零时，k1x1+k2x2仍是A的 属于特征值0的特征向量.,（3）若1 ,2 ,n是矩阵A

13、的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是x1,x2,xn,则 x1,x2,xn线性无关,（5）实对称矩阵A的特征值都是实数，属于 不同特征值的特征向量正交,（6）若i是实对称矩阵A的ri重特征值，则对 应特征值i恰有ri个线性无关的特征向量,（7）设为矩阵A的特征值，P(x)为多项式函数，则P()为矩阵多项式P(A)的特征值,众所周知，求特征值与特征向量是比较繁琐的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量这里将给出一个新的有效方法，只需对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量，为此给出如下定义：,定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列 互逆变换：,（1）互换i, j两行，同时互换i, j两列；,（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘1/k ；,（3）第i行k倍加到第j行，同时第j列k倍 加到第i列.,定理：A为n阶可对角化矩阵，并且,其中,则 为A的全部特征值， 为 A的属于i的特征向量.,证: 由矩阵行初等变换等价于左乘相应初等矩阵，矩阵列初等变换等价于右乘相应初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义，知PT为若干初等矩阵的乘积，,从而可逆，且 , 即 从而 ，因为,所以,则,所以,因此，该方