二次函数复习

1、二次函数复习,一、二次函数的定义,形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a0 ）的函数，叫做二次函数。 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a0）。 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a0）。 二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a0)。,二、二次函数的图象和性质,首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式， 然后对图象和性质进行归纳： 所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a0,抛物线的开口向上，当a0时，抛物线的开口向下。 当 | a | 的值越大时，开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，开口越大，函数值 y 变

2、化越慢。,3. 当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小。 4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x=h，当x=h时，y 有最大（或最小）值，即 5. y=ax2+bx+c的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，y 有最大（或最小）值。即,把一般式 y=ax2+bx+c 配成顶点式为：,6. 当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相

3、等的实数根x1、x2(x1x2时，y0,即ax2+bx+c0 ; 当x1xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,7. 当a0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x10,即ax2+bx+c0 ;当xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,8. 当a0, =0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当xx1（或xx2）时，y0,即ax2+bx+c0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实

4、数，都不可能有ax2+bx+c0.,y0,9. 当a0.,y0,10. 当a0, 0;,无论 x 取何值，都不可能有y0。,11.当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y0 .,无论 x 取何值，都不可能有y0。,12. y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴的交点的坐标为（0，c) . 由此可得： 当c 0时，抛物线与y 轴相交于正半轴； 当c =0时，抛物线过原点； 当c 0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。,三、解析式的确定（待定系数法）,1. 已知三个普通点确定函数解析式,提示：如

5、果已知的是三个普通点，则一般采用二次函数的一般式。,巩固练习1,2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定,巩固练习2,3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式时，用交点式 y=a（x-x1)(x-x2),【例】 已知函数的图象如图所示，求函数解析式。,（C）,解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). 抛物线过y 轴上的点（0，3）， 把这点坐标代入上面式子，得 3=-3a a=-1. 所求函数解析式为： y=-1(x+1)(x-3). 即 y= - x2+2x+3 .,巩固练习3,如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。,解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). 抛物线过y 轴上的点（0，-2）， 把这点坐标代入上面式子，得 -2=-3a a=2/3. 所求函数解析式为： y=2/3 (x+1)(x-3).,二次函数 y=ax2+bx