第三章模糊决策

1、第三章 模糊决策,山西大学商务学院信息学院,第三章 模糊决策,第一节 模糊数学与信息革命 第二节 模糊集合与隶属函数（重点） 第三节 模糊集合的运算 第四节 模糊集合与普通集合的相互转化 第五节 模糊聚类分析 第六节 模糊评判决策,第一节 模糊数学与信息革命,经典数学集合论 罗素悖论 悖论 模糊数学的产生与发展 模糊数学与信息革命,经典数学集合论,集合论是经典数学的基础 集合论要求一个元素x是否属于集合A 是 明确的即 xA 或x A 两者必居其一，且只居其一。,十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且

2、获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了”,庞加莱,康托尔,罗素悖论,1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了

3、极大震动。,著名数学家伯特兰罗素（Bertrand A.W. Russell，18721970）,罗素悖论 X=x|xX,悖论1,在某个城市中有一位理发师，来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？,广告 本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！,悖论2,世界文学名著唐吉诃德中有这样一个故事： 唐吉诃德的仆人桑乔潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的

4、回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。,小岛法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。,有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一

5、堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。 秃头悖论。,悖论3,第一节 模糊数学与信息革命,模糊数学的产生与发展 1965年美国著名控制论专家 扎德（L.A.Zadeh）发表了模糊集合（fuzzy sets）论文，标志着模糊数学这门学科的诞生。,扎德以精确数学集合论为基础，对数学的集合概念进行修改和推广，提出了“模糊集合”的数学模型。,并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究。 这样使得构造出研究现实世界中的大量模糊现象的数学基础成为可能，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的

6、描述和处理的数学方法。,为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把模糊信息设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率，需要一种数学工具，建立模糊数学模型,人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。,计算机速度快、准确率高，但是对模糊现象识别能力较差。,PK,模糊数学：描述和加工模糊信息的数学工具,模糊数学与信息革命,第二节 模糊集合与隶属函数,一、模糊现象与模糊集合 二、隶属函数的确定及其分布,一、模糊现象与模糊集合,经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值

7、0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而 “年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美” 等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。,因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能

8、光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。,一、模糊现象与模糊集合,一、模糊现象与模糊集合,在普通集合里，设A是论域X的子集，则X中的元素x是否属于A可由特征函数 CA(x)= 来标明其隶属情况，显然这种非此即彼、绝对化的二值逻辑，对许多实际问题不尽相符。在描述模糊集合时，我们可以在普通集合的基础上，把特征函数的取值范围从集合0,1扩大到区间0,1，这样就可以借助经典数学工具来描述模糊集合了。,例1 设X=1,2,3,4，这四个元素有大小之分，现在要组成一个小数的子集： A=(1/1),

9、(2/0.8),(3/0.2),(4/0) 或 A=1/1+0.8/2+0.2/3+0/4 分子表示相应元素的隶属度，分母位置表示论域中的元素，隶属度为0的时候可以不写。以上集合称为模糊子集。,1.模糊集合的定义,隶属度,模糊集合A完全由其隶属函数所刻画 当X是可数集合X=xn时，则离散型模糊集合可表示为： 当X为可数无穷集合X= x1,x2. 时，只需将上式中n换为无穷。,例如：A=1/1+0.8/2+0.2/3+0/4,二、隶属函数的确定及其分布,隶属函数是模糊集合赖以建立的基础，如何确定隶属函数？ 对于离散型可用分布列表示,例1 设X=1,2,3,4，这四个元素有大小之分，现在要组成 一

10、个小数的子集，隶属函数可表示为：,或： 1, x=1 0.8 x=2 A（x）= 0.2 x=3 0 x=4,对于连续型隶属函数可表示为以下四种基本分布：,1、正态性 隶属函数形如： 隶属函数形如以上的模糊集合叫正态型模糊集,正态性隶属函数,连续型隶属函数,2.戒上型(偏小型）隶属函数 形如： 1, XC A(x)= 1 xc 1+a(x-c)b 3.戒下型(偏大型）隶属函数 形如：,0, XC A(x)= 1 xc 1+a(x-c)-b,连续型隶属函数,型隶属函数,用模糊数学处理现实中的模糊概念时，选择适当的隶属函数是很重要的，如果选择不当会远离实际问题。,例2 描述“年轻”这个模糊集合的隶

11、属函数为：,论域,例3,例4 设U=a,b,c,d,e,其中a,b,c,d,e是图3-5中的五个小块，按照圆的程度可以确定模糊集合的隶属度如下：,试写出模糊集合及其隶属函数。 例5 见课本（P62）,第三节 模糊集合的运算,一、模糊集合运算的概念 二、模糊集合的运算性质,一、模糊集合运算概念,1、空集 所谓模糊集A是空集，就是指对,有,即有：,记作 A=,模糊集合的运算实际上是对隶属度的计算。,2、全集 所谓模糊集A是全集，就是指对,有,即有：,1,1,E,3、等集 有两个模糊集A、B，所有的x当,有：,与,分别是模糊集A、B的隶属度函数,记为 A=B,其中：,对应为数学关系式表示为：,4、子

12、集,模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中，若A是被包含于 B的子集，表示对于,有:,记为：,即有：,5、补集,模糊集A的补集，定义为对于,有:,A的补集:,记作:,即有:,6、模糊集的并集,隶属度函数可表示为：,模糊集A、B的并集，定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的模糊集。记为,设,即有：,7、模糊集的交集,模糊集A、B的交集记作,，,定义被A，B两者包含之内最大的模糊集,设:,则其隶属度函数可表示为 ：,模糊集的并集、交集与代数集,（1）,（2）,则,（3）,则,（4）,（5）,二、 模糊集合的运算性质,幂等律,交换律,（6）,（7）,（8）,结合律,吸收律,幂等律,分配律,（9）,（10）,（11）,（12）,(德莫尔甘定律