《向量的线性相关性》PPT课件.ppt

1、第7节 向量组的线性相关性,线性组合与线性表示,线性相关与线性无关,线性相关性判定定理,极大线性无关组的概念,下页,一些重要方法,3月20日作业： 29（2） 30（2） 32 33（2）（3）,7.1 线性组合与线性表示,例1设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)， 则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合.,即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由 a1，a2 ，a3线性表示.,因为 2a1-a2 + a3,=2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0

2、, 1),=(2, -1, 1)= b ，,定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.,下页,例2任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维单位向量组 e 1=(1, 0, , 0)，e 2=(0, 1, , 0)， ， e n=(0, 0, , 1)的线性组合. 这是因为a=a1 e 1 a2 e 2 an e n .,注：向量组 e 1， e 2， ， e n称为 n 维单位（或基本）向量组.,下页

3、,7.1 线性组合与线性表示,定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.,例3零向量是任何一组向量的线性组合. 这是因为 o=0a1 0a2 0 am . 例4向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量ai(1im)都是此 向量组的线性组合. 这是因为 ai=0a1 + 1ai 0 am .,下页,7.1 线性组合与线性表示,定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数 k1，k2， ，km，使 bk1

4、a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.,注：,（1）并非每一个向量都可以表示成某几个向量的线性组合,（2）一个向量可以由一组向量线性表示，但表示式未必唯一,下页,例5线性方程组的向量表示(向量方程),下页,或,即,其中,定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ，km，使 k1a1k2a2 kmamo 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有 当k1，k2， ，km全为0时 k1a1k2a2 kmamo 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线

5、性无关.,下页,7.2 线性相关与线性无关,线性相关性判定方法 一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义、判定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法. 特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.,例6. 讨论下列向量组的线性相关性.,解: 对于向量组，显然有,即存在一组不全为零的数,练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：,下页,即,使得,所以向量组a1, a2, a3,线性相关.,一般方法（举例）,对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数 k1，k2， ，kn，使 k1a1k2a2 knano 成立 .,由向量的运

6、算性质可得 k1a1k2a2 kn an=o，即,从而得向量组a1，a2， ，an 线性无关(相关)的充分必要条件是:,下页,特殊方法（推导）,设有一组数k1，k2， ，kn，使 k1a1k2a2 knano 成立. (1),通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组,(2),下页,特殊方法（解题步骤）,判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?,若方程组(2)有非零解，则a1,a2,an线性相关；否则,线性无关.,即行列式,或,核心问题！,例7. 讨论下列向量组的线性相关性.,即方程组,因该方程组的系数行列式,所以，线性方程组有非零解， 从而，向量组a1, a2, a

7、3, a4,线性 相关.,下页,特殊方法（举例）,解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有 一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立,亦即方程组,解题要点：找向量方程的 非零解.,例8设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1a1a2，b2a2a3， b3a3a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关.,证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1 k2b2k3 b3 o， 即 k1(a1a2) k2(a2a3)k3 (a3a1)o， 整理得 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o . 因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有,由于,=20，

8、,从而b1，b2，b3线性无关.,所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0 ，,下页,即代数方程组只有零解： k1=k2=k3=0.,亦即向量方程只有零解： k1=k2=k3=0.,讨论：,3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件.,1.含有零向量的向量组是否线性相关. 2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件.,结论：,1.含有零向量的向量组一定线性相关.,2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量.（一个非零向量线性无关）,3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当 这两个向量的分量对应成比例.,5. 向量组1， 2， ， n线性无关，其部分向量组是否也线性无关.,4

9、. 单位向量组1，2， ，n线性无关.,下页,4. 单位向量组1，2， ，n是否线性相关.,5. 线性无关向量组的部分向量组也线性无关.,定理1 向量组a1，a2， ，am线性相关的充要条件是：向量 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.,定理3 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关, 则整个向量组线性相关.,定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表 示式是唯一的.,定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ,ain) (i=1,2,m)线性无关，则向 量组 b i=(ai1, ai2

10、, ,ain , ain+1 ) (i=1,2,m)也线性无关.,下页,7.3 线性相关性判定定理,定理4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a1, a2, .,an) 可逆.,证明：必要性. 因为a1，a2， ，am线性相关，故存在 不全为零的数l1，l2， ， lm，使 l1a1l2a2 lmamo . 不妨设l10，于是,即a1为a2，a3， ，am的线性组合.,充分性. 不妨设a1可由其余向量线性表示,即 a1=l2a2l3a3 lmam， 则存在不全为零的数1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ， 即a1，a2， ，

11、am线性相关.,下页,定理1 向量组a1，a2， ，am线性相关的充要条件是： 向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.,先证明b可由向量组a1，a2， ，am线性表示. 因为向量组a1，a2，am，b线性相关，因而存在一 组不全为零的数l1，l2， lm及l，使 l1a1l2a2 lmam lb=o ， 这里必有l0，否则，上式成为 l1a1l2a2 lmam=o ， 且l1，l2，lm不全为零，这与线性无关矛盾.因此l0 .,即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.,证明：,下页,定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1， a2， ，am线性无关，则b 可由

12、a1，a2， ，am线性表 示，且表示式是唯一的.,再证表示法唯一.,设b可表示成以下两种形式， b =l1a1l2a2 lmam， 及 b=m1a1m2a2 mmam， 两式相减得 (l1-m1)a1(l2-m2)a2 (lm-mm)am =o ， 由a1，a2， ，am线性无关可知 l1-m1=l2-m2= =lm-mm=0， 从而 l1=m1，l2=m2， ，lm=mm， 所以，表示法是唯一的.,证明：,下页,定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1， a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表 示，且表示式是唯一的.,设向量组a1，a2， ，am

