八年级几何辅助线专题训练

1、最新资料推荐常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法 ：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线 ：倍长中线，使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线 ：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4. 垂直平分线联结线段两端 ： 在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。5. 用“截长法”或

2、“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法 ：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 .7. 角度数为 30 度、 60 度的作垂线法 ：遇到三角形中的一个角为 30度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 面积方法 ：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答1最新资料推荐一、等腰三角形“三线合一”法1.如图

3、，已知 abc 中， a 90， ab ac ，be 平分 abc ，cebd 于 e，求证： ce= bd.中考连接：（ 2014?扬州，第7 题， 3 分）如图，已知aob=60，点 p 在边 oa 上，op=12，点 m， n 在边 ob 上， pm=pn，若 mn=2，则 om=（）a 3b 4c 5d 6二、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图abc中， ab=5，ac=3，a则中线 ad的取值范围是 _.bdc例 2、如图，abc中，e、f 分别在 ab、ac上，dedf，d是中点，试比较 be+cf与 ef的大小 .aefbdc例 3、如图， abc中， b

4、d=dc=ac，e 是 dc的中点，求证： ad平分 bae.abdec2最新资料推荐中考连接：（09 崇文）以的两边、ac 为腰分别向外作等腰 rtabc和等腰 rtace，abbadcae 90 ,， 、的中点探究： am 与 de连接 de m n 分别是 bcde的关系（ 1）如图当abc 为直角三角形时，am 与 de 的位置关系是，线段 am 与 de 的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 rtabd 绕点 a 沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 abc中， b=60， abc的角平分线 a

5、d,ce相交于点 o，求证： oe=odaeobcd3最新资料推荐2、如图，已知点c 是 man 的平分线上一点， ceab 于 e， b、d 分别在am 、an 上，且 ae= （ad+ab ）.问： 1 和 2 有何关系？中考连接：(2012 年北京 )如图， op 是 mon 的平分线，请你利用该图形画一对以op 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图，在 abc 中， acb 是直角， b=60， ad、ce 分别是 bac、 bca 的平分线， ad、ce 相交于点 f。请你判断并写出 fe 与fd 之间的数量关系；（ 2）如图，在

6、abc 中，如果 acb 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，b请说明理由。mbeefdfdopacc图na图图4最新资料推荐四,垂直平分线联结线段两端1. （ 2014?广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰 abc 中， ab=ac， dbc=15， ab 的垂直平分线 mn 交 ac 于点 d ，则 a 的度数是2、如图， abc中， ad平分 bac，dg bc且平分 bc，de ab于 e，df ac于 f. （1）说明 be=cf的理由；（2）如果 ab=a ， ac=b ，求 ae、be的长 .aegbc

7、fd中考连接：（ 2014 年广东汕尾，第19 题 7 分）如图，在rt abc 中， b=90，分别以点a、 c 为圆心，大于ac 长为半径画弧，两弧相交于点m 、n，连接 mn ，与 ac、 bc 分别交于点d、e，连接 ae（ 1）求 ade ；（直接写出结果）（ 2）当 ab=3， ac=5 时，求 abe 的周长补充：尺规作图过直线外一点做已知直线的垂线5最新资料推荐五、截长补短1、如图，abc 中， ab=2ac， ad平分bac ，且 ad=bd，求证： cd acacbdadebc2、如图， ad bc，ea,eb分别平分 dab,cba，cd过点 e，求证 ;abad+bc。

8、3、如图，已知在 abc 内，bac 600c 400， ，分别在，上，p qbc ca并且 ap， bq分别是bac ，abc 的角平分线。求证： bq+aq=ab+bpabqp4、如图，cabc ，在四边形 abcd中， bcba,adcd，bd平分求证：ac 180 0adbc5. 如图，已知正方形 abcd 中，e 为 bc 边上任意一点，6最新资料推荐af 平分 dae 求证： aebedf6.如图， abc 中， abc=60，ad 、 ce 分别平分 bac ，acb ，判断 ac 的长与 ae+cd 的大小关系并证明 .7.如图， rtabc 中， acb=90，cdab 于

