概率论1.2 2课件

1、概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,将一颗构造均匀的色子投掷一次，求事件A=“掷得奇数点”，B=“掷得偶数点”，C=“掷得么(幺)点”的概率.,解 因样本空间S=1,2,3,4,5,6，事件A=1,3,5，B=2,4,6，C=1，故 P(A)= 3/6= 1/2， 同理 P(B)= 1/2，P(C)= 1/6.,第一章 随机事件与概率,1.2 频率与概率 古典概型,当做一个随机试验时，常常会发现有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同.,事件出现的可能性的大小，是客观存在的，它揭示了这些事件的内在的统计规律.,在生产实际中，了解和掌握事件发生

2、的可能性的大小是有重要意义的.,例如，知道了某电话交换台在24小时内出现某些呼唤次数的可能性的大小，就可以根据要求，合理地配置一定的线路设施以及管理人员等.,为了研究事件发生的可能性的大小，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小，人们就把刻画这种可能性大小的数值叫做事件的概率.,事件A，B，C，的概率分别用 P(A)，P(B)，P(C)， 来表示.,由此可知，概率是随机事件的函数.,对于一个给定的事件，概率到底是一个什么数？怎样求？,下面先对其加以讨论.,本节介绍适用于一般试验的统计概率定义，它是以事件的频率具有稳定性为基础的.,下面先介绍事件频率的概念.,设A为联系于某一试验的事件，将试验在

3、相同条件下重复n次，用nA表示事件出现的次数，则比值 nA/n 称为事件A的相对频率，简称频率，记为 fn(A)=nA/n.,由于在任意n次试验中，事件A发生的次数具有偶然性，故对任意n，频率fn(A)都具有不确定性.,但当重复试验次数n很大时，就呈现出明显的规律性频率的稳定性.,例如，蒲丰和皮尔逊掷均匀硬币的试验(蒲丰投掷4040次，正面向上次数为2048次，频率为0.5069；皮尔逊投掷12000次，正面向上次数为6019次，频率为0.5016；皮尔逊投掷24000次，正面向上次数为12012次，频率为0.5005).,1 频率,如果用A表示掷得正面的事件，则在蒲丰的试验中，有,在皮尔逊的

4、试验中，有,实验结果统计表,由此可见，当投掷次数n很大时，硬币正面出现的频率fn(A)接近1/2.,频率的这种稳定性，说明了的事件发生的可能性有大小可言. 当频率稳定于较大的数值时，相应事件发生的可能性就大；反之，就较小. 从而频率所稳定的这个值就是相应的事件发生的可能性大小的一个客观的定量的度量，人们称之为相应事件的概率.,一般定义如下，我们称之为概率的统计定义：,定义1 在一组固定的条件下，重复作n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而且一般来说，随着n的增大，这种摆动的幅度愈来愈小，则称常数p为事件的概率.即 P(A)=p.,这个定义适用于一切类型的

5、试验.,定义中虽然没有提供直接确定概率的方法，但当n充分大时，频率fn(A)=nA/nP(A)，故可用频率fn(A)作为概率P(A)的近似值；在许多情况下，这就足以满足实际需要了.,下面讨论这种统计概率是否具有古典概率的各种概率性质,按照统计概率的定义，概率实际是频率的数学抽象；因此，人们根据频率所具有的性质，来推断统计概率具有的性质,定理1.3 事件的频率具有如下的性质:,()对任一事件A，有0fn(A)1；,() fn(S)=1；,()若事件A1,A2,Ak是互不相容的，则 fn(A1+A2+Ak)= fn(A1)+ fn(A2)+ fn(Ak).,证明 性质()，()可由几何概率的定义直

6、接推得.,现在证明性质().,设在n次试验中，事件A1 ,A2 ,Ak发生的次数分别为 n1 ,n2 ,nk， 由于A1,A2,Ak是互不相容的，故事件A1+A2+Ak发生的次数为 n1+n2+nk.,从而得到,由上面的定理可知，统计概率应当具有如下的性质：,()对任一事件A，有0P(A)1； () P(S)=1； ()若事件A1,A2,An是互不相容的，则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).,由此又可知，古典概率的性质()()，对统计概率也都是成立的.,第一章 随机事件与概率,2. 概率的公理化定义,概率的统计定义虽然适用于一般情况，但它的定义有不确切的地方.如定义

