高考数学最后冲刺专题讲座必修一 第一章 集合与函数的概念

1、高考数学冲刺讲义 (必修一),一线数学特级教师倾情奉献！,专题纲目,知识体系,例3,(必修1) 第一章 集合与函数概念,第1讲,集合的概念及运算,知识体系,理解集合、子集、真子集、交集、并集、补集的概念，了解全集、空集、属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，能使用韦恩图表达集合的关系及运算.,-1,若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾; 若a2=1，则a=-1或a=1(舍去),故a=-1符合题意.,1.已知集合A=0,a,a2,且1A,则a=,2.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8， 集合S=1,3,5,T=3,6,则 U(ST)等于 .,ST=1,3,5,6,

2、 U(ST)=2,4,7,8.,2,4,7,8,3.若A、B为两个集合，AB=B,则一定有( ),A,4.如图所示，设U为全集，M、N是U的两个子集，则图中阴影部分表示的集合是 .,A. AB B. B A C. AB= D. A=B,M( UN),图中阴影部分是表示在M中且不在N中的部分，故可表示为M( UN).,5.设A=y| y=x2+1, xR,B=x| y=x-3,则AB= .,1,+),因为A=y|y=x2+1,xR=1,+), B=x|y=x-3=(- ,+), 故AB=1,+).,1.集合的有关概念 (1)一般的，某些指定的对象集中在一起就构成了一个集合，集合中的每个对象叫这个

3、集合的元素. (2)元素与集合的关系有两种： , .,属于“”,不属于“”,(3)集合中元素的性质： . (4)集合的表示法： ； (5)集合的分类：按元素个数可分为 .,确定性、互异性、无序性,列举法、描述法、韦恩图法,空集、有限集、无限集；,(6)两个集合A与B之间的关系：,2n,2n-1,(7)常用数集的记法：,2.集合的运算及运算性质,且,x|xA且xB,或,x|xA或xB,x|xU且xA,属于“”；不属于“”；确定性、互异性、无序性；列举法、描述法、韦恩图法；空集、有限集、无限集；2n;2n-1;且；x|xA且xB;或; x|xA或xB; x|xU且xA,题型一 集合的概念,例1,(

4、1)下面四个命题中，正确的有 .,0=； 0； ； .,(2)若A=(x,y)|x+2|+ =0，B=-2,-1，则必有( ),A.AB B.AB C.A=B D.AB=,D,是空集的符号，表示不含任何元素的集合，规定空集是任何集合的子集.本例应从概念入手. （1）0表示含有一个元素0的集合，0；0与是元素与集合的关系， 0 ；表示含有一个元素的集合，故正确的命题有. （2）因为A=(-2,-1)，表示点集，B=-2,-1，为数集，两个集合不可能有公共部分，故选D.,（1）空集虽然不含任何元素，然而在不同的问题背景下，其含意却是十分具体的，不含任何元素是的本质特征，利用此特征才能找到解题的突破

5、口. （2）解集合问题，首先是读懂集合语言，把握元素的特征.本题第(2)问许多同学易错选C，错因是未能正确理解集合的概念，误认为A=-2,-1.,（1）集合P=y|y=x2，Q=y|x2+y2=2，则PQ等于( ),题型二 集合的运算,例2,A.1 B.(1,1),(-1,1) C.0, D.0, ,D,（2）设I为全集，S1,S2,S3是I的三个非空子集，且S1S2S3=I,则下面论断正确的是( ),A. IS1(S2S3) B.S1 ( IS2 IS3) C IS1 IS2 IS3= D.S1 ( IS2 IS3),C,集合的运算优先化简数形结合，按交、并、补、子集概念依次进行.,（2）（

6、方法一）利用韦恩图分析，可知选C. （方法二）取I=1,2,3,4.5,S1 =1,2,3, S2 =2,3,4, S3 =3,4.5, 检验知只有C成立.故选C.,（1）因为P= 0,+)，Q= ， ， 所以PQ= 0, ，故选D.,(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解题的突破口. (2)解决集合问题，常用韦恩图直观地表示. (3)理解补集的意义： UI指在全集U中但不在集合A中的元素组成的集合.,已知集合M=x|x2+x-6=0, N=x|ax-1=0，且MN=N,求实数a的值.,NM=N N M，根据子集的概念，集合N可以是空集，所以要对a的值进行分类讨论.,由x2+x-6=0，得x

7、=2或x=-3, 所以M=2,-3. NM=NNM. ()当a=0时，N=，此时NM； （）当a0时，N= . 由NM，得 或 即 或 故所求实数a的值为0或 或 .,解析,(1)解集合问题时，不能忽略对解题的影响. (2)常见的等价结论：AB=AAB; AB=BAB; U(AB)= UA UB; U（AB）= UA UB. (3)空集的性质： A,A(A),A=A,A=.,点评,题型三 集合的创新与应用,（1）定义集合运算：A*B=z|z=xy，xA，yB，设A=1,2，B=0,2，则集合A*B的所有元素之和为( ),例3,A.0 B.2 C.3 D.6,D,（2）某实验班有21个学生参加数