9、d，af 平分 cab 交 cd 于 e，交 cb 于 f，且 egab 交 cb 于 g，判断 cf 与 gb 的大小关系并证明。六、综合7最新资料推荐1、正方形 abcd中， e 为 bc上的一点， f 为 cd上的一点， be+df=ef，求 eafad的度数 .fbec2、如图， abc 为等边三角形，点 m , n 分别在 bc, ac 上，且 bm cn ，am与 bn 交于 q 点。求 aqn 的度数。3、已知四边形 abcd 中， abad ， bccd ， ab bc ， abc120 ， mbn60 ， mbn 绕 b 点旋转，它的两边分别交ad，dc （或它们的延长线）于

10、 e，f 当 mbn 绕 b 点旋转到 aecf 时（如图 1），易证 ae cf ef 当 mbn 绕 b 点旋转到 aecf 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ae，cf ， ef 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明amaabebe mbcfdcfdf cdnnnem（图 1）（图 2）（图 3）bae4、d为等腰 rt abc 斜边 ab的中点， dm dn,dm,dn分别交mcfa bc,ca于点 e,f。8n最新资料推荐（1） 当mdn 绕点 d转动时，求证 de=df。（2） 若 ab=2，求四边形 decf的面积。

11、5、在等边abc 的两边 ab 、ac 所在直线上分别有两点m 、n，d 为abc外一点，且mdn60 ,bdc120 ,bd=dc. 探究：当 m 、n 分别在直线 ab 、ac 上移动时， bm 、nc 、mn 之间的数量关系及 amn 的周长 q 与等边 abc 的周长 l 的关系图 1图 2图 3（ i）如图 1，当点 m 、n 边 ab 、ac 上，且 dm=dn 时， bm 、nc、mn之间的数量关系是； 此时 q；l（ ii）如图 2，点 m 、n 边 ab 、ac 上，且当 dmdn 时，猜想（ i）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ iii ） 如图 3，当 m

12、 、n 分别在边 ab 、ca 的延长线上时，若 an= x ，则 q=（用 x 、l 表示）中考连接：（ 2014?抚顺第 25 题（ 12 分）9最新资料推荐已知： rta bc rtabc ， a cb=acb=90， a bc= abc=60， rta bc可绕点 b 旋转，设旋转过程中直线 cc和 aa 相交于点 d（1）如图 1 所示，当点 c在 ab 边上时，判断线段 ad 和线段 a d 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将 rta bc由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将 rta bc由图 1 的位

13、置按顺时针方向旋转 角（ 0 ）120，当 a 、c、 a三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数参考答案与提示10最新资料推荐一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图 abc中，ab=5，ac=3，则中线 ad的取值范围是 _.解：延长ad至 e 使 ae2ad，连 be，由三角形性质知aab-be 2adab+be故 ad的取值范围是1ad4bdc例 2、如图， abc中， e、 f 分别在 ab、 ac上， de df， d 是中点，试比较be+cf与 ef的大小 .a解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 fd至 g使 fg2ef，连 bg，

14、 eg,e显然 bg fc，f在 efg中，注意到dedf，由等腰三角形的三线合一知eg efbcd在 beg中，由三角形性质知egbg+be故： efbe+fc例 3、如图， abc中， bd=dc=ac， e 是 dc的中点，求证： ad平分 bae.abdec解：延长ae至 g使 ag2ae，连 bg， dg,显然 dg ac， gdc=acd由于 dc=ac，故 adc= dac在 adb与 adg中，bd ac=dg， ad ad，11最新资料推荐 adb= adc+acd= adc+ gdc adg故 adb adg，故有 bad= dag，即 ad平分 bae应用：1、（09崇文

