模糊数学第一章 1

1、江南大学理学院,模糊信息计算的理论与方法,主 讲: 曹俊峰,什么是模糊数学？,模糊数学概念,Fuzzy Mathematics 研究和处理模糊概念的数学方法。 模糊概念：难以精确表达的概念。 例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人,1,秃子悖论: 天下所有的人都是秃子,设头发根数n,n=1 显然,若n=k 为秃子,n=k+1 亦为秃子,模糊概念,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显 分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。,2,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学就是用数学方法研究

2、模糊现象。,3,模糊概念,模糊集理论美国加州大学控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创,模糊数学的产生与基本思想,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,4,首次成功的用数学方法描述了模糊概念。,课程认识,在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。 一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例 如 人、

3、自然数、正方形等。 要么是人，要么不是人。 要么是自然数，要么不是自然数。 要么是正方形，要么不是正方形。 另一类对象概念从属的界限是模糊的，随判断人的思维 而定。 例如:好不好?快不快？快乐的很，好得很等等。 在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。 对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要 形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座 桥梁。它，就是我们要讲的“模糊数学”。,2,课程认识,本课程为信息与计算科学专业基础课,教学目的 通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理 论； 从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够应用模糊理论解 决一些实际问题。,教学

4、要求 模糊数学基础部分包括：模糊集合及其运算；分解定理和扩张 原理；模糊度量；模糊关系；模糊矩阵等。 应用方法包括：聚类分析；模式识别；模糊决策等。,3,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：,数学,4,杂志和会议：,4,1976年传入我国 1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会 1981年创办模糊数学杂志 1987年创办模糊系统与数学杂志 我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一（美国、西欧、日本、中国）,涉及学科,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅

5、、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐,第一章 模糊理论的数学基础,普通集合与普通关系,一、集合,二、关系,模糊理论的数学基础,普通集合与普通关系,集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数,直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 格,概念、内涵、外延,每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和,一、集合,一、集合,概念、内涵、外延 概念：青菜 内涵： 一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用 外延： 韭菜、芹菜、芥

6、兰、白菜、葱等等,概念与集合,概念可以用集合来表示 我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范围内） 例如： 在论域“人”上，讨论概念“男子”,一、集合,概念与集合,从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集A A是概念“男子”的 外延 是概念“男子”的集合表现 概念可以用集合来表示,一、集合,一、集合,经典集合的回顾,十九世纪末，康托（Contort）建立了经典集合论。 经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身 也是一门严格体系的数学分支。 我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念： 具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做 集合。 每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个

7、体，成 为集合中的一个元素。 同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对 象，称为论域。,一、集合,1. 集合的有关概念,相等:,空集:,不含任何元素的集合,子集:,真子集:,则称,幂集:,U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U),例如：,1. 集合的有关概念,定理:如果有限集合U有n个元素，则其幂集P(U)有 2n 个元素。,例：P() =,P(P() =,注意点：,和 ,， ,A= ,则有 A, A， A, A,例题：A=a, b, c 则a A, b A, c A a A, bA, c A,2. 集合的运算(set-theoretic operations),表“或”,表“

8、且”,表“非”,差,A,B,E,AB=,A,B,E,AB,AB,A,B,E,AB,A-B,A,E,A,.集合运算的性质,(1) 幂等律(idempotence),(2) 交换律(commutativity),(3) 结合律(associativity),(4) 吸收律(absorption laws),(5) 分配律(distributivity),(6) 存在最大最小元,(7) 还原律(involution),.集合运算的性质,(8) De Morgan 德.摩根律（对偶律）,(9) 补余律(complementation),推广：,分配律、对偶律等可推广,.集合运算的性质,4. 集合中元素

9、的计数,集合A1，2，n，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作 card An 也可以记为An， 空集的基数是,即0,有穷集、无穷集,定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得Acard An，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。 例如，a,b,c是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。,5. 映射与扩张,（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广,记号：,例1：,设,都是集合，若存在对应关系f, 使,都有唯一的 与之相对应，则称f 是映X入Y的映射。,读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。,（2） 特殊映射,5. 映射与扩张,f 为从X到Y

