《高等数学》教学课件：5-定积分在几何物理上的应用_广义积分

1、设yf (x)0 (xa，b),A(x) f (t)dt,A(x) f (t)dt是以a, x为底的曲边梯形的面积,A= f(x)dx 是以a, b为底的曲边梯形的面积,5.4 定积分在几何问题中的应用举例,一、定积分的元素法,曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx，,点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx,DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx),f (x)dx称为曲边梯形的面积元素,以a，b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为 被积表达式，以a，b为积分区间的定积分：,A(x) f (t)dt,A f (x)dx,一般情况下

2、，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间a，b上的 函数U(x)，再求这一量在a，b上的元素 d U(x)， 设d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区 间求定积分即得,用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法),U u(x)dx ,注：量U的特点： 1：与区间a,b有关； 2：具有可加性。,微元法的步骤： 1：取积分变量并决定其变化区间a,b； 2：在区间a,b上找一小区间x,x+x,得微元 Uf(x)dx=dU，且UdU=o(dx) 3: 在区间a,b上相加(在a,b上做定积分)得,主要思想：以直

3、代曲；以不变代变。,二、平面图形的面积,求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积,面积元素为：,所求图形的面积为：,f 上(x)-f 下(x)dx,A= f 上(x)-f 下(x)dx,1. 直角坐标的情形,讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？,A1=A2= f 上(x)-f 下(x)dx,a,b,求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：,所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差,y=f 上(x),y=f 下(x),A= f 上(x)dx,- f 下(x)dx,

4、例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积,解 在区间0, 1上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记 为A(x)，,于是面积元素为,得所求的图形面积,以0, 1为积分区间求定积分,直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为,A(x),DA ( x 2)dx ，,以( x 2)dx为被积表达式，,dA = ( x 2)dx ，,例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积,解,y 2=2x,y=x-4,(8, 4),(2, -2),例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积,解,求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4),将图形向 y 轴投影得区间2，

5、4,A(y)为区间2，4上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积,直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为,于是面积元素为,所求的图形面积为,DA (y 4 y2)dy ，,dA = (y 4 y2)dy ，,解,设椭圆在第一象限的面积为A1，,则椭圆的面积为A4A1,第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为0，a,因为面积元素为ydx，,于是,A 4A1 a b,所以,2. 极坐标的情形,曲边扇形及曲边扇形的面积元素：,由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形,曲边扇形的面积为,曲边扇形的面积元素：,例4 计算阿基米德螺线ra (a 0)上相应于从0变到2 的 一段弧与极轴所围成的图形

6、的面积,解,2pa,ra,d,例5 计算心形线ra(1cos ) (a0) 所围成的图形的面积,解,三、体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周 而成的立体这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体,1. 旋转体的体积,旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、 xb及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,yf (x),设过区间a，b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的 体积为V (x)，,旋转体的体积为,dV f (x)2dx ，,于是体积元素为,DVf (x)2dx ，,当平面右平移dx后，体积的增量近似为,V (x),dx,x,例1

7、连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体计算这圆锥体的体积,体积元素为,解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 ,所求圆锥体的体积为,V, ( )2dx, x 3 h r 2 ,及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体,旋转体(旋转椭球体)的体积,体积元素为,于是所求旋转椭球体的体积为,dV y 2dx ，,例2 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的,解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆,V y 2dx, (a 2x 2)dx, a 2x x 3, a b 2,解：,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,

8、设立体在x轴的投影区间为a，b，,则体积元素为A(x)dx ，,立体的体积为,面与立体相截，已知截面面积为A(x)，,V A(x)dx ,A(x),过点x 且垂直于x轴的平,例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面 交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积,解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心 且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2R 2,于是所求的立体体积为,x 2 y 2R 2,截面积为A(x) (R 2x 2)tan a ，,V (R 2x 2) tan a dx, tan a R 2x x 3, R 3tan a ,四、平面曲线的弧长,定理 光

9、滑曲线弧是可求长的,设A，B 是曲线弧的两个端点,AM0，M1，M2， ，Mi1，Mi， ，Mn1，MnB ，,并依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加,极限存在，,是可求长的,则称此极限为曲线弧AB的弧长，,M0,=Mn,如果此折线的长 |Mi1Mi|的,1. 直角坐标的情形,设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数,曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为，,弧长元素(即弧微分)为,已知曲线的弧长为,s ,讨论：,(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r()在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和