15、二模）以的两边ab 、ac为腰分别向外作等腰abcrtabd 和 等 腰rt ace ， badcae90 , 连接 de， m、 n分别是 bc、 de 的中点探究：am 与de 的位置关系及数量关系（ 1）如图 当abc 为直角三角形时， am 与 de的位置关系是，线段 am与 de 的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 rt abd 绕点 a 沿逆时针方向旋转(090) 后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：（ 1） ed2 am ， amed ；证明：延长 am 到 g，使 mgam ，连 bg，则 abgc 是平行四边形 acbg ，abgbac180又d

16、aebac180dnabgdaehe再证：daeabg de2am ，bagedaa延长 mn 交 de 于 hbagdah90bchdadah90m amedg（ 2）结论仍然成立证明：如图，延长ca 至 f，使 acfa ，fa 交 de 于点 p，并连接 bf da ba ， eaaffbaf 90dafeadd在fab 和 ead 中npea12最新资料推荐faaebafeadbadafabead （ sas） bfde ，faenfpdfapeaen90 fb de又 caaf ， cmmb am / fb ，且 am1 fb2 amde ， am1 de2二、截长补短1、如图， a

17、bc 中， ab=2ac， ad平分 bac ，且 ad=bd，求证： cd ac 解：（截长法）在 ab上取中点 f，连 fd adb是等腰三角形， f 是底 ab中点，由三线合一知 df ab，故 afd 90 adf adc（sas） acd afd90即： cd ac2、如图， ad bc， ea,eb 分别平分 dab,cba， cd过点 e，求证 ;ab ad+bc解：（截长法）在ab上取点 f，使 af ad，连 fe ade afe（sas） ade afe， ade+ bce 180 afe+ bfe 180故 ecb efb fbe cbe（aas）adebc13最新资料推

18、荐故有 bf bc从而 ;ab ad+bc3、如图，已知在 abc内， bac040060 ， c， p，q分别在 bc， ca上，并且 ap，bq分别是bac ， abc 的角平分线。求证：abq+aq=ab+bp解：（补短法 , 计算数值法）延长 ab至 d，使 bd bp，连 dp 在等腰 bpd中，可得 bdp 40从而 bdp 40 acp adp acp（asa）故 ad ac又 qbc 40 qcb故 bqqcbd bp从而 bq+aq=ab+bpbqpc4、如图，在四边形abcd中， bc ba,ad cd， bd平分求证：ac1800解：（补短法）延长ba 至 f，使 bf

19、bc，连 fd bdf bdc（sas）故 dfb dcb ， fddc又 ad cd故在等腰 bfd中 dfb daf故有 bad+ bcd 180abc ，adbc14最新资料推荐5、如图在 abc中， abac， 1 2， p 为 ad上任意一点，求证;ab-ac pb-pca12pbcd解：（补短法）延长ac至 f，使 af ab，连 pd abp afp（sas）故 bp pf由三角形性质知pb pc pf pc cf af acab ac应用：分析： 此题连接 ac，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 bc

20、ad ae连接 ac，过 e 作 ef / bc 并 ac 于 f 点da则可证aef 为等边三角形即 aeef ， aefafe 60 cfe120fe15bc最新资料推荐又 ad / bc ，b60 bad 120又dec60adaedfec在 ade 与 fce 中eadcfe ， aeef ， aedfece ade fce adfcbc bc ad ae点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、四、借助角平分线造全等1、如图，已知在abc中， b=60， abc的角平分线ad,ce相交于点o，求证： oe=od，dc+ae =a

21、c证明 (角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 ) b=60 度,则 bac+ bca=120 度 ;ad,ce 均为角平分线 ,则 oac+ oca=60 度=aoe= cod; aoc=120 度 .在 ac 上截取线段 af=ae, 连接 of.又 ao=ao; oae= oaf.则 oae oaf(sas),aeooe=of;ae=af;aof= aoe=60 度 .则 cof= aoc- aof=60 度 = cod;又 co=co; ocd= ocf.故 ocd ocf(sas),od=of;cd=cf.oe=oddc+ae=cf+af=ac.b c d16最新资料推荐2、如图，

