第9章--概率论与数理统计问题的计算机求解

1、星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解,概率分布与伪随机数生成 统计量分析 数理统计分析方法及计算机实现 统计假设检验 方差分析与主成分分析,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1 概率分布与伪随机数生成,概率密度函数与分布函数概述 常见分布的概率密度函数与分布函数 概率问题的求解 随机数与伪随机数,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.1 概率密度函数与分布函数概述,连续随机变量概率密度记为 p(x)，满足 ，且 由概率密度可以定义出概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:1

2、1,概率分布函数 F(x) 的物理意义，随机变量 x 满足x x发生的概率 函数 F(x) 为单调递增函数，并且满足： 和,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数,Poisson分布 正态分布 F分布 T分布 c2 分布 G分布 Rayleigh分布,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,相关MATLAB函数,后缀：pdf，cdf，inv，rnd，stat，fit,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,另一类通用函数,概率密度计算函数 pdf() 概率分布函

3、数计算 cdf() 逆概率分布函数计算 icdf() 分布特征参数计算 fittest(),星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.1 Poisson分布,Poisson分布的概率密度为： 其中，l为正整数 Poisson分布的概率密度函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,Poisson分布的分布函数： Poisson分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.1,试分别绘制出l=1,2,5,10时Poisson分布的概率密度函数与分布函数曲线 MATLAB求解语句： 也可以使用通用函数 pdf()、cdf(

4、)、icdf(),星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.2 正态分布,正态分布的概率密度函数为： 其中，m和s2分别为正态分布的均值和方差 正态分布的概率密度函数调用格式：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,正态分布的分布函数： 正态分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.2,分别绘制出 (m,s2) 为(-1,1) , (0,0.1) , (0,1) , (0,10) , (1,1)时正态分布的概率密度函数与分布函数曲线,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.3 F 分布,F 分

5、布的概率密度为： F 分布的概率密度是参数p和q的函数，且p和q均为正整数,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,F 分布的概率密度函数调用格式： F 分布的分布函数： F 分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.3,给定 (p,q)对为(1,1) , (2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1)，试绘制出F分布的概率密度和分布曲线 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.4 T 分布,T 分布的概率密度为： T 分布的概率密度是参数 k 的函数，且 k 为正整数,星期日,

6、2013-5- 19, 07:56:11,T 分布的概率密度函数调用格式： T 分布的分布函数： T 分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.4,绘制出 k=1,2,5,10 时 T 分布的概率密度函数与分布函数曲线 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.5 c2分布,c2 分布的概率密度为： 其中，k 为正整数 c2 分布是一种特殊的 G 分布，其中， 且,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,c2 分布的概率密度函数调用格式： c2 分布的分布函数： c2 分布的逆概率分布函数：,星

7、期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.5,绘制出 k = 1,2,3,4,5 时的 c2 分布的概率密度函数与分布函数曲线 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.6 G分布,G分布的概率密度为： 其中， ，G(a)为G-函数 满足： G(a)=aG(a-1)，G(1)=1并且G(1/2)=p,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,G分布的概率密度函数调用格式： G分布的分布函数： G分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.6,试分别绘制出(a,l)为(1,1), (1

8、,0.5), (2,1), (1,2), (3,1) 时G分布的概率密度和分布曲线 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,接上页 为了避免函数曲线在 0 附近的跳变，选择横坐标向量：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.2.7 Rayleigh分布,Rayleigh分布的概率密度为： 该函数是 b 的函数,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,Rayleigh分布的概率密度函数调用格式： Rayleigh分布的分布函数： Rayleigh分布的逆概率分布函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9

9、.7,试分别绘制出 b=0.5,1,3,5 时 Rayleigh 分布的概率密度函数与分布函数曲线 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.3 概率问题的求解,三个求取概率的公式： 的概率 的概率 的概率,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.8,已知某随机变量 x 为 Rayleigh 分布，且b = 1,分别求出该随机变量 x 值落入区间 0.2, 2 及区间 1,) 的概率 MATLAB求解语句： 落入区间 0.2, 2 落入区间 1,),星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.9,二维随机变量 (x,