8、学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人.现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票?,（1）因为z=xy，x1,2，y0,2，故xy=0,2,4，从而A*B=0,2,4，故集合A*B的所有元素之和为6.故选D. （2）该班学生参加竞赛如图所示，集合A、B、C、D、E、F、F中的任何两个无公共元素，其中G表示三科都参加的学生集合，card(G)=2.,因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人， 所以card(D)=12

9、-2=10. 同理，得card(E)=6-2=4， card(F)=5-2=3. 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21,17,10. 所以card(A)=21-2-10-4=5， card(B)=17-2-10-3=2，,card(C)=10-3-2-4=1. 故需预定火车票的张数为 5+2+1+10+4+3+2=27.,本题是属于创新型的概念理解题.准确理解A*B是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合的含义，明确题目所要解决的问题，从而使问题得以解决.,点评,1.读懂集合语言、把握元素的特征是分析解决集合问题的前提. 2.化简集合（具体化、一般化、特

10、殊化）是解集合问题的策略. 3.注意集合元素的三要素（尤其是互异性）、不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍. 4.数形结合、分类讨论、补集思想、转换化归是解集合问题能力的具体体现.,课后再做好复习巩固. 谢谢！,再见！,(必修1) 第一章 集合与函数概念,第2讲,函数的概念、解析式及定义域,知识体系,理解函数的概念;掌握简单的定义域的求法；掌握求函数解析式的常用方法.,因为两个函数的定义域相同、对应法则也相同时为同一函数，而与自变量选用的字母无关，故选C.,1.下列函数中，与y=x是同一函数的是( ),C,A.y= B.y= C.y= 3 D.y=2log2x,-2,1)(1,4),2.函数y

11、= +lg(4-x)的定义域是 .,2ex-1 (x2) log3(x2-1) (x)， 则ff(2)的值为( ),C,A.0 B.1 C.2 D.3,f(2)=log3(22-1)=1,ff(2)=f(1)=2e1-1=2.选C.,4.f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)= .,设f(x)= ，则由已知得-1= ，得k=3， 所以f(x)= .,f(x)=,3.设,5.已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，若作代换x=g(t)，则不改变函数f(x)的值域的代换是( ),A,A.g(t)=log2t B.g(t)=|t| C.g(t)=cost D.g(t)=et,因为f(x

12、)中的xR，而g(t)=log2tR，故选A.,1.函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 ，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,其中x的取值范围A叫函数的 , 叫函数的值域，值域是 .的子集.,任意一个数x,唯一确定,定义域,f(x)|xA,集合B,2.函数的三要素 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当 . 3.函数的表示法 .,定义域、对应法则、值域,定义域和对应法则完全相同,解析法、图象法、列表法,4.映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中

13、都有 的元素y与之对应，那么应称对应f:AB从集合A到B的一个映射.,任意一个元素x,唯一确定,任意一个数x;惟一确定；定义域；f(x)|xA;集合B；定义域、对应法则、值域；定义域和对应法则完全相同;解析法、图象法、列表法；任意一个元素x;惟一确定,（1）已知函数f(x)的定义域是0,1， 则f(x2-1)的定义域是 ； （2）若函数y= 的定义域为R,则实 数k的取值范围是 .,题型一 函数的定义域问题,例1,- ,-11, ,(-2 ,2 ),（1）由0 x2-111x22 - x-1或1x . 所以f(x2-1)的定义域是- ,-11, . （2）问题等价于2x2+kx+10对xR恒成

14、立, 所以=k2-80 -2 k2 . 故实数k的取值范围为(-2 ,2 ).,f(x)与fg(x)的定义域的关系问题要搞清，两者之间的“x”的含义不同；逆向问题注意等价转化思想.,题型二 函数的解析式问题,求下列函数的解析式： (1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x); (2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).,例1,根据条件可灵活运用不同的方法求解.,(1)(方法一)待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. 又f(3x+1)=9x2-6x

15、+5, 所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,比较两端的系数， 得 9a=9 6a+3b=-6 ， a+b+c=5 所以f(x)=x2-4x+8. (方法二)换元法. 令t=3x+1,则x= , 代入f(3x+1)=9x2-6x+5中， 得f(t)=9( )2-6 +5=t2-4t+8, 所以f(x)=x2-4x+8.,a=1 b=-4 , c=8,解得,(2)直接列方程组求解. 由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x, 得2f(-x)+f(x)=-3x+2, 解方程组 2f(x)+f(-x)=3x+2 2f(-x)+f(x)=-3x+2, 得f(x)