22、 abc中， ad平分 bac， dg bc且平分 bc， de ab于 e， df ac于 f.（ 1）说明 be=cf的理由；（ 2）如果 ab=a ， ac=b ，求 ae、 be的长 .解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 bd， dcdg垂直平分 bc，故 bddca由于 ad平分 bac， de ab 于 e， df ac于 f，故有eed dfbgcf故 rt dbe rt dfc（ hl）d故有 becf。ab+ac2aeae（ a+b） /2be=(a-b)/2应用：1、如图， op 是 mon 的平分线，请你利用该图形画一对以op 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考

23、这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图， 在 abc 中， acb 是直角， b=60 ，ad 、ce 分别是 bac、bca的平分线， ad、 ce 相交于点 f 。请你判断并写出fe 与 fd 之间的数量关系；（ 2）如图，在 abc 中，如果 acb 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。bmbeedf dfopacac图n图图(第 23 题图 )解：（ 1） fe 与 fd 之间的数量关系为fe fd（ 2）答：（ 1）中的结论 fe fd 仍然成立。证法一： 如图 1，在 ac 上截取 aga

24、e ，连结 fg17最新资料推荐 12 ， af 为公共边， aefagfafeafg ， fe fgb 60 ，ad 、ce 分别是bac 、bca的平分线b 23 60 afecfdafg 60cfg60edf34及 fc 为公共边14cfgcfd23 fgfdagc fefd图 1证法二： 如图 2，过点 f 分别作 fg ab 于点 g， fhbc 于点 hb60，ad 、ce 分别是bac 、bca的平分线b可得2360 ， f 是abc 的内心gdgef601， fh fgeh又hdfb1f14gefhdf23可证egfdhfac图 2 fe fd五、旋转例 1 正方形 abcd中

25、，e 为 bc上的一点， f 为 cd上的一点， be+df=ef，求 eaf的度数 .证明：将三角形 adf 绕点 a 顺时针旋转 90 度，至三角形 adabgf则 ge=gb+be=df+be=ef又 ae=ae ，af=ag ，所以三角形 aef 全等于 aegbec18最新资料推荐所以 eaf= gae= bae+ gab= bae+ daf 又 eaf+ bae+ daf=90 所以 eaf=45 度例 2 d 为等腰 rt abc 斜边 ab的中点， dm dn,dm,dn分别交 bc,ca于点 e,f 。(1) 当 mdn 绕点 d转动时，求证 de=df。(2) 若 ab=2

26、，求四边形 decf的面积。解： ( 计算数值法 ) （1）连接 dc，d为等腰 rt abc 斜边 ab 的中点，故有 cd ab， cd da cd平分 bca 90， ecd dca 45由于 dm dn，有 edn90由于 cd ab，有 cda 90从而 cde fda 故有 cde adf（ asa）故有 de=df（ 2）sabc=2, s 四 decf= s acd=1例 3 如图， abc是边长为3 的等边三角形，bdc 是等腰三角形，且bdc1200 ，以 d 为顶点做一个600 角，使其两边分别交ab于点 m，交 ac于点 n，连接 mn，则amn的周长为；19最新资料推

27、荐解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法” , 计算数值法 ) ac 的延长线与 bd 的延长线交于点 f，在线段 cf 上取点 e，使 cebm abc 为等边三角形，bcd 为等腰三角形，且bdc=120 ， mbd= mbc+ dbc=60 +30=90， dce=180 - acd=180 - abd=90 ，又 bm=ce ， bd=cd ， cde bdm ， cde= bdm ， de=dm ， nde= ndc+ cde= ndc+ bdm= bdc- mdn=120 -60 =60，在 dmn 和 den 中，dm=demdn= edn=60dn=dn dmn den

