04-动力第一次课流体力学

1、第三章 流体运动学,34 流体微团运动的分解,学习内容回顾,变形速率张量 二阶对称张量,角度变形率,线变形率、角变形率和旋转角速度,线变形率,旋转角速度矢量,旋转角速度,亥姆霍兹速度分解定理,: 点的流速； : 点的流速； : 流体变形速率张量 对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形； : 流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度。,EXIT,唯一的标准是看流速场是否满足 ，写成分量形式为：,有旋流动和无旋流动,旋度,这个分类是 很重要的,EXIT,判别,流动是否有旋应看流体微团是否绕自身轴旋转，而不是看其运动轨迹。,涡线、涡管、 涡通量和环量,涡线:一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一

2、点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。,涡线的微分方程,涡管:在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。,涡通量:旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。,速度环量:速度在某一封闭周线切线上的分量沿该方向的积分。,注意：速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关，一般规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。,流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。,42 恒定总流的能量方程,43 恒定总流的动量方程,44 理想流

3、体的无旋流动,第四章 流体动力学基础,EXIT,41 流体运动微分方程,EXIT,建立理想流体运动微分方程 欧拉方程 积分理想流体运动微分方程得到恒定元流的能量方程 伯努利方程 建立总流伯努利方程 建立恒定总流的动量方程。 讨论无旋流动的速度势函数和不可压缩流体平面流动的流函数及两者的关系,主要内容,EXIT,41 流体运动微分方程,运动理想流体的应力状态 理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立 理想流体运动微分方程的伯努利积分 不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维- 斯托克斯方程）介绍 流体动力学的定解问题,p,P= pn,p ：动压强,p ：静压强,EXIT,一. 运动理想流体的应力状态,运

4、动理想流体的应力只有法向应力 动压强,静止流体（不论理想或实际流体）,运动理想流体,一. 运动理想流体的应力状态,运动理想流体的应力只有法向应力 动压强,一. 运动理想流体的应力状态,运动理想流体的应力只有法向应力 动压强,P= pn,静止流体,运动理想流体,静止流体和运动理想流体中的四面体微元运动方程中质量力（含惯性力）比起表面力是高阶无穷小，当四面体微元趋于一点，即可得证,EXIT,运动理想流体动压强的大小与作用面方位无关,静止流体,运动理想流体,静止流体,运动理想流体,静止流体,运动理想流体,静止流体,二. 理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立,运用牛顿第二定律，对理想流体建立运动方程

5、，描述动压强、质量力和流速之间的关系。,压强 p,流速(ux,uy.uz), 质量力(X,Y,Z),作用于六面体微元沿 y 方向的表面力的合力为,六面体流体微团(系统),中心点C,EXIT,EXIT,作用于六面体微元沿 y 方向的质量力为,根据牛顿第二定律，y方向运动方程为,作用于六面体微元沿 y 方向的惯性力为,矢量形式,欧拉方程,EXIT,同理，可得x、z方向运动方程,圆柱坐标系下的Euler方程,圆柱坐标系下的Euler方程,球面坐标系下的Euler方程,球面坐标系下的Euler方程,球面坐标系下的Euler方程,葛罗米柯方程直接反映了流体流动的特性，既包含线速度,也包含角速度。,葛罗米

6、柯方程理想流体运动微分方程在直角系中的另一种形式,运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。,理想流体,恒定流动,+,+,（dx,dy,dz）是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。,EXIT,三. 理想流体的运动微分方程的积分,运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。,三. 理想流体的运动微分方程的积分,上式左边可改写为：,质量力有势，势函数 W ，即,EXIT,质

7、量力有势，势函数 W ，即,右边后三项为,不可压缩流体，密度为常数,最终原等式可写成,则右边前三项是力势函数 W 的全微分,或,EXIT,在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的值是一个常数。其中 W 是力势函数， 是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作 Cl ，称为流线常数。,EXIT,伯努利积分,积分,Cl：流线常数,结论,这是水力学中普遍使用的方程。,伯努利积分可写为,或,对同一流线上任意两点 1 和 2 利用伯努利积分，即有,1,2,z,u,o,伯努利方程,o,流线,EXIT,四、重力场中的伯努利积分,Cl：流线常数,五.

8、 不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程）介绍,运动粘性流体存在切应力，压应力与作用面的方位有关，但三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关，它们的平均值定义为粘性流体的动压强。广义牛顿内摩擦定律假设应力与变形速率之间呈线性关系，在此基础上可建立不可压缩粘性流体运动微分方程 纳维-斯托克斯方程,EXIT,N-S方程,N-S方程矢量形式,时变惯性力,位变惯性力,质量力,压差力,粘性力,EXIT,拉普拉斯算子,对跟随其后的量求调和量,流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程简化为平衡方程,例,基本微分方程组,EXIT,微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本

9、控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p 和 u ，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。,六. 流体动力学定解问题和解法概述,忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法的讨论。,只有在极少数简单流动的情况下，N-S 方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对 N-S 方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。,各种简化都是在基本方程的基础上

10、进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。,EXIT,解法概述,是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。,流动共性,体现个性,是对非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。,EXIT,初始条件,边界条件,初始条件和边界条件,理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以 un =Un,液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。,实际（粘性）流体的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，所以 u=U,以上 u 和 U 分别表示紧邻着固壁

11、的流体质点与固壁上相应点的速度。un和Un分别表示它们沿固壁法向的分量。,*,EXIT,注,42 恒定总流的能量方程,EXIT,恒定元流的能量方程 恒定总流的能量方程 能量方程的应用举例 有能量输入或输出的能量方程,一. 恒定元流能量方程,伯努利积分,欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移作积分，力势函数是能量量纲，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。,伯努利方程的物理意义,*,EXIT,在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。,在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。,拉格朗日观点,

12、欧 拉 观 点,EXIT,伯努利积分,位置水头,压强水头,测压管水头,速度水头,总水头,伯努利方程的几何意义,伯努利积分各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。,*,EXIT,伯努利积分,伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。,伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称为能量方程。,总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。,伯努利方程可理解为：元流的任意两个过流断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过流断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过流断面的总机械能（即能量流量）也相等。,*,*,*,EXIT,将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。,水头线,理想流体恒定元流的总水头线是水平的。,EXIT,元流能量方程的应用举例,A,管,代 入,伯努利方程,假 设、管的存在不扰动原流场。,EXIT,管 测压管，开口方向与流速垂直。 管