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1、2.4基本不等式及其应用（1）,主讲人:毛永强,课前学习,如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国汉代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,自主学习,1探究图形中的不等关系,在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为_,这样，4个直角三角形的面积的和是 _，正方形的面积为 _,由于4个直角三角形的面积不大于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：,探究图形变化过程,当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,2得到

2、结论：,3思考：你能给出它的证明吗？,证明：因为,问题1：对任意正数 比较 与 的大小,探究问题,问题2：,已知x、y都是正数，求证： 2；,分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.,证明：x，y都是正数, 0， 0,=2,（当且仅当x=y时，式中取等号。）,变式一.已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件。,变式训练,变式二.已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件。,变式三.已知 ，比较 与2的大小。,谢谢大家,备用x，y都是正数，证(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,证明：x，y都是正数, xy2 0, x20， y20

3、，x30，y30,x2y22 0,x3y32 0,(xy)(x2y2)(x3y3),x3y3,即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,2 2 2,（当且仅当x=y时，式中取等号）,（当且仅当x=y时，式中取等号）,4.随堂练习,1.已知a、b、c都是正数，求证 (ab)(bc)(ca)abc,解：a，b，c都是正数,bc2 0,ca2 0,(ab)(bc)(ca),即(ab)(bc)(ca)abc.,=8abc,ab2 0,2 2 2,(当且仅当a=b=c时，上式取等号）,本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均( )， 几何平均数（ ）及它们的关系（ ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形

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