10、h) 的联合概率密度为 求出 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9-10,假设某两地 A、B 间有 6 个交通岗，在各个交通岗处遇到红灯的概率均相同，为p=1/3,且中途遇红灯次数满足二项分布 B(6,p) ，试求出某人从 A 地出发到达 B 地至少遇到一次红灯的概率。若选择不同的 p 值，试再绘制出至少遇到一次红灯的概率曲线。,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.1.4 随机数与伪随机数,生成不同种类分布的随机数的函数调用格式 生成nm的G分布的伪随机数矩阵 生成c2分布的伪随机数,星期日, 2013-5- 19, 07:56

11、:11,生成 T 分布的伪随机数 生成F 分布的伪随机数 生成Rayleigh分布的伪随机数,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.11,令b=1，生成300001个Rayleigh分布的随机数,并用直方图检验生成数据的概率分布情况 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2 统计量分析,随机变量的均值与方差 随机变量的矩 多变量随机数的协方差分析 多变量正态分布的联合概率密度即分布函数 基于Monte Carlo法的数学问题求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2.1 随机变量的均值与方差,连续随机变量 x

12、 的概率密度函数为 p(x) 数学期望 Ex： 数学方差 Dx：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.12,用积分方法求取G分布(a0,l0)的均值与方差 MATLAB求解语句： 结果： 和,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,在实际中测出一组样本数据 则它们的均值和方差分别为： 无偏的方差： 称 为“标准差”,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,已知一组随机变量样本数据构成的向量： 求向量各个元素的均值： 求向量各个元素的方差： 求向量各个元素的标准差：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.13,生成一组3000

13、0个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，分析数据实际的均值、方差和标准差，及减小随机变量个数的结果 MATLAB求解语句： 使用300个随机数:,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,对于常见的分布函数，可以通过MATLAB命令直接求出该分布的均值和方差（分布类型标识后加后缀 “stat”）： 返回的变量为相关分布的均值和方差,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.14,求出Rayleigh分布（b=0.45）的均值与方差 MATLAB求解语句： 结果：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2.2 随机变量的矩,假设 x 为

14、连续随机变量，且 p(x) 为其概率密度函数，则该变量的 r 阶原点矩 r 阶中心矩为： 可见，,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.15,考虑G分布(a0，l0)的原点矩和中心矩，并由前几项结果总结一般规律 MATLAB求解命令： 原点矩通项表达式：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,直接求出： 计算原问题的中心矩 中心矩没有显而易见的通项公式,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,给定的随机数为一些样本点 该随机变量的 r 阶原点矩 该随机变量的 r 阶中心矩,矩的数值计算,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.

15、16,给生成一组30000个正态分布随机数，均值为 0.5，标准差为 1.5，试求出随机数的各阶矩 MATLAB求解命令：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,求出各阶矩的理论值：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2.3 多变量随机数的协方差分析,随机数 为二维随机变量对 (x,y) 的样本 二维样本的协方差： 二维样本的相关系数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,协方差矩阵： 其中， 计算协方差矩阵的函数调用格式 其中，X 的各列均表示不同的随机变量的样本值,协方差矩阵计算,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9

16、.17,试用MATLAB语言产生 4个满足标准正态分布的随机变量，并求出其协方差矩阵 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度及分布函数,给定 n 组正态分布随机变量 ，它们的均值分别为 ，可以构成一个均值向量 m，这些变量的协方差矩阵为 ，这些随机变量的联合概率密度为 其中，,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,求随机变量的联合概率密度的函数调用格式 其中，X 为 n 列的矩阵 每一列表示一个随机变量,联合概率密度计算,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.17,给定 ，绘制联合

