3地图投影及其判别与变换

1、现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,第三章 地图投影的基本知识,地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。 地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法。 地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状

2、与投影后经纬网的形状是不相同的。 为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,第

3、一讲 基本知识 地图表面和地球球面的矛盾 地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。,3.2 地图投影的定义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。 地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西

4、北师范大学地理与环境科学学院,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,3.2 地图投影的定义地图投影的研究对象及任务,1、研究对象 地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用 地图投影的变形规律 不同地图投影之间的转换 图上量算等问题,2.学习任务 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系 建立制图网经纬线在平面上的表象,3.3 地图投影变形,（1）投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西

5、北师范大学地理与环境科学学院,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,（2）变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。,为经线长度比；,为纬线长度比,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,微小圆变形椭圆,该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。,代入： X2 + Y2 = 1，得,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础

6、 西北师范大学地理与环境科学学院,特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向.,底索定律:无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。,主方向：在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,（3）阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。,根据阿波隆尼定理有: m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab,椭圆共轭直径:过椭圆内任一条直径(图中LL)的平行弦

7、中点的轨迹(图中KK)。,（4）变形椭圆的意义： 1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形 2）扁平程度反映角度变形的大小 3）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律,3.4 地图比例尺 1.含义,比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线段长度之比。即比例尺=图上距离/实地距离 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）,根据地图投影变形情况，比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。,2. 比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例

8、尺 变比例尺 无级别比例尺,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院, 扁平程度反映角度变形的大小,建立地球椭球面上经纬线网和平面上相应经纬线网的数学基础，也就是建立地球椭球面上的点的地理坐标（，）与平面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系： 当给定不同的具体条件时，将得到不同类型的投影方式。,第二讲 投影变形的相关概念,3.5 投影变形的相关概念 （1)长度比和长度变形： 长度比(m):设投影面上一微小线段为dS（变形椭圆半径），球面上相应微小线段为dS之比。则其长度比公式为：,现代地

9、图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院, 0 变大 = 0 不变 0 变小,长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。,长度变形(V m):长度比与1的差。,（2）面积比和面积变形 面积比（P ）:投影面上微小面积（变形椭圆面积）dF与球面上相应的微小面积（小圆面积）dF之比。 面积变形（Vp ）:面积比与1的差。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院, 0 变大 = 0 不变 0 变小,P = ab = m n (q = 90) P = m n sinq (q 90) 面积比是变量，随位置的不同而变化。,（3）角度变形 角度变形：投影

10、面上任意两方向线夹角与球面上相应两方向线夹角之差。以表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A点的坐标为(x 、y )，则,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,将两式相除，得：,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,显然当（a +a ）= 90时，右端取最大值，则最大方向变形：,以w表示角度最大变形：,以表示角度最大变形：,令,则：,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,4.主比例尺和局部比例尺 地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按

11、规定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。 由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,5.等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等各点的连线。它是根据

12、计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。,等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。 等变形线通常是用带点虚线来表示的。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,4 地图投影的分类 地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。 4.1 按变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。,等角投影：投影面上任意两方向线间的夹角与椭球体上相应方向线的夹角相等，即角度

13、变形为0。 投影之后角度变形为0，根据公式 即 为0，可知a=b，即是经过投影之后，变形椭圆是圆，而不是椭圆，投影之后的图形跟实际相似。,从小范围看，地物经过投影之后其形状保持不变，但从大范围看，投影后的图形跟实际形状并不完全相似。 这一类投影因为没有角度变形，便于测量方向，所以常用于编制航海图、洋流图和风向图。 等角投影地图上面积变形较大。,等积投影：在投影面上任意一块图形的面积与椭球面上相应的图形面积相等，即面积变形等于零。 面积比P=1，这样的话最大长度比和最小长度比a、b成倒数关系a=1/b,（2）面积比和面积变形 面积比（P ）:投影面上微小面积（变形椭圆面积）dF与球面上相应的微小

