组合数学第二章习题.ppt

1、1.证明等式,解：.,2.求 中 项的系数.,解：.,3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？,解：.,4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。,解：.,5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。,解：.,6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。,解：.,7.证明序列 的母函数为,解：.,8.证明,解：.,9.利用 ， 改善 4(2) 的 估计式。,解：.,10. 8台计算机分给3个单位，第1单位的分配量不超过3台，第2单位的分配量不超过4台，第3个单位不超

2、过5台，问共有几种分配方案？,解：.,11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不同的且不相邻的Fibonacci数之和。即,注意 是相同的Fibonacci数。,解：.,12. 设空间的n个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平面都不共点。这样的n个平面把空间分割成多少个不重叠的域？,解：.,13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共出现了多少个0？,解：.,14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次移动一个，始终保持上面的比下面的小。一共要移动多少次？,解：.,15.

3、一书框中有m格，每格各放n册同类的书，不同格放的书类型不同。现取出整理后重新放回，但不打乱相同类。试问无一本放在原来位置的方案数应多少？,解：.,16. 设一矩形 ,其中 作 使得 是一正方形。试证矩形 和 相似。试证继续这过程可得一和原矩形相似的矩形序列。,解：.,17. 平面上有两两相交，无三线共点的n条直线，试求这n条直线把平面分成多少个域？,解：.,18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？,解：.,19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的数的个数。,解：.,20. 从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现三次

4、，求这样的排列的数目。,解：.,21. 求 的和。,解：.,22. 求矩阵,解：.,23. 求,解：.,24. 在一个平面上画一个圆，然后一条一条地画n条与圆相交的直线。当r是大于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如果无3条直线在圆内共点，这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？,解：.,25. 用 记具有整数边长周长为n的三角形的个数。 （a）证明,（b）求序列 的普通形母函数。,解：.,26. （a）证明边长为整数、最大边长为l的三角形的个数是,（b）设 记边长不超过2n的三角形的个数，而 记边长不超过2n+1的三角形的个数，求 和 的表达式。,解：.,27. 设,（a）证明,（b）求序列 与 的母函数。,（c）用Fibonacci数来表示 与 。,解：.,28. 设,（a）证明,（b）证明 的充要条件是 。,（c）证明,（d）证明 为m,n的最大公约数。,解：.,29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的数，设此选取的方案为 。,（a）求 的递推关系。,（b）用归纳法求 。,（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此假定下从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的k个数的方案数为 ，利用 求 。,解：.,30. 设 是第二类Stirling数。证明,解：.,31.