第4章+抽样与抽样分布.ppt

1、第 4 章 抽样与抽样分布,4.0 抽样中的几个基本概念 4.1 常用的抽样方法 4.2 抽样分布 4.3 中心极限定理的应用,4.0 抽样中的几个基本概念 例 其养猪厂共有存栏肉猪10000头，现欲了解这批肉猪平均每头毛重，如果将每头肉猪过称去获取数据将是不合算的。我们可以按照“等机会原则” 从中抽出100头称重量，计算这100头的平均每头毛重，以达到我们期望的目的。 本例中存栏肉猪10000头组成的总体，则称为全及总体，它是指在统计抽样中所要了解的研究对象整体，又称为母体，当我确定了研究目标时，它具有惟一性。一般全及总体的单位总数用N表示，称作总体容量。,本例中所抽出的100头肉猪组成的总

2、体，则称为样本总体，它是指在统计抽样中按照“等机会原则” 从全及总体的N(10000)中抽出的部分单位(每个单位称作样本单位)所组成的整体，简称样本，又称子样。一般样本总体的单位总数用n(100)表示，称作样本容量。样本总体则不具惟一性，它的可能个数与N、n及抽样方法有关。通常n30称为大样本，在抽样调查中取大或小样本会直接影响到抽样分布的特征。,例 其养猪厂共有存栏肉猪10000头，现欲了解这批肉猪平均每头毛重(设为 ，)如果将每头肉猪过称去获取数据将是不合算的。我们可以按照“等机会原则” 从中抽出100头称重量，计算这100头的平均每头毛重(95.5kg)，以达到我们期望的目的。,1、全及

3、总体和样本 全及总体：研究对象全体，又称母体。容量用N表示。具备惟一性。 样本总体：按随机原则从总体中抽出的部分单位的全体，简 称样本，被抽出的每个单位称样本单位。容量用n表示。样本不具惟一性。,2、总体参数和样本统计量 根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体某数量特征的综合指标，由于全及总体唯一确定，故称总体参数。 如上例中的 根据样本总体各单位变量值计算的反映样本总体某数量特征的综合指标，由于样本总体不具惟一性，故称为样本统计量，它是一个随机变量。 如上例中的100头的平均每头毛重(95.5kg),3、放回抽样与不放回抽样 从全及总体中抽取样本有两种方法：放回抽样和不放回抽样。,放回抽

4、样，抽样安排-对每次被抽到的单位经登记后再放回总体，重新参与下一次抽选的抽样方法。在每次的抽取中样本单位被抽中的概率都等于统计中称这样的抽样为相互独立的试验。,不放回抽样，抽样安排-对被抽到的单位登记后不再放回总体的抽样方法。不放回抽样与放回抽样比较，每次抽样的条件是不同的，前一次的抽取结果会对后一次的抽取产生影响，统计中称这样的抽样为相互不独立的试验。 注意：二种方法都遵循了“等机会原则”,4.1 常用的抽样方法,一、简单随机抽样 二、分层抽样 三、系统抽样 四、整群抽样,常用抽样方法,简单随机抽样,分层抽样,整群抽样,系统抽样,概率抽样,非概率抽样,常用抽样方式,概率抽样(probabil

5、ity sampling),根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样 特点 按一定的概率以随机原则抽取样本 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,简单随机抽样(simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 局限性 当N很大时，不易构造抽样框 抽

6、出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率,为了便于抽取样本单位，一般在明确抽样框的条件下，对总体的每个单位都要编号，然后用抽签式或利用随机数字表进行抽取。,例如：N=500 n=10 编码从1-500号 在随机数表中随意点二个数字，得到4行，34列。则选取的号码从这个被选中的数开始，由于500是个三位数，则小于500的连续三位数即为中选号码。见表中所示。,分层抽样(stratified sampling),将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本 优点 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度 组织实施调

7、查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,系统抽样(systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位 优点：操作简便，可提高估计的精度 缺点：对估计量方差的估计比较困难,整群抽样(cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查 特点 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节