10、的满射当且仅当f(X)=Y.,双射(bijection)：,注1. 单射或满射的概念与集合有关. 例如:,注2. 双射为1-1对应.,5. 映射与扩张,（3）扩张：点集映射 集合变换,补讲,6. 集合的特征函数(characteristic function of a set ),证：,取大运算,如23 = 3,故,称集合A的特征函数。,6. 集合的特征函数(characteristic function of a set ),例题:,则,则,类似可得：,证：,取小运算,如23 = 2,推广：,6. 集合的特征函数(characteristic function of a set ),定义：设

11、A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积，记做A B 一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合AB，规定ABxA,yB ，不能写作BA。,二、关系(Relations),1. 直积(Descartes product),n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合,1. 直积(Descartes product),称为,例1,例2,R表示实数集，,例3 设集合 A=a,b,B=1,2,3,C=d, 求ABC，BA。 解 : 先计算AB a,1, a,2,a,3, b,1, b,

12、2,b,3 ABC a,1, a,2,a,3, b,1, b,2,b,3d , , , , BA, 例4 设集合A1,2,求AP(A)。 解: P(A)=,1,2,1,2 AP(A)1,2,1,2,1,2=, , ,1. 直积(Descartes product),注意点：,或,(1),(2),(3),直积不适合交换律和结合律,例1 设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以一共可住2n个旅客，在旅馆内，旅客与房间有一定关系，用 R 表示“某旅客住在某房间”这种关系。 设 n=3 表示旅馆共有3个房间, 分别记以 1, 2, 3 可住6个旅客分别记以 a, b, c, d, e, f ,

13、这些旅客住的房间如右下图所示,1,2,3,a,满足 R 的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集合可叫 R R=, 若令 A = a, b, c, d, e, f B = 1, 2, 3 则例中关系的每一元素均属于AB 亦即 R 是AB的子集，并称此关系为从 A 到 B 的关系 R。,关系的引入,2. 关系的概念,2. 关系的概念,注1.关系就是集合，,注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。,例2,2. 关系的概念,若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映

14、射 R : X Y 0,1 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.,3. 关系的运算,例3,3. 关系的运算,3. 关系的运算,关系的矩阵表示法,设X = x1, x2, , xm,Y= y1, y2, , yn，R为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)mn， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.,3. 关系的运算,关系合成的矩阵表示法,设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且X 到Y 的关系 R1 = (ai

15、k)ms， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)sn， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,例4 设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,R1 =(x, y) | x + y = 6,= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(y, z) | y z = 1,= (2,1), (3,2), (4,3),则R1与 R2的合成,R1 R2=(x, z) | x + z = 5,= (2,3),

16、(3,2), (4,1).,3. 关系的运算,4. 特征关系,称为R的特征关系。,5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition),在我们的周围有众多的事情要我们去处理,怎么高效率的处理这些问题呢?一个简单的方法就是分门别类地去处理,而分门别类地去处理事情的数学基础是利用等价关系去分类.,5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition),则称R是一个X上的等价关系。 补讲等价和划分的概念,5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition),几点说明：,对称关系

17、不是反对称关系（aRb且bRa得到b=a)的 反义。 有些关系既是对称的又是反对称的，比如“等于”。 有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数 的“整除”。 有些关系既是对称的但不是反对称的，比如“模n同 余。 有些关系不是对称的，但是反对称的，比如“小于”。,5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition),例.考虑自然数集N上的同余关系 的等价类。因为任何自然数除以3，其余数只能是0，1，2，所以在集合N上只有由0，1，2产生关于 的3个等价类（约定 ）：,这三个等价类满足:,称这三个子集为集合N的一个划分。,5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition),定理：若R 是集合上的等价关系，则等价类的集合,称集合 Ai 是集合 A 的一个划分.每个集合Ai叫做这个划分的一个类。,定义：设A是一个非空集，而Ai， （指标集K可以是有限的，也可以是无限的）是集合A的某些非空子集，如果,构成A的一个划分。,6. 格 (Lattices),定理1,则有：,(1)幂等律：,(2)交换律：,(3)结合律：,(4)吸收律：,证明：,(1)(2)是显然的,本章小结,一、集合的有关概念 1、特殊的集合：空集、全集、子集和幂