17、概率密度函数；若协方差矩阵的非对角线元素为0，绘制新的概率密度函数 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,产生多变量正态分布随机数的函数调用格式 该函数可以生成 m 组满足多变量正态分布的随机变量，返回的 R 为 mn 矩阵， 每一列表示一个随机变量。,多变量正态分布随机数生成,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.19,观察均值为 协方差矩阵为 二维正态分布的伪随机数的分布情况 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.2.5 基于Monte Carlo法的数学问题求解,Monte Carlo法

18、是通过大量实验来求取随机变量近似值的一种采用的方法 在现代科学研究中，Monte Carlo法经常用来求解一些建模困难的问题 本节只介绍该方法的思路与入门知识,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.19,试用 Monte Carlo 法近似求出 p 的值 数学求解公式： MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.20,试用Monte Carlo法计算积分,假设,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,计算公式 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.3 数理统计分析方法及计算机实

19、现,参数估计与区间估计 多元线性回归与区间估计 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.3.1 参数估计与区间估计,求取参数与区间估计的函数调用格式： 其中， 是实测一组数据 m 是该分布的均值，s2是该分布的方差 Dm 及 Ds2 是置信区间 为用户指定的置信度,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,函数 norminv()可用于求出相关值，这样就可以得出所需的参数 G 分布的均值和方差可以通过gamfit()函数求出，Rayleigh 分布的参数估计函数为raylfit()，均匀分布的参数估计函数为unifit()，Po

20、isson 分布的参数估计函数为poissfit() 可以调用 fittest 函数,给定分布的均值与方差计算,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.22,试用gamrnd()函数生成一组a=1.5,l=3的伪随机数，用参数估计的方法以不同的置信度进行估计，比较估计结果 选择置信度为 ：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,选择 300,3000,30000,300000,3000000 个随机数，将置信度设为 95 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.3.2 多元线性回归与区间估计,输出信号 y 为 n 路输入

21、信号 的线性组合： 其中， 为待定系数 线性回归 求解线性代数方程,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,进行 m 次实验，将实测数据列表如下： 建立起如下的矩阵形式的方程,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,建立起如下的矩阵形式的方程： 其中 为待定系数 为误差构成的向量 为各个观测值 系数矩阵,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,目标函数选择为使得残差的平方和最小： 系数向量 a 为： 求最小二乘解的函数调用格式 求解函数， 1-a为用户指定的置信度,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.23,给定线性回归方程如下，生成1

22、20组随机输入值 ，计算输出向量 y，估计出系数 用最小二乘计算公式： 计算出 98 的置信度的置信区间,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,给输出样本叠加N(0,0.5)区间的正态分布噪声，再绘制参数估计的置信区间： 将噪声方差设为0.1：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计,假设数据 满足函数 原函数严格写成 引入目标函数：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,参数估计的函数调用格式 最小二乘拟合 由置信度为 95 的置信区间 与函数lsqcurvefit()的功能相似,参数估计MATLAB

23、求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.24,给定 得出 95 置信度的置信区间，并叠加均匀分布的噪声信号再进行参数与区间估计 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,给样本点数据 叠加上 0, 0.02 区间均匀分布的噪声信号 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.25,给定原型函数如下 试利用nlinfit()函数求解多变量非线性回归问题,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,定义函数并且生成观测数据 绘制出原观测数据与拟合数据,星期日, 2013-5- 19, 07:

24、56:11,9.4 统计假设检验,统计假设检验的概念及步骤 假设检验问题求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.4.1 统计假设检验的概念及步骤,先假设总体具有某种统计特征（如具有某种参数或遵从某种分布），然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为“统计假设检验方法” 统计假设检验在统计学中是有重要地位的 在实验科学中，使用统计检验等数理统计工具会解释更有意义的结论,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.26,已知某产品的平均强度 现改变制作方法，随意抽取200件 平均强度为 标准差为 问强度有无显著影响 引入两个命题：,星期日, 2013-5- 19