14、面积（小圆面积）dF之比。 面积变形（Vp ）:面积比与1的差。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院, 0 变大 = 0 不变 0 变小,P = ab = m n (q = 90) P = m n sinq (q 90) 面积比是变量，随位置的不同而变化。,在等积投影中，变形椭圆的长轴越长，短轴越短，这样为了保证投影后面积不变，但角度却变形很大，使得图形的形状也发生了很大的变化。 等积投影没有面积变形，所以能够在地图上进行面积的对比和量算，常用于编制对面积精度要求较高的自然地图和社会经济地图，如地质图、土壤图、行政区划图,任意投影：是一种基部等角也不等积，长

15、度、角度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类型。 这类投影的角度变形比等积投影小 面积变形比等角投影小 在任意投影中有一种常见的投影等距投影 等距投影是指那些在特定方向上没有长度变形的投影，即是保持变形椭圆主方向中某一个长度比等于1，即a=1或b=1。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出： 等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。 任意投影不能保持等积、等角特性。 等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。,4.2 按构成方法分类 1）几何投影 几何投影是把地球球面

16、上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类： 方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基

17、础 西北师范大学地理与环境科学学院,2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上

18、。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,（二） 投 影 构 成 方 法,几何投影,非几何投影 （条件投影）,方位投影,圆柱投影,圆锥投影,伪方位投影,伪圆柱投影,伪圆锥投影,多圆锥投影,第三讲 几何投影,（1）方位投影 以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上而成。,方位投影可分为透视方位投影和非透视方位投影两类。,透视方位投影 利用透视法把地球表面投影到平面上的方法称为透视投影。透视方位投影的点光源或视点位于垂直于投影面的地球直径及其延长线上，由于视点位置不同，因而有不同的

19、透视方位投影。,A. 球心投影或中心射方位投影：视点（光源）位于地球球心 B. 球面投影或平射方位投影：视点或光源位于地球表面 C. 正射投影：视点或光源位于无限远时，投影线（光线）成为 平行线,非透视方位投影 非透视方位投影是借助于透视投影的方式，而附加上一定的条件，如加上等积、等距等条件所构成的投影。在这类投影中有等距方位投影和等积方位投影。,方位投影的特点 在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。适合作区域轮廓大致为圆形的地图。,根据平面和球面的位置关系可以分为：正轴、横轴、斜轴三种类型,方位投影,正轴方位投影,投影中心为极点，纬线为同心

20、圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。 包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。,正轴方位投影,正轴等角方位投影又叫平射正轴方位投影或球面投影，是一种使投影面上与实际地面上的微分圆保持形状不变的投影，满足m=n 投影条件。,等角,经纬线形状 纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大；面积变形较大；面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。,正轴方位投影,等角,该投影常用于地震、天文等地图的编制，由于投影中的长度与面积随远离

21、投影中心变形越大，为使投影区域变形能够得到改善，多采用正轴等角割方位投影，如美国提出的通用极球面投影（UPS）。,正轴方位投影,一种投影面上与实际地面相应面积保持相等，即满足 p=1 投影条件的方位投影。,等积,经纬线形状 纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大；角度变形较大；角度等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。,正轴方位投影,该投影常应用于行政区划、土壤植被等需要进行面积量测的地图，尤其是亚洲、欧洲、北美洲等大陆图常采用，为目前小比例尺地图应用最广泛的一种投影。,等积,正轴方位投影

22、,一种满足 m=1 的方位投影，又叫波斯托投影，联合国徽即采用此投影设计。,等距,经纬线形状 纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外不变即相等。,变形分布规律 投影中心无变形，经线长度保持正确，其余长度、角度和面积变形离开投影中心愈远愈大；角度、面积变形都不大；角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。,正轴方位投影,由于该投影从中心到任意点的方位角与距离均保持正确，故用于编制确定某地（投影中心）至任一地的方位角和距离十分有意义。,等距, 横轴方位投影,当平面与球面相切，其切点在赤道上的任意点，称为横轴方位投影。过投影中心的大圆线称为垂直圈，与垂直圈相垂直的

23、同心圆称为等高圈，垂直圈投影后成为等高圈同心圆的半径，两个垂直圈间的夹角与实地相等。,横轴方位投影,等角,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大 。,经纬线形状 中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的凹向曲线；中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的凸向曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。,横轴方位投影,等积,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大 。,经纬线形式 中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的凹向曲线；中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的凸向曲线。在