7、中n的“很大”、“围绕着某一个常数p摆动”等术语，都不是严格的数学概念.此外，统计概率的概率性质，是频率性质推出来的，不是由统计概率定义证得的.,因此，以这些作为概率的理论基础是不够的.,由上述可见，概率的统计定义得到的概率，具有下述性质：,()对任一事件A，有0P(A)1； () P(S)=1； ()若事件A1,A2,An是互不相容的，则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).,这说明这三条性质是概率的最基本的性质，是概率的固有属性.,由此人们想到直接用这些性质来作为一般的概率定义.近代概率论的公理结构中正是这样做的.,现在来陈述概率的公理化定义.,定义1 设随机试验E

8、的样本空间为S，如果对每个事件A(S中的子集)，都有一个实数P(A)与之对应，且满足以下公理：,公理1 P(A)0；,公理2 P(S)=1；,公理3 对于互不相容的事件A1,A2,An ,，有 P(A1+A2+An +)=P(A1)+P(A2)+P(An)+.,则称实数P(A)为事件A的概率.,几点说明：,(1)由公理1，2，3可以推出P(A)1(见后面的推论3)；,(2)公理3称为可列可加性或完全可加性公理，它包含着有限可加性(见后面的推论2).,(3)公理3的设立，是为了适应样本空间为无限的情况，在那里不可避免的要考虑可列无限多个事件和的概率的运算问题.,(4)概率论的全部理论都是建立在上

9、面的三条公理的基础之上的.,推论1 P()=0.,证 S=S+.由公理3，得 P(S) = P(S) + P()+， 因此 P()=0.,推论2 设A1,A2,An是互不相容的事件，则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).,证 P(A1+A2+An)=P(A1+A2+An + +),由公理3以及推论1，得 P(A1+A2+An) =P(A1)+P(A2)+P(An)+ P() + =P(A1)+P(A2)+P(An).,推论3 0P(A)1.,证 只需证P(A)1.由于 1= P(S)=P(A+Ac)= P(A)+P(Ac)， 故得P(A)1.,由性质() ()，又可推

10、得以下的结果.,() P(Ac)=1P(A).,证明 因A，Ac互不相容，由性质()，有 P(A+Ac)=P(A)+P(Ac).,又因A+ Ac=S，故 P(A+Ac)=1. 带入式P(A+Ac)=P(A)+P(Ac)，则得性质().,() P()=0.,证明 在性质()中，令A=S，则得Ac=，于是 P()=1P(S)=0.,()若AB，则P(A)P(B)，且 P(BA)=P(B)P(A).,证明 因AB，故 B=A+(BA) ， 其中A与BA互斥(见图1.7).由性质()，有 P(B)=P(A)+P(BA). 故得 P(BA)=P(B)P(A).,因为P(BA)0，所以由上式又可得 P(A

11、)P(B).,S,B,A,B-A,图1.7,图1.8,推论 设A，B为任意两个事件，则 P(AB)=P(A)P(AB).,证明 因AB=AAB，ABA(见图).,故由性质()有 P(AB)= P(AAB) =P(A)P(AB).,() (一般概率的加法公式) 对任二事件A、B有 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).,证明 因AB=A+(BA)，A与BA互斥(见图1.8).,图1.8,由性质()及上面的推论，有 P(AB) =P(A)+P(BA) =P(A)+P(B)P(AB),性质()可以推广到任意n个事件上去.,由性质()P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)，又可得 P(AB) P

12、(A)+P(B).,当n=3时，有 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2)P(A2A3)P(A1A3) +P(A1A2A3).,一般地，设A1,A2,A3,An为n个事件，则,上式可用数学归纳法证明.,公理化概率的定义中，没有给出概率的计算方法，只是给了概率应满足哪些公理，为的是使定义能适用于各种不同的情况.,在实际问题中如何规定，要视具体情况而定.,公理化概率定义则是概率的数学抽象，同时又避免了上述统计定义的不足之处.,例如，样本空间包含有限个样本点，即,则只要规定满足,的一组数,就可以了.,这时，由概率的可加性，就可推得任一事件,的概率,若基本事件的发生是等