8、省调查费用，方便调查的实施 缺点是估计的精度较差,4.2 抽样分布与中心极限定理,一、抽样分布的概念 二、样本均值抽样分布的形式 三、样本均值抽样分布的特征 四、中心极限定理,抽样分布的概念,抽样和抽样分布,考察一个N=6的总体(6点的骰子)，其原始分布属于均匀分布：,从这个总体中有放回地抽取n=2的样本(二个骰子同时抛点数)，所有可能的样本总数为 Nn=36，假定要通过样本估计总体的均值，则所有36个可能结果为：,抽样和抽样分布,抽样和抽样分布,样本均值的分布整理成：,用图示反映其分布状况如：,第六章 抽样和抽样分布,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计

9、量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),抽样分布的形成过程 (sampling distribution),(一) 分布 设x1，x2，xn是独立同分布的随机变量，且每个随机变量都服从标准正态分布，即xiN(0，1)，则随机变量 的分布称作自由度为n的 分布，记为,(一) 分布,(一) 分布 分布具有如下性质： 若Y ，则E(Y)=n，V(Y)=2n 具有可加性。若Y

10、1,Y2相互独立， Y1 ，Y2 则 Y1+Y2 当 ， 分布趋近于正态分布即 N(n,2n),(二)t 分布 设随机变量X与Y相互独立，而且, 则称随机变量 服从自由度为n的t分布，记作 t(n),(二)t 分布,(二)t 分布 t分布具有如下性质： t分布的均值E(t)=0，方差 t分布密度函数是关于t=0对称的，故有t(n)=-t1-(n)。 当 时，t分布趋近于标准正态分布。因此，一般当n30时，t分布可用标准正态分布近似。,(三)F分布 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从自由度为n1、n2的 分布，则 服从第一自由度为nl，第二自由度为n2的F分布，记作FF (nl，n2)。 F分

11、布不以正态分布为其极限分布，它总是一个正偏分布。,(三)F分布,样本均值的抽样分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,总体分布,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均

12、值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值抽样分布的形式中心极限定理,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),x

13、 的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,正态分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值抽样分布的特征,样本均值的数学期望 样本均值的方差 重复抽样 不重复抽样,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,样本比例的抽样分布,总体中具有某种特征的单位占全部单位的比例称作总体比例P；样本中具有此种特征的单位占全部样本单位的比例称作样本比例p。 当从总体中抽出一个容量为n的样本时，样本中具有某种特

14、征的单位数X服从二项分布，即有XB(n，P)。且有 E(X)=nP V(X)=nP(1-P) 因而样本比例p=Xn也服从二项分布，且有,样本比例的抽样分布,的抽样分布 样本比例 的所有可能取值的概率分布,一、 的期望值和标准差,P-总体比例,1、期望,2、标准差,的标准差又称比例的标准误,计算式如下：,根据中心极限定理，当样本容量n很大时，可视 的分布为正态分布。条件：,定理：设p是具有期望值为P ，方差为 P(1-P) 的任意总体，则样本比例 的抽样分布，将随着n的增大而趋于正态分布，分布形式（参数）为 N （ ）-中心极限定理,注：研究样本比例的抽样分布时，可以把它作为平均数的特例来进行分

15、析。,样本方差的抽样分布,样本方差的抽样分布,在重复选取容量为的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即,样本方差的抽样分布,根据2分布的定义有：,则,卡方 (c2) 分布,样本统计量,样本均值,样本比率,样本方差,正态总体或非 正态总体大样本,非正态总体 小样本,大样本,正态分布,正态分布,t分布,x2分布,样本统计量的抽样分布,小结,(n-1)s2/2而非s2本身,小样本为二项分布,两个样本统计量的抽样分布,两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差 方差为各自的方差之和,两个样本均值之差的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,两个总体都服从二项分布 分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似 分布的数学期望为 方差为各自的方差之和,两个样本比例之差的抽样分布,两个样本