25、, 07:56:11,选取统计量 该统计量满足标准正态分布 N(0,1) 给出显著性水平，引入a判定出现“取伪”错误的概率 用1-a表示假设可以被接受的的概率,假设检验 MATLAB 求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,用逆正态分布函数求出 的值，使得： MATLAB求解命令： 计算统计量 u 的值，若 ，则不拒绝 假设，否则拒绝该假设,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.4.2 假设检验问题求解,正态分布的均值假设检验 正态分布假设检验 其他分布的Kolmogorov-Smirnov检验,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.4.2

26、.1 正态分布的均值假设检验,假设检验的函数调用格式 若已知正态分布的标准差s 若未知正态分布的标准差s,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.27,试用正态分布随机数函数生成一组随机数，并对该随机数进行均值假设检验 生成一组400个 的正态分布随机数，并引入假设 MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,假设设置为 采用T-检验对假设 进行检验：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.4.2.2 正态分布假设检验,Jarque-Bera检验的函数调用格式： Lilliefors检验的函数调用格式：,星期日, 2013-

27、5- 19, 07:56:11,例 9.28,某工厂生产的白炽灯的流明为随机变量x，满足正态分布N(m,s2)，随机抽取120个样的流明数如下，试检验正态分布的假设,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,接上页,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,接上页： 调用正态分布拟合函数normfit()：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.29,用统计学工具箱生成一组G分布数据，用现成函数验证其是否为正态分布数据，显然这些数据不是正态分布的，所以假设检验结果应该是1 MA

28、TLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.4.2.3 其他分布的Kolmogorov-Smirnov检验,Kolmogorov-Smirnov检验是检验任意已知分布函数的一种有效的假设检验算法 函数调用格式： 其中，cdffun为两列的均值，第1列为自变量，第2列应该为要检验的分布函数在自变量处的值,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.30,生成一组G分布数据，对生成的随机数进行假设检验：该随机数满足G分布 生成G分布的数据 假设进行检验,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5 方差分析与主成分分析,方差分析 主成分

29、分析方法,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5.1 方差分析,单因子方差分析 双因子方差分析 多因子方差分析,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5.1.1 单因子方差分析,单因子方差分析就是指对一些观察来说，只有一个外界因素可能对观测的现象产生影响 求解单因子方差分析的函数调用格式 其中，X 为需要分析的数据,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,单因子方差分析表,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,接上页,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.31,有5种药物比较疗效，将30个病人随机地分成5组，

30、每组使用同一种药物，并记录病人治疗时间如下表，试评价疗效,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,MATLAB求解语句：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5.1.2 双因子方差分析,如果有两种因子可能影响到某现象的统计规律，则应该引入双因子方差分析的概念 观测量 y 可以表示为一个三维数组 ，表示第 1 个因子取第 i 个水平，第 2 个因子取第 j 个水平时，组内第k个对象的观测指标。,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,三个假设: 为第一因子单独作用的效应 为第二因子单独作用的效应 为两个因子同时作用的效应,星期日, 2013-5- 19

31、, 07:56:11,若 则拒绝假设 若 则拒绝假设 若 则拒绝假设 求解双因子方差分析问题的函数调用格式,3个概率的定义及意义,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,双因素方差表,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,接上页,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,其中 概率定义 MATLAB 求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,例 9.31,设为比较3种松树在4个不同地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选择5株，测量它们的胸径，得出的数据在下文的表中给出，试对它们进行双因子方差分析,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,松树数据,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,MATLAB 求解,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,计算均值：,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5.1.3 多因子方差分析,MATLAB语言的统计学工具箱还可以进行三因子甚至多因子的方差分析，可以采用manova1()函数进行多因子方差分析,星期日, 2013-5- 19, 07:56:11,9.5.2 主成分分析方法,假设某一事件发生可能受 这 N 个因素影响，而实测数据共有 M 组，这样可以假设这些