13、可能的，即,则由第二个条件式，得,再由事件A的概率公式，得,这就是古典概率的计算公式.,第一章 随机事件与概率,3. 古典概率,古典概率的定义与计算,先看一个简单的例子，投掷一枚均匀的硬币，考虑出现正面和出现反面这两个事件的概率.,由于硬币是均匀的，因而出现正面和出现反面的可能性是一样的.故人们有理由认为出现正面和出现反面这两个事件的概率都是1/2.,这个例子具有下面两个特点：,()样本空间包含的基本事件的个数是有限的；,()每个基本事件发生的可能性是相等的.,第一个特点是显然的；,第二个特点，严格说来，是很难具备的.,因为实际的硬币两面的花纹不同，凹凸分布不同，故硬币不是绝对均匀对称的.,不

14、过花纹、凹凸这些因素对出现正面或反面的影响很小，可以把它们忽略，而认为出现正面和出现反面是等可能的.,具有上述两个特点的试验，叫做古典概型试验，它是概率论初期研究的主要对象，一般有下面的定义.,定义 设E是一个随机试验，若它的样本空间S满足下面两个条件： ()只有有限个基本事件； ()每个基本事件发生的可能性是相等， 则称E为古典概型的试验.,在古典概型的情况下，事件A的概率定义为,在古典概型的情况下，事件A的概率定义为,P(A)=A所包含的基本事件个数/S所包含的基本事件总数 = #(A)/#(S) (1.3),即,用这个公式计算古典概率时，必须计算样本空间中的基本事件总数以及事件A中包含的

15、基本事件的个数.这种计算常常要用到排列与组合的知识.,例1 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是0,1,2,9中的任意一个.设A1表示事件“8个数码全相同”，A2表示事件“8个数码全不相同”，A3表示事件“8个数码有两个3”，求这些事件的概率.,解 将每一个可能的电话号码作为基本事件，它们可以被认为是等可能的.,由于不同位置上的数码是可以重复的，故基本事件的总数为108.,显然，A1中包含的基本事件数为,故,A2中包含的基本事件数为,故,A3中包含的基本事件数为,这是因为数码3要在电话号码中占两个位置的方法有C82种，而其余6个数码中的每一个都可以从剩余的9个数码0,1,2,4,9中重复选

16、取，有9种方法，故,例2 设有一批产品共有100件，其中有5件次品，其余均为正品.今从中任取50件，求事件A=“取出的50件恰有2件次品”的概率.,解 将从100件产品中任取50件为一组的每一种可能的组合作为基本事件，总数为C10050.,导致事件A发生的基本事件为从5件次品中取出两件，从95件正品中取出48件构成的组合，有,个，故所求的概率为,例3 将10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书靠在一起的概率.,解 将10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为,设A表示指定的3本书靠在一起的事件，如果将这3本书看作一本书将其与剩下的7本书进行排列，则有8!种排列方法，而3本书靠在一起

17、的排列方法有3!种，故中包含的基本事件的个数为，所以,例4 将r个人随机地分配到n(r n)个房间里，设 A=“某指定的r个房间中各有一人”， B=“恰有r个房间中各有一人”， C=“某指定房间恰有k(k r)人”， 求A、B、C的概率.,解：由于每一个人都可以分配到n个房间的任意一个房间，所以将r个人分配到n个房间去共有nr种分法.,将每种分法当作一个基本事件，那么基本事件总数为nr.,(1)将r个人分配到某指定的r个房间，每个房间中各有一人，共有r!种分法，故,(2)由于r个房间可以是任意的，即可以从n个房间中任意选出r个来，这种选法共有Cnr种.对于每种选定的r个房间，每个房间分配一个人

18、的方法有r!种.故B中包含的基本事件数为Cnrr!.因此,(3)由于某指定房间分配k个人的分法有Crk种，而其余r-k个人任意分配到n-1个房间的分法有(n-1)r-k种，所以C中包含的基本事件数为Crk(n-1)r-k.因此,例5 袋中有a个黑球，b个白球，若随机地把球一个接一个地摸出来，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率(k a+b).,解一：把a个黑球与b个白球都看作是不同的(比如，设想它们都编了号)，且把a+b个球的每一种排列看作基本事件，于是，基本事件总数为(a+b)!.,由于第k次摸得黑球有a种可能，而另外a+b1次摸得球的排列有(a+b1)!种可能.所以A中包含的基本事件数为a(a+b1)