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1、,通过上面演示实验的观察:,但对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注,上述定义称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质：,1） 的任意性， |xna|定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给0标志着“要多小”的要求。,2）N是一个特定的项数，与给定的有关，重要的是它的存在性。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna| ,n N,一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义

2、要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,都落在a点的邻域,即在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证明,因此,则当n N时，有,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N,放大的原则： 放大后的式子较简单 放大后的式子仍以0为极限,数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,推论 无界数列必定发散.,2.唯一性,定理2 若数列的极限存在，则此极限值是唯一的.,数列有无极限只与N以后的项有关，而与N前有限项 无关，因此可在数列前添加或去掉有限项，不影响 数列的敛散性,五.小结,数列:研究其变化规

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