第四节-连续型随机变量及其概率密度——概率论与数理统计李长青版

1、第四节 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负可积函,其中F (x)是它的分布函数,f (x)是它的概率密度函数，简记为概率密度。,数 f ( x ), 使得,则称 X 是连续型随机变量,x,分布函数F(x)与密度函数 f ( x) 的,几何意义,x,y,O,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续,在 f ( x ) 的连续点处，,性随机变量的概率密度,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值,的概率.,注意: 对于连续型随机变量 X , P(X = a) = 0.,其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连

2、续型随机变量取任一常数的概率为零.,强调 概率为0 的事件未必是不可能事件.,事实上,从而有,对于连续型随机变量 X,如下图所示,b,x,f ( x),a,O,x,f ( x),a,O,求：（1）常数a；（2）,（1）由概率密度的性质可知,所以 a1/2,例1 设随机变量X具有概率密度,解：,例2 某电子元件的寿命（单位: 小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求5个同类型的元,件在使用的前 150 小时内恰有2个需要更换的概率.,解,A = 某元件在使用的前 150小时内需要更换 ,设,则,对5个元件的寿命进行观测, 可以看作是一个5重伯努,以Y记在150小时内损坏的电子管数， 则,由此可得

3、,例3 设连续型随机变量 X 的分布函数为,试求 X 的密度函数.,例4 设随机变量 X 密度函数为,试求 X 的分布函数.,1. 均匀分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度,则称 X在区间 (a, b)上服从均匀分布, 记作 XU (a, b).,其分布函数为：,概率密度函数 f(x)与分布函数F(x)的图形:,O,O,注：若 XU (a, b)，则,（1）,（2）若acdb，则,例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来,一班车, 如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之,间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5,分钟的概率.,解,设该乘客于7时 X分到达此站.,则 X 服从区

4、间,(0, 30) 上的均匀分布,其概率密度为,设 B =候车时间不超过5分钟, 则,2. 指数分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度,其中0为常数，则称 X服从参数为 的指数分布，,其分布函数为：,记作 XE ().,概率密度函数 f(x)与分布函数F(x)的图形:,指数分布是常用分布之一，常用它来描述各种,指数分布具有“无记忆性”的特点。即对于任意,因此，,“寿命”问题, 如电子元器件的寿命, 生物的寿命等.,的 s 0, t 0，若XE()，则,例6 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数,为=1/2000的指数分布(单位:小时) 。求,(1) 任取一只这种灯管, 求能正常使用1000

5、小时,以上的概率；,(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时,以上, 求还能使用1000小时以上的概率.,3、正态分布（高斯分布）,若连续型随机变量 X 具有概率密度,其中 , ( 0)为常数，则称 X 服从参数为,其相应的分布函数为：,可以验证：, 的正态分布, 记作 XN (, 2).,X N (3 , 1),f (x) 的性质：,(1)图形关于直线 x = 对称, 即,(2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值,(3)在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点,(4)曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,(5)曲线 y = f (x) 的图形呈

6、单峰状,f ( + x) = f ( x),凹凸分界点,二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,的概率更大.,只是位置不同.,可用正态变量描述的实例极多,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,x,(x),x,O,a,x,(x),a,O,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,.,求,解,例7 若随机变量,（1）,（2）,（3）,标准正态分布的上 分位数 u,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 u 为正态分布的上 分位数。,常用数据,(x),O,4、伽玛（Gamma）分布,贝塔函数,若连续型随机变量 X 具有概率密度,其中 0, 0为常数，则称 X 服从参数为 , ,注:,