组合数学应用之光盘的通道编码

1、组合数学应用,之光盘的通道编码,报告人：,学号：,时间：2016.12.15,1、应用背景,2、通道编码及其原因,3、具体应用,应用背景,随着电子计算机的发展普及，组合数学这门古老的学科逐渐焕发出了蓬勃的生机。它是一门研究内容丰富，应用广泛的学科。同时它也是一门比较讲究方法科技的学科。它的魅力在于能够找到巧妙的解法去完善并解决一个组合数学的问题。计算机强大的计算能力也为寻求组合数学问题的巧妙解法提出了无限的可能，同时也反过来有效地推动了计算科学的发展。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续性对象，如分析、方程等。另一类就是就是研究离散对象的组合数学，计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对

2、象是离散的数据，研究离散兑现的科学恰恰就是组合数学，因此，在信息时代的今天，组合数学就是信息时代的数学。,应用背景,说到计算机，无疑会涉及到存储的问题。CD-ROM 一种能够存储大量数据的外部存储媒体。所用存储标准为CD-DA音频存储标准。在CD-DA中将声音转换成用“0”和“1”表示的数字信号之后，并不是把他们直接记录到盘上。而是需要做变换处理，这种处理统称为通道编码。为什么要做通道编码 为什么要把8位转换成14位，而不是13，15或16位,CD-ROM简介,CD-ROM，即光盘只读存储器，它是一种能够存储大量数据的外部存储媒体，一张压缩光盘的直径大约是4.5in，0.125in厚，能容纳约

3、660M的数据。所有的CD-ROM盘都是用一张母盘压制而成，然后封装到聚碳酸酯的保护外壳里的。记录在在母盘上的数据呈螺旋状，由中心向外散开，磁盘表面有许许多多微笑的坑，那就是记录的数字信息。读CD-ROM上的数据时，利用激光束扫描光盘，根据激光在小坑上的反射变化得到数字信息。,通道编码的原因,数字记录中要做通道编码的主要原因有两个，一是为了改善读出信号的质量，二是为了在记录信号中提取同步信号。例如，有连续多个字节的全“0”信号或者全“1”信号要记录到盘上，如果不做通道编码就把他们记录到盘上，读出时的信号就是一条直线，电子线路很难区分有多少个“0”或者多少个“1”。通俗来说，通道编码实际上就是要

4、在连续的“0”中插入若干个“1”，而在连续的“1”中插入若干个“0”；并对“0”和“1”的连续长度数目即“游程长度”加以限制。,通道编码的原因,理论分析和实践证明，根据20世纪70年代的技术水平，把“0”的游程长度最短限制在两个，最长限制在10个，光盘上的信号就能可靠读出。这条规则的意思就是，两个“1”之间最少要有两个“0”；且最多不超过10个“0”；那么一个字节的数据，在光盘上需要多少位才能正确表示呢？接下来就要用到我们的组合数学的知识了，我们来用组合数学来具体分析一下为何要把8位数据转换成14位呢？,具体应用,假设我们要求的位数为n位，显然n8,。现在我们考虑求这样的n的最小值。 我们首先

5、只考虑满足任意两个“1”之间至少要有两个“0”的条件下的数据位数n。 对于一个固定的k=2,我们现在求恰好包含k个“1”并满足任意两个“1”之间至少要有两个“0”这样的n位数的个数。首先把k个“1”安排成一排，由于要求任意两个“1”之间至少要有两个“0”；因此在这k个“1”之间的k-1歌空位上共放2（k-1）个“0”，每个空位上正好放两个“0”；然后把剩下的n-3k+2个“0”任意放到k+1个位置上，每个位置放“0”的个数不限。可知该种安排的个数为F（k+1，n-3k+2)= = 注：F(n,r)=,具体应用,同时上述过程也表明n-3k+2=0;即1的个数k必须满足k256，因此n=15.,具

6、体应用,如果n=15，容易计算得到 =21+126+165+78+15+1=406； 406还是大于256. 如果n=14；容易得到 =6+70+120+66+14+1=277 277已经和256非常接近了。 如果n=13，容易求得 =189，显然不满足要求。,具体应用,对于n=14，现在加上两个“1”之间最多不超过10个“0”的条件。（1）当各位全是“0”时，不满足要求。 （2）当只有1位为“1”时，余下13位全为“0”时。13个“0”全在“1”的左边或右边，两种情况都不满足要求，“1”的左边有一个“0”且右边有12个“0”或者“1”的右边有一个“0”且左边有12个“0”这两种情况也不满足要

7、求。类似地，“1”的左边有两个“0”且右边有11个“0”或者“1”的左边有11个“0”且右边有两个“0”这两种情况也不满足要求。于是有6种情况需要排除。,具体应用,对于n=14，现在加上两个“1”之间最多不超过10个“0”的条件。 （3）当只有两位为“1”时，余下12位全是“0”时。由于两个“1”之间必须有两个“0”，现在考虑剩下的10个“0”的安排情况。 如果这10个“0”全放在两个“1”之间，显然不满足要求。如果这10个“0”中有9个放在两个“1”之间，剩下的1个“0”放在最左边或最右边，这两种情况也不满足要去。于是又有三种情况需要排除。,具体应用,对于n=14，现在加上两个“1”之间最多不超过10个“0”的条件。 （4）当“1”的位数大于等于3时，就不存在两个“1”之间存在超过10个“0”的可能了 综上所述：满足两个“1”之间至少要有两个“0”且最多不超过10个“0”的14位数共有277-1-6-3=267种，即8位的数据至少应该用14位才能有效表示。,具体应用,我们知道，8位数据有256种代码，14位通道位有16384种代码