24、中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐减小。,横轴方位投影,等距,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大 ，面积变形、角度变形都不大。,经纬线形状 中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔相等。在中央纬线上经线间隔相等。,斜轴方位投影,当平面与球面相切，其切点不在赤道或极点，而是介于两者之a间的任意点，称为斜轴方位投影。斜轴方位投影也存在垂直线和等高圈。,斜轴方位投影,等角,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大 。

25、,经纬线形状 中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大 。,斜轴方位投影,等积,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大 。,经纬线形式 中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小 。,斜轴方位投影,等距,变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大，面积变形、角度变形都不大 。,经纬线形式 中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔相等 。,三种方位投影纬线间隔变化示意图,（2）圆柱投影,按圆柱的轴与地轴的关系,可分为正、横、斜轴圆柱投影 按圆柱面与地球表面的接

26、触关系可分为切、割圆柱投影 按投影变形性质分，可分为等角、等积和等距圆柱投影,1、纬线为一组平行直线，平行线间的距离视投影条件而异。 2、经线为垂直于纬线的另一组等间距的平行直线。 3、和圆柱面相切的赤道弧长或相隔的两条纬线的弧长为正长无变形。 用途：最适合制作赤道附近想东西向延伸地区的地图。,在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：,圆柱投影中最常见的投影,一 正轴圆柱投影,圆柱投影之一,等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。,正轴等角圆柱投影,圆柱投影,正轴等角圆柱投影,投 影 条 件：=0，其它

27、n 1，m 1 经纬线形状：经线是一组间隔相等的平行直线；纬线是与经线垂直的一组平行线，且其间隔自投影中心向南北两极逐渐增大。,圆柱投影,正轴等角圆柱投影,圆柱投影,正轴等角圆柱投影,投影特点：在墨卡托投影中，面积变形最大,圆柱投影,正轴等角圆柱投影,投影特点：在墨卡托投影上等角航线表现为直线,等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。,等角航线在墨卡托投影中表现为直线，因此对航空、航海具有重要的实际应用价值。,投影特点： 在墨卡托投影中，面积变形最大。 在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=

28、2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。 在墨卡托投影上等角航线表现为直线（在球心投影上大圆航线表现为直线)。 等角航线：就是指地球表面上与经线交角都相同的曲线，或者说是地球上两点间的一条等方位线。 就是说船只要按照等角航向航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。由于经线是收敛于两极的，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，以极点为渐近点的螺旋曲线。因墨卡托投影是等角投影，而且经线投影为平行直线，那么两点间的那条等方位螺旋线在投影中只能是连接该两点的一条直线。 大圆航

29、线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。 大圆航线：在球心投影图上两点间的连线即为大圆航线。见课本P73.,等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。 但是等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。,用途及意义： 远航时，完全沿着等角航线航行，走的是一条较远路线，是不经

30、济的，但船只不必时常改变方向，大圆航线是一条最近的路线，但船只航行时要不断改变方向，如从非洲的好望角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程是6020海里，沿大圆航线航行5450海里，二者相差570海里（约1000公里）。 实际上在远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大致是沿大圆航线航行。因而走的是一条较近路线，但就每一段来说，走的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。,圆柱投影,正轴等角圆柱投影,等角航线虽利于航行，但却不是两点间的最短距离，球面上两点间的最短距离是过两点的大圆弧，称为

31、大圆航线或正航线。 大圆航线虽在球心投影中被投影为直线，但因其与各经线的夹角不相等，故在墨卡托投影中被投影成曲线。 墨卡托投影绘大圆航线，可先在球心投影中确定大圆航线并求出其与各经线的交角再转到墨卡托投影中以圆滑曲线连接之。,圆柱投影,正轴等距与等积圆柱投影,圆柱投影之二高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 1.定义： 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。由德国数学家、天文学家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地测量学家克吕格（J. Krger，18571923）共同创建。

32、,2.经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，中央纬线为直线，其他纬线是对称于中央纬线的曲线。 在中央经线上纬线间隔相等，在赤道上经线间隔自投影中心向东、向西逐渐增大。 3.变形分布规律： 此投影无角度变形，中央经线无长度变形，其他经线长度比大于1。中央经线附近变形小，向东、向西方向变形逐渐增大。长度、面积变形均不大，其中长度变形 0.14%，面积变形 0.27% 为保证精度，采用分带投影方法：按经差 6或 3进行分带。 我国规定12.5万、15万、110万、125万、150万采用6分带投影，从0子午线起，自西向东每隔经差6分成一带，全球共60带。（13-23）,我国规定