16、=3x+ .,（方法三）整体代换法. 因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8， 所以f(x)=x2-4x+8.,函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：如果已知函数ff(x)的表达时，可用换元法或配凑法求解；如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；如果所给式子含有f(x)、f( )或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.,题型三 分段函数问题,f (x+2)(x-1) 2x+2 (-1x1) 2x-4 (x1)， 则f f(-2

17、008)= ；,0,(1)已知函数 f(x)=,(1)ff(-2008)=ff(-2006)= ff(-2)=ff(0)=f(2)=22-4=0.,(2)当x+10时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x， 则原不等式可化为 x+(x+1)(-x)1,即x-1; 当x+10时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不等式可化为x+(x+1)x1,即-1x-1+ 综合,得原不等式的解集为x|x -1.,x+1(x0) x-1(x0),则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .,(2) f(x)=,题型三 分段函数问题,分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； 分段函数求解

18、时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式； 分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.,1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可. 如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于零而不等于等等.,2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法. 3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合.,课后再做好复习巩固

19、. 谢谢！,再见！,(必修1) 第一章 集合与函数概念,第3讲,函数的性质,理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题.,因为奇、偶函数的定义域关于原点对称，所以p+q=0.,1.若偶函数f(x)的定义域是p，q，则p+q= .,0,2.给出下面四个函数： f(x)=x3; f(x)=sinx+tanx; f(x)=ax2+bx+c(ab0)；f(x)=lg +x. 其中是奇函数的有( ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,C,3.下面四个命题： 偶函数的图象一定与y轴相交； 奇

20、函数的图象一定过原点； 偶函数的图象关于y轴对称； 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR). 其中正确命题的个数是( ),A.1 B.2 C.3 D.4,A,是错的，举反例：f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，但与y轴没有交点;是错的,举反例：f(x)= 是奇函数,图象不过原点；是正确的;是错的,举反例:f(x)=0，x-1,1既是奇函数又是偶函数，但是只要定义域不同,就是不同的函数.,4给出下列四个函数：f(x)=x+1;f(x)= ;f(x)=x2;f(x)=sinx. 其中在(0,+)上是增函数的有( ),C,A.0个 B.个 C.个 D.个,5.(1)函数f(x)

21、=2x2-3x+1的单调递增区间是 ； (2)函数f(x)=|2x2-3x+1|的单调递增区间是 ； (3)函数f(x)= 的单调递增区间是 .,1,+), ,+), , 和1,+),(1)显然递增区间为 ,+). (2)函数f(x)=|2x2-3x+1|的图象如图,递增区间是 , 和1,+). (3)对于f(x)= ,定义域是1,+)(-, .利用复合函数的单调性知，递增区间是1,+).,1.函数的单调性及其几何意义 一般的，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时，(1)若都有f(x1) f(x2),则称f(x)在区间D上是增

22、函数；(2)若都有f(x1) f(x2)，则称f(x)在区间D上是减函数.它的等价形式,即若x1、x2a,b,那么,0 f(x)在区间a,b上是 ; 0 f(x)在区间a,b上是增函数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 f(x)在区间a,b上是减函数.,增函数,减函数,两点的连线斜率都大于（或小于）零,增（或减）函数图象上任意,2.单调函数及单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),我们就说f(x)在这个区间上具有严格的单调性,区间D叫做f(x)的增区间(或减区间),统称为单调区间. 3.复合函数的单调性 复合函数y=fg(x)由内、外两层(分别是u=g(x)和y=f

23、(u)函数构成，其单调性可按 的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则fg(x)为增函数；若是一增一减，则fg(x)为减函数.,同增异减,4.函数奇偶性 一般的，如果 . (1)都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的图象是关于 成 对称的图形.若奇函数的定义域含有数0,则必有 ;偶函数的图象是关于 成 对称的图形.偶函数对定义域内的任意x的值，则必有 .,对于函数f(x)的定义域,内任意一个x,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),原点,中心,f(0)=0,y轴,轴,f(-x)=f(x)=f(|x

24、|),定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的 条件;在定义域的公共部分内，当f(x),g(x)均为奇函数时，有f(x)g(x)是奇函数；f(x)g(x)是偶函数.当f(x),g(x)均为偶函数时，有f(x)g(x)是 ;f(x)g(x)是 .,必备,偶函数,偶函数,（1）函数f(x)= 1-x+ x-1的奇偶性是 ； （2）已知函数f(x)=a- 是奇函 数，则a= .,题型一 函数的奇偶性,例1,非奇非偶函数,定义域为1,不关于原点对称！,奇函数定义域内含有0，f(0)=0,（1）因为f(x)的定义域是1，不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数. （2）（方法一）由

