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第二节 向量组的线性相关性,一、线性相关与线性无关概念,二、小结,1.定义4,一、线性相关、线性无关,则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关,1) A含一个向量时:a=0,则A线性相关, a 0, A线性无关,3) A含三个向量时:,2) A含两个向量时:,定理向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,2.等价定义,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,注: A 线性相关未必 A 中任何向量可由其余向量线性表示.,a=(1,1,0),b=(-1,-1,0),c=(0,0,1),则a,b,c 线性相关,但c 不可由a,b线性表示.,3.几个等价命题:,定理4,推论,解,例,解,例,分析,例: t为何值时,向量组(1,2,t+1),(2,1,0),(1,1,1) 线性相关?,证,定理5,说明,证明,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的

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