33、11万采用3分带投影，从E130子午线起，每隔经差3分成一带，全球共120带。（25-45）,圆柱投影之三通用横轴墨卡托投影(UTM投影 ) 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称Universal Transverse Mercator UTM 投影。,此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带。长度变形 0.04%,圆锥投影 一、圆锥投影的概念和种类 1.概念： 圆锥投影：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切

34、或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。（当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。） 2.种类： 按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影， 但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。, 按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影 切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360度。 在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶

35、点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。 在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。,在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。,圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种.,二、等角圆锥投影 投影条件：w=0 或 m =

36、n 投影面圆锥面 1.等角切圆锥投影 即相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为1。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。经线为过纬线圆心的一束直线。由于m=n所以在纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少。这样才能使经纬线方向上的长度比相等。所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。,2.等角割圆锥投影 n1=1 n2=1 在1、2 之间：n 1，m 1 即相割的两条纬线为标准纬线，其长度比为1，没有变形。两条标准纬线之间纬线长度比小于1，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线向里成

37、负的方向增大。两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，即离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。等角圆锥投影面积变形大. 双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如“中国地图集”各分省图就是用的这种投影。“世界地图集”大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广泛采用等角圆锥投影。,相割纬线：1 = 25 ； 2 = 45,三、等积圆锥投影 等积投影条件：p=1

38、 或 mn=1 投影面圆锥面 1.等积切圆锥投影 n0=1 其它n 1 即相切的纬线没有变形，其长度比为1，其他纬线投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。所以投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经线方向上就得缩小多少倍。所以在等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐缩小的。,等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线等积圆锥投影。,2.等积割圆锥投影,n1=1 n2=1 在1、2 之间：n 1 在1、2 之外：n 1，m 1,即两条纬线为标准纬线，其长度比等于1，两条标准纬线之间

39、，纬线长度比小于1。要保持面积不变，因此经线长度比要相应扩大，所以在两条标准纬线之间，纬线间隔愈向中间就越大。在两条标准纬线之外纬线长度比大于1。要保持等积，经线长度比要相应的缩小。并且经线方向上缩小的程度和相应纬线上扩大的程度相等。因此在两条标准纬线向外，纬线间是逐渐缩小的。等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，离开标准纬线越,远角度变形也就越大。,当制图区域所跨纬度较小时，常采用切等积圆锥投影。,四、等距圆锥投影 投影条件：u1=1 或 m=1 投影面圆锥面 1.等距切圆锥投影 n0=1 其它n 1 从标准纬线向南向北纬线长度比大于1，离开标准纬线越远纬线长度变形、面积变形、角度变

40、形也越大。 2.等距割圆锥投影 n1=1 n2=1 在1、2 之间：n 1，m 1 两条标准纬线内纬线长度比小于1，面积变形向负方向增大，两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，面积变形向正方向增加。角度变形离标准线越远变形越大。等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要小，在角度变形上比等积圆锥投影要小，这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相等。这种投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大陆交通图。,8 其它投影 8.1 多圆锥投影 1 概念 在切圆锥投影中，离开标准纬线越远，变形越大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边远部分会产生相当大的变形，因此采用双标准纬线圆锥投影比单标准纬线圆锥投影

41、变形要小些。如果有更多的标准纬线则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立的。,假设有许多圆锥与球面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影到这些圆锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥面剪开展平，并在中央经线上排接起来就得到了所谓多圆锥投影。 在多圆锥投影中，由于圆锥顶点不是一个，所以纬线投影为同轴圆弧。圆心在中央经线上，中央经线投影为直线。其他经线投影为对称中央经线的曲线。,由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它经常用于编制世界地图。,2.普通多圆锥投影 投影条件： m0=1 其它 m 1 n = 1 经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，赤道为直线，

42、其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧。 在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。 普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线越远变形越大。 用途： 适于做南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影做美国海岸附近地区的地图。普通多圆锥投影的另一个用途就是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的投影图贴在预制的球胎上，就是一个地球仪。,3.等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。是我国编制“世界地图”常用的一种投影。 投影特点： 中央经

