1-2课程介绍+绪论.ppt

1、应用数学学院,数值分析,数值分析课程简介,数值分析教学大纲,课程编号：,学时：32 学分：3,课程性质：必修,适用专业：理工科各专业研究生,课程别名：计算方法,数值分析性质、任务,性质,“数值分析”研究用计算机解决数学问题的,数值方法及理论。,任务,熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析；,提高算法设计和理论分析能力；,对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果。,数值分析课的要求,1. 按时上课，不迟到；,2. 每次都认真完成并按时上交作业；,3. 每个同学尽量做好笔记；,4. 有问题及时提问，做到听得懂、会做题。,学习数值分析的要求,数值分析课作业要求,每章上交一次作业，下章第一次课上

2、交； 要求必须在课前提交，课代表记录情况。 实验作业要求以电子文档形式上交。,2. 每一章之后由学生按组讲解作业,学习数值分析的作业要求,第一章 绪论,绪 论,数值分析的研究对象,误差的来源与分类,相对、绝对误差，有效数字,误差的传播,避免误差的准则,研究求数学问题近似解的方法和过程,实际问题,数学模型,数值计算方法的理论,程序设计,上机计算求出结果,一 数值分析的研究对象,计算数学,应用数学,数值分析基本内容,插值与拟合,数值微分与数值积分,线性方程组的直接解法与迭代解,非线性方程的解法,常微分方程数值解法,二、数值分析的主要内容,矩阵特征值的计算,时间复杂性好_指节省时间；,空间复杂性好_

3、指节省存储空间。,想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.,数值分析的主要特点,三、数值分析的主要特点,为数学问题提供计算机上切实可行的算法.,所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理,计算复杂性好,通过数值实验证明算法行之有效.,数学分析(高等数学),高等代数(线性代数),微分方程,数学软件,学习数值分析的准备知识,四、学习数值分析的准备知识,误 差 的 来 源,第 1 节,误差的来源,误差的分类,(1)模型误差_数学模型与实际问题之间出现的误差.,(2)观测误差_由观测、观察产生的误差.,(3)截断误差_由简化问题（计算公式）所引起的解的误差(也称方法误差).,将函数 展成的幂级数.,

4、再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替,3.14159265358979323846,(4) 舍入误差_数字计算过程中产生的误差,则数值方法的截断误差是,误差的分类,误差与有效数字,第2节,误差的一般描述,一、误差的一般描述,误差的一般描述,如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数x准确到,用四舍五入得到的数都是有效数字;,定义:,小数点后第k位, 从这小数点后第k位数字直到最,左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.,有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.,有效数字,二、有效数字,是其近似值,问它们分别有几位有效数字?,例 1.1,x1=1.73, x2=1.7321

5、,有效数字,注意,(1)有效数字的位数与小数点的位置无关;,(2)有效数位越多,相对误差越小.,有效数字,第 3 节,数值计算中的误差传播,例1.5,基本运算中的误差估计,一、基本运算中的误差估计,多元函数有类似的结果,基本运算中的误差估计,基本运算中的误差估计,数值计算中应注意的问题,第 4 节,1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值;,2。避免两个相近的数相减;,3. 要防止大数“吃掉”小数;,2。应选用数值稳定性的计算方法;,2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。,避免误差危害的若干原则,避免误差危害的若干原则,解：,可得算法：,一、使用数值稳定的计算公式,避免误差危害的若干原则,这个算法不具有稳定性，因为,的舍入误差传播到 时，该误差放大5倍，传到,时，该误差将是 倍，当n较大时，误差将,淹没真值，这种递推公式不宜采用。,