10、弧长 s 各是什么？,直角坐标系下,参数方程下,极坐标,解,因此，所求弧长为,yx 1/2，,从而弧长元素,例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度,ds,，,s,，,课堂练习,解：,2. 参数曲线的情形,设曲线弧由参数方程,其中(t)、(t)在，上 具有连续导数如图,dx(t)d t ，,所以弧长元素为,所求弧长为,( t ),，,解,所求弧长为,8a ,弧长元素为,x ( )a (1cos )，y ( )a sin ,ds,s,3. 极坐标的情形,设曲线弧由极坐标方程,给出，其中r()在，上具有连续导数,由直角坐标与极坐标的关系可得,r = r() ( ),于是得弧长元素为,从而所

11、求弧长为,解,ds,于是所求弧长为,例4 求阿基米德螺线ra (a0)相应于 从0到2 一段的弧 长,s,弧长元素为,r( ) a,，,课堂练习,解：,作业：p301 9,13,5.5 定积分在物理中的应用举例,解,于是所求的功为,W,r,例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它 产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知 道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地 方，那么电场对它的作用力的大小为,当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(ab)处时， 计算电场力F对它所作的功,F (k是常数),一、变力沿直线所作的功,解 取坐标系如图,因为VxS

12、，所以,于是，作在活塞上的力为,功元素为,F pS,于是所求的功为,条件下，,W,x,x+dx,由物理学知道，一定量的气体在等温,压强 p与体积V的乘积是常数k ，即,例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体在等 温条件下，由气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a 处推移到点b处计算在移动过程中，气体压力所作的功,=,例3 一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满 了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？,解 作x轴如图,取深度x 为积分变量 0 x5,相应于0，5上任小区间x，xdx的一薄层水的高度为dx,水的比重为98kN/m3，这薄层水的重力为 983 2dx

13、,这薄层水吸出桶外需作的功近似地为,dW882xdx，,此即功元素,W,5m,x,x+dx,于是所求的功为,(kj),从物理学知道，在水深为h处的压强为ph ，这里 是水的 比重如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处， 那么，平板一侧所受的水压力为 PpA 如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算,二、水压力,A(0,5),B(20,3),例4,20,解：直线AB方程为：,即：,压强为：xg. 长为：2y=(10-x/5),压力元素为：dF=xg2y=xg(10-x/5)dx,O,x,y,例5 一个横放着的圆柱形水桶，桶

14、内盛有半桶水设桶的底 半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一个端面上所受的压力,解 桶的一个端面是圆片，与水接触的是下半圆,取坐标系如图,在水深 x 处于圆片上取一窄条，其宽为dx ，,得压力元素为,所求压力为,P,R,三、引力,从物理学知道，质量分别为m 1、m 2，相距为r的两质点间的 引力的大小为,其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向,F,如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上 各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方程向 也是变化的，就不能用上述公式来计算,，,例5 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒，在其中垂 线上距棒a单位处有一质量为m的质点M

15、试计算该棒对质点M的 引力,解 取坐标系如图，由对称性知，引力在垂直方向上的分量 为零，所以只需求引力在水平方向的分量,于是在水平方向上，引力元素为,在 y 轴上于y点取长为dy 的一小段，,引力在水平方向的分量为,Fx,y,a,r,5.6 广义积分,定义1 设函数f(x)在区间a，)上连续，取ba 如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a，)上的广义积分，,即,如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间a，)上的广义,一、无穷限的广义(反常)积分(generalized integral),类似地，设函数f(x)在区间(，b 上连续，取ab 如果极 限,存在，则称此极限为函数f(

16、x)在无穷区间(，b上的广义积分，,即,设函数f(x)在区间(，)上连续，如果广义积分,都收敛，则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间,(，)上的广义积分，,即,发散,其几何意义见书P312,定理1：设F(x)为f(x)在区间a,+上的一个原函数，则,设F(x)为f(x)在区间,+上的一个原函数，则,例1：,例2：,发散,当p1时，这广义积分发散,例3 证明广义积分 (a0)当p1时收敛，当p1时,证 当p1时，,当p1时，,当p1时，,例：讨论反常积分的收敛性,都不存在，所以反常积分发散,二、无界函数的广义积分,定义2 设函数f(x)在区间(a，b上连续，而在点a 的右邻域内 无界取0，如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在(a，b上的广义积分，仍然记作,即,，,如果上述极限不存在，就称广义积分 发散,这时也称广义积分 收敛,类似地，设函数f(x)在区间a，b)上连续，而在点b 的左邻域 内无界取0，如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在a，b)上的广义积分，仍然记作,即,，,如果上述极限不存在，就称广义积分 发散,这时也称广义积分