系统的可观测性自用(7)2015.ppt

1、动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。,系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。,可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。, 2.2 系统的可观测性,1. 可观性的直观讨论 状态可观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。 如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是可观的, 或者更确切地说,是状态可观的。 否则,就称系统为状态不完全可观的。,一. 线性定常系统的可观测性及其判据,例2.2.1 给定系统的

2、状态空间模型与结构图分别为,本例中,输出变量y(t)即为状态变量x1(t)，因此,由y(t)的测量值可直接得到x1(t)的值,即状态变量x1(t)可由输出唯一确定。,而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的解可知, x2(t)的运动轨迹由x2(t)的初始状态x2(t0), x1(t)和输入u(t)三者共同决定。因此,由测量到的输出y(t)和输入u(t)并不能唯一确定出状态变量x2(t)的值,即状态x2(t)是状态不能观的。,因此,整个系统的状态是不完全能观的。,2可观性定义,1）系统完全可观测,对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输入 和输出

3、 能唯一确定状态向量的初值 ，则称系统在 内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切 系统都是可观测的，则称系统在,内是完全可观测的。,对时不变系统同样适用,2）系统不可观测,对于线性时变系统 如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输入 和输出 不能唯一确定所有状态的初值 （至少有一个状态的初值不能被确定），则称系统在 内是不完全可观测的，简称不可观测。,考虑输入u0时系统的状态方程和输出方程,其中，x为n维状态向量；y为q维输出向量；A和C分别为nn和qn的常值矩阵。,3. 线性定常连续系统的可观测性判据,1 ）格拉姆矩阵判据,线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是，存

4、在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵：,为非奇异。,证明 充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式 可得,将式 左乘 ，然后从0到 积分得,已知M（0，t1）非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式 得,这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据0,t1上的输出y（t）唯一地确定非零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。,证明 充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式 可得,将式 左乘 ，然后从0到 积分得,显然， 为状态空间中的不客观状态。,必要性： 系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。,采用反证法。反设M（0，t1）奇异，假设

5、存在某一非零初始状态,成立，这意味着,这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。,2 ）秩判据,线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是,或,式 和式 中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。,证明 从式 出发，进一步论证秩判据的充要条件。 由式 ，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得,证明以下从式 出发，进一步论证秩判据的充要条件。 由式 ，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得,由于 线性无关，故,由 唯一确定。由 被下式唯一确定,得证,例2.2.2 判断下列系统的可观测性,解,故系统不可观测。,故系统可观测。,3） PBH秩判据,线性定常连续系统 完全可观测

6、的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 1, 2, , n，均有,或等价地表示为,即(sI A)和C是右互质的,矩阵 之间满足如下关系,*对偶性,定义：对连续时间线性时变系统,其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统,其中,状态X为n维行向量,协状态为n维行向量 输入u为p维列向量,输入为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出为p 维行向量,结论1 :原构系统的状态转移矩阵,与对偶系统的状态转移,1/2,25/45,结论2 设为原构线性系统, d为对偶线性系统,则有,完全能控 d 完全能观测,完全能观测 d 完全能控,2/2,26/45,5） 约当规范型判据,系统 完全可观测的充要条件分两种情况：, 矩阵A的特征值 1, 2, , n是两两相异的。由线性变换可将式 变为对角规范型,式中 不包含元素