5.1向量的线性运算.ppt

1、柯桥中学高三数学组 何利民,第五编 平面向量,5.1 向量的线性运算,1向量概念,向量是既有大小又有方向的量。,两个向量之间的只能说相等或不相等、共线或不共线，而无所谓谁大谁小。但向量的长度(模)是可以比较大小的。,D,2零向量,零向量是指长度为0的向量。,规定：零向量与任一向量平行。即零向量的方向不确定,A,3单位向量,长度为1个单位长度的向量叫单位向量。,4共线向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量。,任一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量又叫共线向量。,特别规定：零向量与任一向量平行。,常用,5向量的加法与减法,三角形法则与平行四边形法则,运算性质： (交换律）； (结合律）；

2、 (2)减法 减法与加法互为逆运算； 法则：服从三角形法则.,D,6实数与向量的积,7平面向量基本定理,B,基础自测 1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 A. B. （ ） C. D. =,C,2.如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量 等于 A. B. （） C. D.,A,3.（2009北京理，2）已知向量a、b不共线，c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd，那么（） A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向,D,4.下列各命题中，真命题的个数为（） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b； 若 ，则A

3、、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； 若a=b,b=c，则a=c; 若ab,bc,则ac. A.4B.3C.2D.1,D,5.在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（） A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析 由已知得 =-8a-2b， 故 ，由共线向量知识知ADBC， 且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选A.,A,题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列命题 向量 的长度与向量 的长度相等； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； 两个

4、有共同终点的向量，一定是共线向量； 向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； 有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5,题型分类 深度剖析,C,（1）本题涉及的主要内容有向量的概念、 向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量. （2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过的 数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、 分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量.,探究提高,知能迁移1 下列结论中，不正确的是（） A.向量 ， 共线与向量 同义 B.若向量 ，则向量 与 共线 C.若向量 = ，则向

5、量 = D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b,D,题型二 平面向量的线性运算 【例2】在ABC中，D、E分别为 BC、AC边上的中点，G为BE上 一点，且GB=2GE，设 ， ，试用 表示 ， . 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.,思维启迪,（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. （2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.,探究提高,知能迁移2,B,题型三 共线向量问题 【例3

6、】 （12分）设两个非零向量 不共线， (1)若 . 求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使 （1）由已知求 判断 与 的关系判断A、B、D的关系. （2）应用共线向量的充要条件列方程组 解方程组得k值.,思维启迪,探究提高 （1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想. （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.,C,B,例6、06湖南卷,x0,方法与技巧 1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能

7、，也是向量坐标形式的基础. 2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量. 3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行. 2.由ab,bc不能得到ac.取不共线的向量a与c，显然有a0,c0. 3.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.,定时检测 一、选择题 1.（2009湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0” 是“ab”的（） A.充分不

8、必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a+b=0时，a=-b,ab; 当ab时，不一定有a=-b. “a+b=0”是“ab”的充分不必要条件.,A,2.已知O为ABC内一点，且 =0，则AOC与ABC的面积之比是（ ） A.12B.13C.23D.11 解析 设AC的中点为D，则 0， 即点O为AC边上的中线BD的中点， .,A,3.(2008全国理，3)在ABC中， =c， =b, 若点D满足 ，则 等于（） A. B. C. D. 解析 如图所示,在ABC中,A,b,c,b,c,b,c,b,c,4.（2008广东理，8）在平行四边形ABCD中,A

9、C与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若 =a, =b,则 等于（） A. B. C. D.,解析 如图所示, E是OD的中点, 又ABEFDE, =3 , = . 在AOE中, = = 答案 B,5.（2008海南理，8）平面向量a,b共线的充要条件是（） A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C. R,b= a D.存在不全为零的实数 1, 2, 1a+ 2b=0 解析 A中,a,b同向则a,b共线;但a,b共线，a,b不一定同向,因此A不是充要条件. 若a,b两向量中至少有一个为零向量,则a,b共线;但a,b共线时,a,b不一定是零向量,如

10、a=(1,2),b=(2,4),从而B不是充要条件. 当b= a时,a,b一定共线； 但a,b共线时,若b0,a=0,则b= a就不成立, 从而C也不是充要条件. 对于D,假设 10,则a= b,因此a,b共线; 反之,若a,b共线,则a= b,即ma-nb=0. 令 1=m, 2=-n,则 1a+ 2b=0. 答案 D,6.已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a+b与 c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于（ ） A.a B.b C.c D.0 解析 a+b与c共线，a+b= 1c 又b+c与a共线，b+c= 2a 由得：b= 1c-a. b+c= 1c-a+c=（ 1+1）c-a

11、= 2a， 1+1=0 1=-1 2=-1 2=-1,D,，即,a+b+c=-c+c=0.,二、填空题 7.设e1、e2是两个不共线的向量，已知 =2e1+ke2， =e1+3e2， =2e1-e2，若A、B、D三点共线，则实数k的值为 . 解析 =2， -4 =k.,-8,则k=-8.,8.在ABC中， =a， =b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则 =_. (用a、b表示) 解析 如图所示，,a,b,9.在ABC中，已知D是AB边上一点，若式 ,则 = . 解析 由图知 且 =0. +2得:3 ,三、解答题 10.如图所示，在ABC中， D、F分别是BC、AC的中点， a， =b. （1）用a、b表示向量 、 、 、 、 ； （2）求证：B、E、F三点共线. （1）解 延长AD到G，使 连接BG、CG，得到ABGC， 所以 =a+b,(2)证明 由(1)可知 所以B、E、F三点共线.,11.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同，则当