立体几何中的向量方法.ppt

1、,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,立体几何中的向量方法(),求空间角与距离,忆 一 忆 知 识 要 点,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出： 设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量, 则求法向量的方程组为,2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1, l2的方向向量分别为m1, m2, 则l1与l2所成的角 满足cos |cosm1, m2|. (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m, n, 则直线 l 与平面所成角 满足sin|cosm, n|. (3)求

2、二面角的大小 1如图, AB, CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小 2如图, n1, n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小 满足cos cosn1, n2或cosn1, n2.,忆 一 忆 知 识 要 点,3.点面距的求法 如图,设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量， 则B到平面的距离d,求异面直线所成的角,【例1】在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, 已知AB4, AD3, AA12. E, F分别是线段 AB, BC上的点, 且 EBBF1. 求直线EC1与FD1所成的角的余弦值,(1)本题易于建立空间直角坐标系,把EC1与FD1所成角看

3、作向量与的夹角,用向量法求解 (2)平移线段C1E让C1与D1重合,转化为平面角,放到三角形中，用几何法求解,本题可以从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法作证算;应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键.平移线段法,或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC,BD的夹角的余弦为,如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC . OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)证明:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成角的大小.,求直线与平面所成的角,【例2】如图所示,直三棱柱ABCA1B

4、1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB90,侧棱AA12, D, E分别是CC1, A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. 求A1B与平面ABD所成角的正弦值,平面的法向量,有时需要求出,有时题目本身就有,要准确理解题意,把法向量找出来.如本题中由于E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,则EG平面ABD, 即为平面ABD的法向量.,如图所示, 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, AB4, AA1 , 点D是BC的中点, 点E在AC上, 且DEA1E. (1)证明：平面A1DE平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值,(1)证明:由正三棱柱ABCA1

5、B1C1的性质知, AA1平面ABC. 又DE平面ABC，所以DEAA1. 又DEA1E，AA1A1EA1， 所以DE平面ACC1A1. 又DE平面A1DE, 故平面A1DE平面ACC1A1.,求 二 面 角,【例3】(2011辽宁)如图, 四边形ABCD为正方形, PD平面ABCD, PDQA, QAAB PD. (1)证明:平面PQC平面DCQ; (2)求二面角QBPC的余弦值.,注意到DA, DP, DC两两垂直, 因而可考虑建立空间直角坐标系求解.,求 二 面 角,【例3】(2011辽宁)如图, 四边形ABCD为正方形, PD平面ABCD, PDQA, QAAB1/2PD. (1)证明

6、:平面PQC平面DCQ; (2)求二面角QBPC的余弦值.,求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,如图, 在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中, ADBC, ABC90, PA平面ABCD, PA3, AD2, AB2, BC6. (1)求证:BD平面PAC； (2)求二面角PBDA的大小,求 空 间 距 离,【例4】在三棱锥SABC中,ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC平 面ABC, SASC , M, N分别为 AB, SB的中点,如图所示.求点B到平 面CMN的距

7、离.,求 空 间 距 离,【例4】在三棱锥SABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC, SA SC , M, N分别为AB, SB 的中点, 如图所示. 求点 B 到平 面CMN的距离.,解:取CD中点O, 连接OB, OM, 则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD， 则MO平面BCD.,取O为原点, 直线OC, BO, OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图,(12分)如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1, AB2, AA11,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30, AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点 (1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余

8、弦值； (2)求平面 BDF 与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值.,11,利用空间向量求空间角,解:以A为坐标原点, 以AB, AD, AA1所在直线分别为x 轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系(如图所示). 2分,第一步：建立空间直角坐标系 第二步：确定点的坐标 第三步：求向量(直线的方向向量、平面 的法向量)坐标 第四步：计算向量的夹角(或函数值) 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角 第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答 题规范,11,利用空间向量求空间角,11,利用空间向量求空间角,(12分)如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1, AB2, AA11,直线BD与平面AA1

9、B1B所成的角为30, AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点 (1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值； (2)求面 BDF 与面AA1B所成二面角的余弦值.,(1)利用向量求角是高考的热点,几乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用. (2)本题易错点是学生在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错,1.若利用向量求角, 各类角都可以转化为向量的夹角来运算 (1)求两异面直线a, b的夹角, 须求出它们的方向向量a, b的夹角, 则cos |cosa, b|. (2)求直线l与平面所成

10、的角 可先求出平面的法向量 n与直线 l 的方向向量 a 的夹角.则sin |cosn，a|. (3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1, n2所成的角,则n1, n2或 n1, n2. 2.求点到平面的距离, 若用向量知识, 则离不开以该点为端点的平面的斜线段,1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同 2.求点到平面的距离，有时利用等积法求解可能更方便,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,7. 如图所示，已知点P在正方体ABCDAB

11、CD的对角线BD上, PDA60. (1)求DP与CC所成角的大小； (2)求DP与平面AADD所成角的大小,连接BD, BD, 在平面BBDD中,延长DP交BD于H.,三、解答题,8.如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH分别与另外三条侧棱交于F, G, H,已知底面ABCD为直角梯形,ADBC, ABAD，BCD135. (1)求异面直线AF，BG所成的角的大小； (2)设平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为,求cos.,三、解答题,三、解答题,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,7.如图