43、线取E150，以突出我国在图幅中央的位置。 全球大陆不产生目视变形，同纬度带面积变形近似相等，以利于比较我 国与同纬度国家面积的对比。 太平洋保持完整，利于显示我国与邻近国家的水陆联系。 经纬线形式： 赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差级数递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/2。,变形分布规律： 这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10%以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部，中央经线和纬线44度的交点处没有角度

44、变形。我国境内绝大部分地区的角度变形在10度以内，少数地区在13度左右。变形最小地区在南北纬45东西经30之间。 地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。,8.2 伪圆柱投影 伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形状的基础上，规定其纬线投影的形状与圆柱投影相似即纬线为平行直线，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。经线的形状是任意曲线，但通常选择为正弦曲线或椭圆曲线。按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因为投影后经纬线不正交。只有等积和任意投影两种。,1.桑逊（Sanson - Flam steed）投影 它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱

45、投影。是法国人桑逊于1650年所创。 投影条件： m0 = 1 其它 m 1 n = 1 p = 1 经纬线形式： 纬线为间隔相等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的正弦曲线。 在中央经线上纬线间隔相等，在中央纬线上经线间隔相等。 变形分布规律： 所有纬线长度比均等于1。纬线长度无变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大于1，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。 用途：适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,2.摩尔魏特（Mollweide）投影

46、是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于1805年设计而得名。 投影条件： n 4044 11.8 =1 p = 1 经纬线形式： 纬线为间隔不等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负90度的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半。赤道长度= 中央经线 2 在中央经线上纬线间隔从赤道向南、北方向逐渐缩小；在赤道上经线间隔相等。 变形分布规律： 在这种投影上没有面积变形。长度和角度都有变形，赤道长度比等于0.9，中央经线和南北纬40度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大。,用途：常用于编制世界地图及东、西半球地图,3

47、.古德（J.Paul Goode）投影 从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远离中央经线部分的变形，美国地理学家古德于1923年提出了一种分瓣方法，就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几个部分，按同一主比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来，这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。 投影条件： n 4044 11.8 为接合线 p = 1 NS4044 11.8 之间为桑逊（Sanson - Flam steed）投影， NS4044 11.8 之外为摩尔魏特（Mollweide）投影 经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线是对

48、称于中央经线的曲线，纬线为一组平行直线。,投影特点： a.分瓣、组合投影， b.变形减小且均匀 c.大陆完整，大洋割裂 d.大洋完整，大陆割裂 用途：常用于编制世界地图,为了保证大陆的完整性，则在海洋部分断裂，古德分瓣方法如下：北美洲，中央经线为西经100度。南美洲中央经线为西经60度。非洲中央经线东经20度。澳大利亚中央经线为东经150度，如果为了完态的表示海洋则可在大陆部分断开。,8.3 伪圆锥投影 伪圆锥投影是对圆锥投影的经纬线形状加以改变而成的。纬线形状类似圆锥投影为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。按投影的变形性质，伪

49、圆锥投影没有等角投影，因为这种经纬线不直交，伪圆锥投影只有等积投影和任意投影，最常用的是等积伪圆锥投影。等积伪圆锥投影又称彭纳投影，它是由法国水利工程师彭纳于1952年首先提出并应用于法国地形图而得名。 1.投影条件： m0 = 1 其它 m 1 n = 1 p = 1 2.经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线，纬线为同心圆弧。 在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,3.变形分布规律： 中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。彭纳投影没有面积变形，中央经线和中纬线是两

50、条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。 4.用途：用于编制小比例尺的大洲图。,第四讲 常用地图投影总结,一、世界地图常用投影,1、正轴等角切圆柱投影 等角航线： 大圆航线： 2、桑逊投影 3、摩尔威特投影 4、古德投影 5、等差分纬线多圆锥投影（我国1963年出版世界地图时所设计） 6、正切差分纬线多圆锥投影（1976年出版时设计）,二、我国常用地图投影,1：100万：兰勃特(Lambert)投影（正轴等角割圆锥投影） 大部分分省图、大多数同级比例尺地图也采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿尔勃特（Albert）投影 (正轴等积割圆锥投影) 1：50万、1：25万、1：10万、1：5万、1

