科学计算与数学建模第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.5-求插值多项式的改进算法(2).pptx

1、2.5 求插值多项式的改进算法(2),2.5.2 三次样条插值M方法,1011121301,20,21,22,23,12,n1n 2n 3n 1n,aax ax2 ax3 , x x , x ,a,ax ax2 a,x3 , x x , x ,S ( x) , ,a,ax ax2 a,x3 , x x, x ,根据定义，三次样条插值函数S (x)的表达式为,101,2,12,n 1n,S ( x), x x , x ,S ( x), x x , x ,S ( x) ,S ( x), x x, x ,n 0n,式，故其二阶导数,必是线性函数（或常数），即为,M方法求三次样条插值函数的思想是先求

2、S (x) 再两次积分来求出 S(x) 。 因为在子区间xi1 , xi 上三次样条函数S (x) Si (x) 是不高于三次的多项,i,S ( x) S ( x),S ( x),插值区间上的分段线性函数，因此 S ( x) 更容易求出。,i,i,i1,i1i,x xix xi1,S (x) M,M, x x, x ,xi1 xixi xi1,事实上，若设三次样条插值函数S ( x) 在节点 xi 处的二阶导数 为S (xi ) Mi (i 0,1, n)，则由Lagrange插值即可得出,则有,记 hi xi xi1,i,i,i,i,i1,S (x) M,xi x Mx xi1 hh,3,3

3、,i,i,i,i i,6h,6h,i1,i1,ii1 i,(x x),(x x),连续积分两次得： S (x) M,M,Ax xB,(2.5.3),其中 Ai , Bi 为积分常数。 由三次样条插值函数S ( x) 满足插值条件及连续性可得 Si (xi1 ) yi1, Si (xi ) yi 解此关于 Ai , Bi 二元一次方程组得出,iii i,i,6h6h,1,i,(x x)3,Si (x) Mi1,i M i,（2.5.4）,i i,i,i,h2,h 6,i1,i1,i1 i,A yi yi1 1 (MM,), By1 M 6,将 Ai , Bi 代入（2.5.3），整理得,x xi

4、1 , xi , i 1, 2, n 综合上所述，由式（2.5.4）可知只要求出n 1个 Mi (i 0,1, n) 就可 逐个求出各小区间上三次样条插值函数S(x) 的表达式 Si (x) 。 这种通过求二阶导数 Mi (i 0,1, n) 从而求出三次样条插值函的 方法，称为M方法，也称为三弯矩方法 。,63,i,i,i i,i,i,h,h,i1,i1,y y,Sx 0,Mhi M,36,i,h,i 1i,i 1,i 1,yy,S ,x 0,i 1i hi 1 Mhi 1 M,由(2.5.4)式可分别求出,因此插值区间的内部节点,处必连续，由此条件,，亦即。,可得到i须满足,M (i 0,

5、1, n),如何求出（2.5.4）中的 Mi (i 0,1, n)，从而求出三次样条 插值函数？ 除了S (x)在整个插值区间连续条件外，推导（2.5.4）式的 过程已经用了三次样条插值函数定义所有条件。 由 S (x) 在插值区间内连续，且 S (x) 在每个子区间内是连续的，,x1 , x2 , xn1,i i,S (x 0) S (x 0),iii1i,S (x 0) S(x 0),S (x),6,i,i,hi,hi,hi1,i1,i1,hi1,hi1,yi1 yi,y y,M 2M,Mi1 ,hi ,hi ,hi1 hi1, ,i 1, 2, n 1,根据,ii,i1i,S (x 0)

6、 S,(x 0) 整理化简得,6,i,i,i,hi,hi 1,hi 1,hi 1,ii 1,hi ,1 ,hi ,hi ,若记 ,( f xi , xi 1 f xi 1 , xi ) 6 f xi 1 , xi , xi 1 ,gi h h,i 1, 2, n 1,（2.5.9）,则有i Mi1 2Mi i Mi1 gi i 1, 2, n 1,从而得出 ,n 1M n 2 2M n 1 n 1M n gn 1,1M 0 2M 1 1M 2 g1 2 M 1 2M 2 2 M 3 g2 ,（2.5.10）,n+1个未知数，n-1个方程,导数为：,在第(1)种边界条件下，由于S x0 yo和

7、S xn yn已知，可以得到 包含 Mi 的另外两个线性方程。由(2.5.4)知，S (x) 在子区间x0 , x1 上的,22,1,1,0,1,10,6,2h1,2h1,h1,x1 x,SxM,x x0 M,y1 y0h,MM,故由条件 Sx0 yo得,1,0,6,h1,yy,2M 0 M1 ,y,h1 ,0 ,同理，由条件 S xn yn，可得,6,n,n,hn,n1,yy,Mn1 2Mn ,y,hn , ,0,010,n,n,h1, x ,hn,n1n,g, 6 f x , x y, ,g, 6 yf x,同样记,从而在第(1)种边界条件下确定M 0 , M1, Mn 的线性方程组为,2

8、,g 0,M 0 , ,g1,M 1 , , ,gn 1 ,M n,gn, ,21 121 n 12n 1 M n 1 1,（2.5.13）, M1 , M2 , ,n2 Mn2 ,2Mn1 gn1 n1 yn,21 222 n22 n1,g1 1 y0g2 gn2,（2.5.15）,n+1个方程的方程组,n-1个方程的方程组,已知，,在第(2)种边界条件下，由M0 S x0 y0，,nnn,MS xy,由(2.5.10)即可直接得出确定 M0 , M1, Mn 的线性方程组为,即得,在第(3)种边界条件下，由 S x0 0S xn 0，Sx0 0Sxn 0,11,01,0,1,0,2,6,n

9、,n,n,2h1 6,hn,nn1n,n1,hy yhhy yh,M,MMM,M M,0,n，,MM,注意到 y0 yn ，整理可得,1,n,n,h1hn,hn,n1,n1,6y1 y0yy,MM 2M,h1 hnh1 hn,h1 hn h1, ,01,6,n,nn,hnh1, x),若记 ,n 1n,1 ,gn ,( f x , x f x,hn h1hn h1hn h1,则第(3)种边界条件方程可简写成 n M1 n Mn1 2Mn gn,01,1,6,n, x ),n1n,n1n1n,n1n,g,( f x , x f x,hn h1 6,( f x , (b a) x f x, x )

10、 6 f x, x , (b a) x ,hn h1,从而在第(3)种边界条件下确定 M 0 , M1, Mn 的线性方程组为,（2.5.18）,2,2,2,M 1 g1 , M g, , , n,M n,gn,21 2 n 12n 1 M n 1 gn 1 n2,2 ,其中,n个方程的方程组,由于方程组（2.5.13）、（2.5.15）和（2.5.18）的系数矩阵都 是严格对角占优的，所以在第(1)、(2)和(3)种边界条件下的三次 样条插值函数存在唯一。,定理2.5.1 对于给定的函数表,b，则满足第（1）或第（2）或第（3）,a x0 x1 xn1 xn,种边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的。 求三次样条插值函数的M方法小结 (1) M方法即是先求S (x) 再两次积分求出 S (x) 。,33,2,6,6,i,i i,i,i,i,i,i i,i,i,h,6h,6h,h,i1,i