12、所示, 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中, E, F分别为A1D1和CC1的中点 (1)求证：EF平面ACD1； (2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值； (3)在棱BB1上是否存在一点P,使得二面角PACB的大小为30? 若存在, 求出BP的长, 若不存在, 请说明理由,三、解答题,故异面直线EF与AB所成角的余弦值为 .,三、解答题,三、解答题,8.如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角, ABCD, ADCD2AB, E, F分别为PC,CD的中点. (1)求证：AB平面BEF； (2)设PAkAB, 若平面EBD与平面BDC的夹角大于45, 求k的取值

13、范围,(1)证明: 由已知 DFAB, AB CDDF,且DAB为直角, 故ABFD是矩形， 从而ABBF. 又PA底面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD. 因为ABAD，故AB平面PAD， 所以ABPD. 在PDC中, E, F分别是PC, CD的中点, EFPD, 所以ABEF. 又BFEFF， 所以AB平面BEF.,三、解答题,三、解答题,点、线、面之间的位置关系,空间几何体,空间几何体的结构,空间几何体的体积、表面积,柱、锥、台、球的结构特征,三视图与直观图的画法,法向量法,注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,将二面角转化为二面

14、角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.,D,C,B,A,方向向量法：,设二面角-l-的大小为，其中,l,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,作二面角的平面角的常用方法,1.定义法,3.垂面法,2. 垂线法,求点到平面的距离,定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离.即过这个点到平面的垂线段的长度.,A,B,O,方法2:等体积法求距离.,方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度.,点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n , 过点P作平面的

15、垂线PO，记PA和平面所成的角为. 则点P到平面的距离,求点到平面的距离,方法3:向量法,空间的角,异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角,空间的距离,点到平面的距离,直线与平面所成的距离,平行平面之间的距离,相互之间的转化,直线与平面所成的角,异面直线所成的角,定义法,法向量法,方向向量法,则D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2)，,(1)正方形ABCD，OCDB.,PD平面ABCD,OC平面ABCD，,PDOC.,CPO为PC与平面PBD所成的角.,所以PC与平面PBD所成的角为300.,解: 如图建立空间

16、直角坐标系Dxyz,PD=AD=2,又DBPD=D, OC平面PBD.,(2)设平面PAC的法向量为,令 x=1, 则 y=1, z=1，,所以D到平面PAC的距离,(3) 假设在PB上存在E点，使PC平面ADE，,所以存在E点且E为PB的中点时PC平面ADE.,【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.,由 PCAE, PCDE, 得,此时E(1,1,1).,A,C,D,E,B,例2,解：(),设平面ADE的法向量为,所以,，,设平面ABE的法向量为,（） 由（）得，,解:,求二面角P-BC-D的余弦值大小；,所以二面角P-BC-D的余弦值大小是,求点D到平面PBC的距离.,求二面角P

17、-BC-D的余弦值大小；,所以二面角P-BC-D的余弦值是,因为二面角P-BC-D的大小是锐角,求点D到平面PBC的距离.,例4.,x,y,z,H,A,D,C,B,M,解：（）该几何体的直观图如图所示.3分,设面PBA的法向量为,令x=1得y=1，z=1.,证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE,AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点,又D是AB的中点，,在ABC1中，DEBC1.,BC1平面CA1D.,又DE平面CA1D，,BC1平面CA1D，,E,E,(1)证法二：,(1)证法三：,A1,B1,C1,A,B,C,D,D1,又AA1ABA，,CD平面AA1B1B.,又CD平面CA1D，

18、,平面CA1D平面AA1B1B.,又AA1平面ABC，,CD平面ABC，,AA1CD.,证明：(2)ACBC，,D为AB的中点，,在ABC中，ABCD.,【例8】如右图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：ADPB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F ,使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,解：如右图(1)取AD的中点G，连结PG，BG，BD. PAD为等边三角形，PGAD.,又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD.,在ABD中,DAB60, ADAB， ABD为等边三角形,BGAD.

19、,ADPB.,AD平面PBG.,又PB平面PBG，,G,(2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点， 在PGC中作HFPG,交PC于F点,连结DF.,平面DHF平面ABCD., PG平面ABCD.,FH平面ABCD.,又 FH 平面DHF，,即F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD.,H是CG的中点，,F是PC的中点.,今日作业,则D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2)，,(1)正方形ABCD，OCDB.,PD平面ABCD,OC平面ABCD，,PDOC.,CPO为PC与平面PBD所成的角.,所以PC与平面PBD所成的角为300.,解: 如图建立空间直角坐标系Dxyz,PD=AD=2,又DBPD=D, OC平面PBD.,(2)设平面PAC的法向量为,令 x=1, 则 y=1, z=1，,所以 D 到平面PAC的距离,注：可用等体积法,(3) 假设在PB上存在E点