1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质（3）.ppt

1、二次函数的图象与性质,1.2,我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数 的图象呢？,列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取 0 和一些互为相反数的数，并且算出相应 的函数值，列成下表：,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标， 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如 下图所示.,B,B,观察左图，点A和点A，点B和 点B，它们有什么关系？取更 多的点试试，你能得出函数y= x2的 图象关于y 轴对称吗？ 观察左图，y轴右边描出的各点， 当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？ y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横 坐标的增大而增大的特点吗？,可以证明y= x

2、2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.,连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点 和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性， 画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点 用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了 的图象. 如上图所示.,观察下图，函数 的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取 值的增大而减小， 简称为“左降”；,当x=0时，函数值最小，最小值为0.,从下图中可以看出，二次函数 的图象是 一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是 原点（0，0

3、）；,一般地，当a0时，y=ax2的图象都具有上述性质.,于是我们在画y=ax2(a0)的图象时，可以 先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.,在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.,例1,举 例,画二次函数 的图象.,列表：,描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：,利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点， 并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连 接起来，这样就得到了 的图象.如下图所示：,1. 二次函数y=6x2的性质有：,（1）图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是 ；,（2）图象的开口向 ；,（3）图象在对称轴左边的部分，函数值

4、随自变量取值的增大 而 ；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 的增大而 .,上,增大,减小,y轴,（0，0）,2. 在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2 及 的图象，并比较它们有什么共 同点和不同点？,通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）； 图象均是“左降”“右升”；当x=0时，函数值最小，为0.,我们已经画出了 的图象，能不能从它 得出二次函数 的图象呢？,在 的图象上任取一点 ，它关于 x轴的对称点Q的坐标是 ，如下图所示：,从点Q的坐标看出，点Q在 的图象上.,Q,由此可知， 的图象与 的图象关于x轴对称，因此只要把 的图

5、象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到 的图象. 如下图中的绿色曲线：,Q,对称轴是 ，,对称轴与图象的交点是 ；,图象的开口向 ，,y 轴,O(0，0),下,观察下图，函数 的图像具有哪些性质？,从图中可以看出，二次函数 的图象是一条曲线，,图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；,当x= 时，函数值最 ，,减小,右降,增大,左升,0,大,0,大,当a0时，y=ax2的图象都具有上述性质.,于是今后画y=ax2(a0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的

6、部分.,在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.,举 例,解 列表：,例2 画二次函数 的图象.,描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.,利用对称性画出y轴左边的部分.,这样我们得到了 的图象.,如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a0)的图象相像吗？,以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a0)的图象的一段. 由此受到启发，我们 把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线 y=ax2.,一般地，二次函数y=ax

7、2的图象关于y轴对称.,抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.,（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而 ；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 的增大而 .,1.画出二次函数y=-10 x2的图象并填空：,（1）抛物线的对称轴是 ，顶点是 ；,（2）抛物线的开口向 ；,y轴,原点O(0，0),下,减小,增大,2. 在同一直角坐标系中，分别画出函数 y=-0.3x2与y=-8x2 的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.,把二次函数 的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示：,由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E在向右平移1个单位后：,抛物线F

8、是哪个函数的图象呢？,在抛物线 上任取一点 ，它在向右平移1个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？,把点P的横坐标a加上1， 纵坐标 不变，就得到像 点Q的坐标为,记b=a+1，则a=b-1.,从而点Q的坐标为 ，这表明：点Q在函数 的图象上.,由此得出，抛物线F是函数 的图象.,从上面的过程可以说明：函数 的图 象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是 ，它的对称轴是过点 且平行于y轴的直线l. 直线l是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线 l记做直线x=1.,二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线， 它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是 (h，0). 当a0时，抛物线的开口向上； 当a0

9、时，开口向下.,类似地， 我们可以证明下述结论：,由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的 图象的性质，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分.,在画图象的右边部分时，只需要“列表， 描点，连线”三个步骤就可以了.,举 例,解 抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2， 顶点坐标是(2，0).,例3 画函数y=(x-2)2的图象.,列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:,这样我们得到了函数y=(x-2)2 的图象.如下图所示：

10、,y=(x-2)2,1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.,（1）,答：对称轴是直线x = 5，顶点是(5，0)，开口向上.,（2）y=-3(x+2)2,答：对称轴是直线x =-2，顶点是(-2，0)，开口向下.,2. 分别画出二次函数 y=-(x-1)2， 的图象.,解,如何画二次函数 的图象？,我们来探究二次函数 与 之间的关系.,从上表看出：对于每一个给定的x值，函数 的值都要比函数 的值大3，由此可见函数 的图象可由二次函数 的图象向上平移3个单位而得到（如下图）.,因此，二次函数 的图象也是抛 物线，它的对称轴为直线x=1(与抛物线 的对称轴一样)，顶点坐标为(1，

11、3)(它是由抛物 线 的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)， 它的开口向上.,一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线， 它具有下述性质：,由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：,第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平 面直角坐标系内画出对称轴，描出 顶点；,第二步 列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)， 描点和连线，画出图象在对称轴右边的部 分；,第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部 分(这只要先把对称轴左边的对应点描出 来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和 顶点).,举 例,解 对称轴是直线x=-1，

12、顶点坐标为(-1，-3).,列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.,例4 画二次函数 的图象.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.,这样我们得到了函数 的图象.,由函数图象过点（0，4）， 可得 4=a(0+2)2 + 1，,因此，所求的二次函数的表达式为,解得,1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：,答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.,答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.,2. 画二次函数 的图象.,3. 已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过 点(-1，0)，求这个抛物线

13、所表示的二次函数 的表达式.,由函数图象过点(-1，0)，可得 0=a(-1 +3)2 +2，,解得,因此，所求的二次函数的表达式为,如何画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？,我们已经会画y=a(x-h)2+k的 图象.因此只需把-2x2+6x-1配方成 -2(x-h)2+k的形式就可以了.,配方：,对称轴是直线 ，顶点坐标是 .,列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.,这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象.,观察下图，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？,当x

14、等于顶点的横坐标 时，函数值 最大；这个最大值等于顶点的纵坐标 .,一般地，有下述结论：,二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a0)或最小值 (当a0)，这个最大 (小)值等于顶点的纵坐标.,举 例,解,配方：,例6 求二次函数 的最大值.,顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1.,一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方，,顶点坐标是,因此，当 时，函数达到最大值(当a0)或最小值(当a0)：,1.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和 开口方向，并画出它们的图象.,（1） y=3x2-6x+1；,2. 求下列二次函数的图象的顶点坐标：,（1） y=x2-3x+2；,3. 用配方法求第2题中各个二次函数的最大值或最小值.,（1） y=x2-3x+2；,答：原函数配方得 当 时，y最小=,例1,把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的