第2讲　数列求和及综合应用

1、第2讲数列求和及综合应用,高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.,1.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.,解析法一因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11. 当n2时，anSnSn12an1(2an11)， 所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1.,真 题 感 悟,法二由Sn2an1，得S12S11，所以S11，当n2时，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，即S

2、n2Sn11，Sn12(Sn11)，又S112，Sn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn122n12n，所以Sn12n，S612663. 答案63,2.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式；,解(1)因为a13a2(2n1)an2n， 故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，,又n1时，a12适合上式，,3.(2019天津卷)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23. (1)求an和bn的通项公式；,解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0).,故an33(n1)

3、3n，bn33n13n. 所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n. (2)a1c1a2c2a2nc2n (a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn),记Tn131232n3n， 则3Tn132233n3n1，,(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)0时，应特别注意n1时的情况，防止产生错误.,考 点 整 合,2.数列求和,(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.,

4、温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.,3.数列与函数、不等式的交汇,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.,热点一an与Sn的关系问题,解(1)因为an5Sn1，nN*， 所以an15Sn11，,因此An是单调递增数列，,探究提高给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二

5、是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,【训练1】 (2019济南调研)已知数列an的前n项和是Sn，且Sn2an1(nN*). (1)求数列an的通项公式；,又当n1得a11，于是an是首项为1，公比为2的等比数列.所以an2n1.,(2)由(1)知，bnlog2anlog22n1n1，于是数列bn是首项为0，公差为1的等差数列.,热点二数列的求和 角度1分组转化法求和,【例21】 (2019石家庄调研)已知数列an是等差数列，且a81，S1624. (1)求数列an的通项公式an； (2)若数列bn是递增的等比数列且b1b49，b2b38，求(a1b1)(a3b3)(

6、a5b5)(a2n1b2n1).,an6(n1)1n7.,(2)数列bn是递增的等比数列， 由b2b38，得b1b48， 又b1b49， 联立，得b11，b48. 因此公比q2，则bn2n1， (a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1) (a1a3a2n1)(b1b3b2n1) (6422n8)(14164n1),探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号

7、、负号分组.,【训练2】 (2019贵阳诊断)设等差数列an的前n项和为Sn，且a28，S440.数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn30，nN*. (1)求数列an，bn的通项公式；,所以an4n， 因为Tn2bn30， 所以当n1时，b13，当n2时，Tn12bn130，,当n为奇数时，,两式相减，得bn2bn1(n2)， 则数列bn为首项为3，公比为2的等比数列，所以bn32n1.,法一n1(n3)为偶数，PnPn1cn2(n1)1(n1)224n2nn22n1，n1时符合上式. 法二Pn(a1a3an2an)(b2b4bn1),角度2裂项相消法求和,解(1)设数列an的公差为d，,(

8、a1d)2a12da15d，,即(a12d)2a1(a110d)， d0，由解得a12，d3. 数列an的通项公式为an3n1(nN*).,探究提高1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.,解得a1q3. 所以ana1qn13n.,角度3错位相减法求和,(1)求an的通项公式； (2)求an的前n项和Sn.,探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同

9、乘以等比数列bn的公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.,【训练4】 (2019武汉调研)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3. (1)求数列an的通项公式；,解(1)设an的公比为q，,又S2n1bnbn1，bn10， 所以bn2n1.,热点三与数列相关的综合问题,(1)求数列an的通项公式； (2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.,an1f(an)，且a11. an1an2，则an

10、1an2，,因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列. an12(n1)2n1.,等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3. bn3n1.,又nN*，n1，或n2. 故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.,探究提高1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. 2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.,【训练5】 设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2). 从而a22a1，a32a24a1. 又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)， 所以a14a12(2a11)，解得a12， 所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.,即2n1 000，又nN*， 因为295121 0001 024210，所以n10，,1.错位相减法的关注点,(1)