25、f(x)=-f(-x) =-(a- ) 2a= + =1 a= . （方法二）由f(0)=0 a= .,讨论函数f(x)=x+a/x(a0)的单调性.,题型二 函数的单调性,例2,注意到该函数解析式的结构特点是“增函数+减函数”的形式，不能直接确定增减性，需一边分析、讨论，一边论证，所以可考虑使用函数单调性的定义的办法来判断.,定义法. 由于函数的定义域为x|xR且x0,且f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论f(x)在(0,+)上的单调性. 设01,此时f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以f(x)在(0, 上是减函数. 当 x1x2时，恒有0 1,

26、 此时f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在 ,+)上是增函数. 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(-,- 和 ,+)上是增函数，在- ,0)和(0, 上是减函数.,显然，由已知条件知b的取值使得函数在(0,4上是减函数，在4,+）上是增函数.根据函数f(x)=x+ (a0)的性质，只需保证 =4,即2b=16,得b=4.,如果函数y=x+ 在(0,4上是减函数，在4,+)上是增函数,求实数b的值.,题型三 函数单调性的综合应用,例3,已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数，则a的取值范围是( ),B,A.(0,1) B.(1,2) C.(0

27、,2) D.2,+),u=2-ax0,y=logau,x0,1,注意到参数a0,所以内层函数u=2-ax在0,1上是减函数，根据复合函数单调性的判断方法，知外层函数y=logau必为增函数，因此a1.又内层函数u=2-ax在0,1上必须保证函数值均大于0，只需其最小值uminu(1)=2-a0,从而a2,所以满足题目要求的a的取值范围是(1,2)，故选B.,1.在研究函数的单调性时，要掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，要注意单调区间是定义域的子集. 2.函数的单调性的证明方法：定义证明法. 3.判断函数的单调性的方法：观察法；图象法；定义法；复合函数法；,4

28、.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反,且f(x)=f(-x)=f(|x|). 5.函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论函数的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点： (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的；,(2)f(-x)=-f(x 或f(-x)=f(x)和f(x+T)=f(x)(T0)是定义域上的恒等式; (3)若T是f(x)的一个周期，则kT(k0，kZ)也是f(x)的周期. f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称； f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称； 若f(x)为周期函数,则f(x)

29、的图象周期性出现. 6.判断函数的奇偶性的方法：定义法；图象法.,课后再做好复习巩固. 谢谢！,再见！,(必修1) 第一章 集合与函数概念,第4讲,函数的值域与最值,理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.,1.函数y=3x(-1x3，且xZ)的值域是 .,-3,0,3,6,9,由-1x3，且xZx=-1,0,1,2,3, 代入y=3x，得所求值域为-3,0,3,6,9.,2.函数f(x)= (xR)的值域是( ),A.(0,1) B.（0，1 C.0，1) D.0,1,B,函数f(x)= (xR),所以1+x2,所以原函数的值域是(0,1.,3.函数f

30、(x)=x2-2x(x0,4)的最大值是 ，最小值是 .,8,-1,f(x)=(x-1)2-1. 当x=1时,f(x)min=-1; 当x=4时，f(x)max=42-24=8.,4.函数f(x)= (x-1/2)的值域是 .,(-,-2,当x=-1时， 取最大值-2.,5.已知x0，y0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为 .,因为x+2y=1，x0，y0， 所以02y10y ， 2x+3y2=2-4y+3y2=3(y- )2+ ， 所以当y= 时， (2x+3y2)min=3( - )2+ = .,1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是 的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所

31、以求值域时应注意函数的 . (2)函数的最值. 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：()对于任意的xI,都有f(x)M;()存在x0I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的 .类似地可定义f(x)的最小值.,函数值,定义域,最大值,2.基本初等函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k0)的值域为 . (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域： 当a0时，值域为 ; 当a0且a)的值域为 .,R, ,+),(-, ,y|y0,(0,+),(5)对数函数y=logax(a0且a)的值域为 . (6)正、余弦函数y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域为

32、;正切函数y=tanx(xk+ ,kZ)的值域为 .,R,-1,1,R,3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)二次函数用配方法. (2)单调性法. (3)复合函数的值域由中间变量的范围确定. 此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等. (4)导数法(选修内容). 4.若f(x)为闭区间a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上一定有最大、最小值.,已知函数y=f(x)的值域为集合D，函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是( ),题型一 值域与最值的关系,例1,A.D=N，M B.MDN C.D N，M D.M、ND,D,不妨设f(x)=3x(-1x3，且xZ)，可知D=-3,0,3,6,9，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D.,1.函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数时，D=N，M，其中N=f(x)min，M=f(x)max.,题型二 函数值域的求法,例2,求函数f(x)=lg(1-x2)的值域.,由1-x20，得f(x)的定义域为x|-1x1，且f(x)为偶函数，故可考虑0 x1时的情况，此时，f(x)为减函数，故f(x