28、， mn=ne在 dma 和 def 中，dm=demda=60 - mdb=60 - cde= edf( cde= bdm) dam= dfe=30 dmn den(aas) ， ma=feamn 的周长为 an+mn+am=an+ne+ef=af=620最新资料推荐应用：1 、 已 知 四 边 形 abcd 中 ， abad ， bccd ， abbc ， abc120 ， mbn60 ， mbn 绕 b 点旋转，它的两边分别交ad，dc （或它们的延长线）于 e，f 当 mbn 绕 b 点旋转到 aecf当 mbn 绕 b 点旋转到 aecf时（如图1），易证 ae cf ef 时，在图

29、2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ae，cf ， ef 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明aaabembe mbcfdcfdfcdnnne（图 1）（图 2）（图 3）m解：（ 1） abad ， bccd ， abbc ， aecfabecbf （ sas）；abecbf ， be bf abc 120 ， mbn 60 abecbf30， bef 为等边三角形 beefbf ， cfae1 be2 aecfbeef（ 2）图 2 成立，图3 不成立。证明图 2，延长 dc 至点 k ，使 ckae ，连接 bk则 baebcka be

30、bk ， abekbcbe m21kcfdn最新资料推荐 fbe 60 ， abc 120 fbcabe 60 fbckbc 60 kbffbe 60 kbfebf kf ef kc cf ef即 ae cf ef图 3 不成立， ae、 cf、 ef 的关系是 ae cf ef2、（西城 09 年一模） 已知 :pa= 2 ,pb=4, 以 ab为一边作正方形abcd,使 p、 d 两点落在直线 ab的两侧 .(1) 如图 , 当 apb=45时 , 求 ab及 pd的长 ;(2) 当 apb变化 , 且其它条件不变时 , 求 pd的最大值 , 及相应 apb的大小 .分析：（ 1）作辅助线

31、，过点 a 作 aepb 于点 e，在 rt pae中，已知ape ，ap 的值，根据三角函数可将ae， pe 的值求出，由 pb 的值，可求be 的值，在 rt abe 中，根据勾股定理可将 ab 的值求出；求 pd 的值有两种解法， 解法一：可将 pad绕点 a 顺时针旋转90得到p ab ，可得padp ab ，求pd 长即为求 p b 的长，在 rt app 中，可将 pp 的值求出，在rt pp b 中，根据勾股定理可将 p b 的值求出；解法二：过点 p 作 ab 的平行线，与 da 的延长线交于f，交 pb 于 g，在 rt aeg 中，可求出ag，eg 的长，进而可知pg 的值

32、，在 rt pfg 中，可求出 pf，在rt pdf 中，根据勾股定理可将pd 的值求出；（ 2）将 pad 绕点 a 顺时针旋转 90，得到p ab ，pd 的最大值即为p b 的最大值，故当 p 、 p、b 三点共线时，p b 取得最大值，根据 p b pppb 可求 p b 的最大值，此时 apb180app135解：（ 1）如图，作aepb 于点 e rt pae 中，apb 45 ， pa2d2c2 aepe12a pb 4 bepbpepeb3在 rtabe中，aeb 9022最新资料推荐 abae 2be 210解法一： 如图，因为四边形 abcd 为正方形， 可将将pad 绕点

33、 a 顺时针旋转90 得到p ab ，可得padp ab ， pdp b， pa p adpap90，app45，p pb90c pp2， pa2pa pd p bpp 2pb 2224 22 5 ；解法二：如图，过点p 作 ab 的平行线，与 da 的延长线交于pebf，设 da 的延长线交 pb于 g在 rt aeg 中，可得 agcosaeae10， eg1 ， pgpeeg2eag cosabe33d3在 rt pfg 中，可得 pfpg cosfpgpg cosabe10 ， fg10c515在 rt pdf 中，可得a22pd2adagfg2101010102 5gpf5153pebf（ 2）如图所示， 将pad 绕点 a 顺时针旋转90 , 得到p ab ，pd 的最大值， 即为 p b的最大值pp