51、：2.5万、1:1万、1：5000采用高斯克吕格投影(等角横切椭圆柱投影/横轴墨卡托投影)（投影后角度不变、中央径经线长不变、中央径线与赤道线垂直）,小比例尺地图,1：100万：兰勃特(Lambert)投影（正轴等角割圆锥投影） 大部分分省图、大多数同级比例尺地图也采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿尔勃特（Albert）投影 (正轴等积割圆锥投影),正轴割圆锥投影（Lambert投影）,这种投影是将一圆锥面套在地球椭球外面，将地球表面上的要素投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿某一母线（经线）展开，即获得Lambert投影。,这种投影中，经线为交于一点的直线束，纬线为同心圆圆弧，圆心即直线束的交点

52、经线呈辐射状，为纵向直线，纬线近似于弧形，与经线正交。 适用于1：100万（包括1：100万）以上地形图。,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,正轴圆锥投影,Lambert投影（正轴等角割圆锥投影）。,1.正轴等角割圆锥投影 n1=1 n2=1 在1、2 之间：n 1，m 1 即相割的两条纬线为标准纬线，其长度比为1，没有变形。两条标准纬线之间纬线长度比小于1，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线向里成负的方向增大。两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，即离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标

53、准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。等角圆锥投影面积变形大. 双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如“中国地图集”各分省图就是用的这种投影。“世界地图集”大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广泛采用等角圆锥投影。,相割纬线：1 = 25 ； 2 = 45,等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线等积圆锥投影。,2.正轴等积割圆锥投影,n1=1 n2=1 在

54、1、2 之间：n 1 在1、2 之外：n 1，m 1,即两条纬线为标准纬线，其长度比等于1，两条标准纬线之间，纬线长度比小于1。要保持面积不变，因此经线长度比要相应扩大，所以在两条标准纬线之间，纬线间隔愈向中间就越大。在两条标准纬线之外纬线长度比大于1。要保持等积，经线长度比要相应的缩小。并且经线方向上缩小的程度和相应纬线上扩大的程度相等。因此在两条标准纬线向外，纬线间是逐渐缩小的。等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，离开标准纬线越,远角度变形也就越大。,当制图区域所跨纬度较小时，常采用切等积圆锥投影。,误差情况： 圆锥与地球相交处为北纬25与北纬47 ，距离误差随地点纬度不同而不同

55、，在成图范围内北部最大达+4%，南部达3%，中部为-1.8%，面积变形相对误差相比距离相对误差要大一倍。,优点： 1、一幅图可覆盖大片中纬度地区，可整幅覆盖我国境内领土； 2、见课本P81.,正轴割圆锥投影（Lambert投影）,由于我国位于中纬度地区，中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影（ Lambert 或Albers 投影），中国地图的中央经线常位于东经105度(110度)，两条标准纬线分别为北纬25度和北纬47度； 各省的参数可根据地理位置和轮廓形状初步加以判定。例如甘肃省的参数为：中央经线为东经101度，两条标准纬线分别为北纬34度和41度。,一般性小常识：,对于大中比例尺地图，一般

56、来说大多数都采用地形图的数学基础高斯克吕格投影，尤其是当比例尺为国家基本地形图比例尺系列时，可直接判定为高斯克吕格投影。 其原因是，这些比例尺和基本地形图比例尺相一致，编图时，选用地形图的数学基础，既免去了重新展绘数学基础的工序，而且能够保持很高的点位精度。,大中比例尺地图,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,高斯克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）,高斯克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟定，后经克吕格补充而形成的一种地图投影方式。在英美国家称为横轴墨卡托投影 属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱面套在地球椭球的外面，并与某

57、一子午线相切（此子午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将此柱面展成平面，即获得高斯投影,横轴圆柱投影,高斯克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）,x,y,高斯-克吕格投影原理图,高斯克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）,高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带

58、投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6带范围内，长度变形线最大不超过0.14%,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,3度带和6度带 从0度开始，自西向东每6度分为一个投影带。 从东经1度30分开始，自西向东每3度分为一个投影带。,高斯克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）-投影分带,现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院,我国1:1万至1:50万的地形图全部采用高斯克吕格投影。1:2.5万至1:50万的地形图，采用6分带方案，全球共分为60个投影带；我国位于东