高考数学理天津专用二轮复习课件53立体几何中的向量方法

1、5.3立体几何中的向量方法,-2-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量证明空间的平行与垂直 【思考】 如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1AB1; (2)求证:BC1平面CA1D.,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,证明： 如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2, 则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0)

2、,D(1,1,2).,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,与不重合),则 (1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0. (2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使a=1 (3)e1e2存在实数,使e2=e1(e10);e1e2e1e2=0.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1在直

3、三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点. 求证:(1)B1D平面ABD; (2)平面EGF平面ABD.,证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0),-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,即B1DEG,B1DEF, 又EGEF=E,因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGF平面ABD.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点

4、三,利用向量求空间角 【思考】 如何用空间向量求空间角? 例2(2016全国甲高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF= ,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD= (1)证明:DH平面ABCD; (2)求二面角B-DA-C的正弦值.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,所以OH=1,DH=DH=3. 于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH. 又DHEF,而OHEF=H, 所以DH平面ABCD.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)解：如图,以H为坐标原点, 的方向为

5、x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz. 则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思用向量求空间角的方法: 设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为n,m.,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,-13-,命题热点一,命题热点二

6、,命题热点三,从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3(2016全国乙高考)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60. (1)证明:平面ABEF平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值.,(1)证明：由已知可得AFDF,AFFE, 所以AF平面EFDC. 又AF平面ABEF,故平面ABEF平

7、面EFDC.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)解：过D作DGEF,垂足为G,由(1)知DG平面ABEF. 以G为坐标原点, 的方向为x轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 由(1)知DFE为二面角D-AF-E的平面角, 故DFE=60,则|DF|=2,|DG|= , 可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ). 由已知,ABEF,所以AB平面EFDC. 又平面ABCD平面EFDC=CD, 故ABCD,CDEF. 由BEAF,可得BE平面EFDC, 所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.,-17-,

8、命题热点一,命题热点二,命题热点三,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量求空间中的距离 【思考】 如何用空间向量求空间中的距离? 例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC底面ABCD,E为PC的中点. (1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值; (2)求点D到平面PAB的距离.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解：如图,取DC的中点O,连接PO, PDC为正三角形,PODC. 又侧面PDC底面ABCD, PO底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题

9、热点三,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思求空间中距离的方法: (1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离. (2)点P到平面的距离d= (其中n为的法向量,M为内任一点). (3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离d=,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD= ,CDA=45. (1)求证:平面PAB平面PAD. (2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求

10、线段AB的长; 在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.,-23-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明：因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB. 因为ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解：以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图. 在平面ABCD内作CEAB交AD于点E,则CEAD. 在RtCDE中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1. 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t, 所以E(

11、0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),-24-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-25-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.,由消去t,化简得m2-3m+4=0. 因为方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等. 从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.,-26-,规律总结,拓展演练,1.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题.用空间向量解决的主要立体几何问题有

12、平行、垂直、求角、求距离等. 2.用向量证明空间中的平行关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2. (2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2. (3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu. (4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则u1u2.,-27-,规律总结,拓展演练,3.用向量证明空间中的垂直关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0. (2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则lvu.

13、 (3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0. 4.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补. (1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为,a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos =|cos |= .,-28-,规律总结,拓展演练,(2)直线和平面所成的角:如图,sin =|cos |= . (3)平面与平面所成的二面角为,两平面的法向量分别为m,n,则|cos |= .,-29-,规律总结,拓展演练,5.点到平面的距离的向量求法: 如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则点B到平面的距离d= .,-30-,规律总结,拓展演练,1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(),答案,解析,-31-,规律总结,拓展演练,2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为.,答案,解析,-32-,规律总结,拓展演练,3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,F,G分别为AD,BC的中点,AB=2,DAB=60,沿对