13、中有r个向量的部分组 线性相关，不妨设a1，a2， ，ar线性相关，则存在一组 不全为零的数l1，l2， lr使 l1a1l2a2 lraro， 因而存在一组不全为零的数 l1，l2，lr，0，0，0使 l1a1l2a2 lrar +0ar+1+ + 0amo， 即a1，a2， ，am线性相关.,证明：,下页,定理3 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性 相关，则整个向量组线性相关.,定理4 由n个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a1, a2, .,an) 可逆. 证明 略.,证明：（反证）,若向量组 b1, b2, bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1,

14、k2, km ,使得 k1 b1 +k2 b2 +km bm=o （1）,即,（2）,显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1 +k2a2 +kmam=o ，,从而得，a1 ，a2 ，am线性相关，矛盾.证毕.,下页,定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ,ain)T (i=1,2,m)线性无关， 则向量组 b i=(ai1, ai2, ,ain , ain+1 )T (i=1,2,m)也线性无 关.,例9. 讨论下列向量组的线性相关性(要求用“观察法”).,(1),下页,(2),解：,对于(1)组，显然有,由定理1知(1)组相关.,(2)组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理

15、5 知(2)组无关.,等价向量组,定义3 设有两个向量组,(I),(II),如果(I)中每一个向量都可由向量组(II)线性表示，则称(I)可由 (II)线性表示；如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称 向量组(I)与向量组(II)等价.,例10. (I) a=(1, 0) , a 2=(0, 1),(II) b=(1, ) , b 2=(, -1), b 3=(, 5)两组等价.,因为,b=aa,所以(I)和(II)可以相互线性表示，, b 2=aa, b 3=aa,即向量组(I)与向量组(II)等价.,下页,7.4 极大线性无关组,等价向量组的性质,（1）自反性：向量组与其自身

16、等价；,（2）对称性：若向量组(I)等价于(II)，则向量组(II)等价于(I)；,（3）传递性：若向量组(I)等价于(II) ，向量组(II)等价于(III)， 则向量组(I)等价于(III).,引例. 向量组a=(1,1,1), a2=(0,2,5), a3=(1,3,6), 等价于其部分向 量组a a2 .,事实上，a，a，a3中的每一个向量可由a，a线性表示,即,而 a，a中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即,下页,向量组的极大无关组,例11在向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中， 向量组a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线

17、性无关，且有,同样a2，a4也是一个极大无关组.,所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大无关组.,a4=(0, 2)=2(0, 1)=2a1+0a2，,a3=(1, 1)=(0, 1)+(1, 0)=a1+a2，,定义4 如果向量组a1，a2 , ,am的一个部分向量组aj1，aj2 , ,ajr (rm) 满足： (1) aj1，aj2 , ,ajr 线性无关； (2)向量组a1，a2 , ,am中的任一向量可由 aj1，aj2 , ,ajr 线性表示， 则称aj1，aj2 , ,ajr为向量组a1，a2， ,am的一个极大线性无关组.,下页,定义4 如果向量组a1，a2 ,

18、 ,am的一个部分向量组 aj1，aj2 , ,ajr(rm)满足： (1) aj1，aj2 , ,ajr线性无关； (2)向量组a1，a2 , ,am中的任一向量可由aj1，aj2 , ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 , ,ajr为向量组a1，a2， ,am的一个极大线性无关组.,下页,例12全体n维列向量构成的向量组记作Rn ，则n维单位向量组1=(1, 0, , 0)T，2=(0, 1, , 0)T， ，n =(0, 0, , 1)T是它的一个极大无关组。,定义4 如果向量组a1，a2 , ,am的一个部分向量组 aj1，aj2 , ,ajr(rm)满足： (1) aj1，aj2

19、 , ,ajr线性无关； (2)向量组a1，a2 , ,am中的任一向量可由aj1，aj2 , ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 , ,ajr为向量组a1，a2， ,am的一个极大线性无关组.,下页,注：1) 一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例11),2) 一个向量组与它的极大无关组等价；（显然）,问题: 一个向量组不同的极大无关组所含向量个数是否相等,3) 一个线性无关向量组的极大无关组就是向量组本身.,推论4 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本 身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等.,下页,向量组的秩,且r s ,则 线性相关.,推论2

20、任意n+1个n维向量一定线性相关.,推论3 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.,下页,向量组的秩,定义5 向量组a1，a2， ，am的极大无关组所含向量的个数称 为向量组的秩. 记作r(a1，a2， ，am).,规定，只含零向量的向量组的秩为0 .,推论5 等价的向量组有相同的秩.,向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)的一个极大 无关组为a1，a2，所以向量组a1，a2， a3 ，a4 的秩为2.,单位向量组1， 2， ， n 是Rn的一个极大无关组，所以 r(Rn)=n。,由于向量组的极大线性无关组与向量组等价，由等价的传递性，等价向量

21、组的极大线性无关组等价，所以，,若r(a1，a2， ，am)m，则向量组a1，a2， ，am必线性相关. (线性相关性新的判定方法！),重要结论,定义6 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即,下页,7.5 向量组方面的一些重要方法,行向量组a1，a2， ，am的秩，称为矩阵A的行秩.,列向量组b1，b2， ，bn的秩，称为矩阵A的列秩.,定理7 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,例13. 求

22、下列向量组,a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.,解1：以a,a,a为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,例13. 求下列向量组,a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.,解2：以a,a,a为行向量作成矩阵A，用初等变换将A化为 阶梯形矩阵后可求.,因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2,求向量组的秩的方法,下页,把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩,问题：n维单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？,定理8 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.,证明从略,下面通过例子验证结论成立.,线性关系:,矩阵A,矩阵A1,矩阵