数字信号处理第三章课件

1、第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计,1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器,2 常用模拟低通滤波器特性,3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换,4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换,0 概述,概 述,许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器。数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。,数字滤波器,数字滤波器的数学描述：,1) 差分方程,2) 系统函数,递归系统 IIR 非递归系统 FIR,按频率特性分： 高通 低通 带通 带阻

2、,按是否有反馈分：,数字滤波器的设计步骤：,1） 按照实际需要确定滤波器的性能要求。,3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括： 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等； 选择合适的字长和有效数字的处理方法等,2） 用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求， 即确定系数ai、bi或零极ci、di或求 h(n) 的表达式。,1）先设计一个合适的模拟滤波器H(s)，然后变换成满足预定指标的数字滤波器H(z)。,设计方法：,a) 确定一种最优准则，使设计出的实际频率响应的幅度特性 与所要求的理想频率响应 的均方误差最小，,b)在此

3、最佳准则下，求滤波的系数 和 通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到 满足要求为止。,此外还有其他多种误差最小准则。,2）最优化设计方法。,回章首,3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器,Ha(s) - H（z），设计一个由s平面到z平面的变换. 这种变换应遵循两个基本原则： 1）H（z）的频响能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映射到z平面的单位圆上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即s平面的左半平面 Res0 应映射到z平面的单位圆以内|z|1。,变换方法主要有两种：脉冲响应不变法和双线性变换法,脉冲响应不变法,双线性变换法,回章首,ha(t) Ha(s),1

4、脉冲响应不变法,使数字滤波器能模仿模拟滤波的时域特性,脉冲响应不变法使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值,即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。,h(n) H(z),如何计算 H(z): 设模拟系统函数为：,拉氏反变换为：,采样得序列h（n）, s平面和z平面的映射关系,采样序列的拉氏变换：,对比得：s平面与z平面的映射关系,理想采样序列的z变换：,稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 si 都在s左半平 面，即 Resi0 , 那么变换后H(z)的极点 ，也都在单位圆以内 即 因此数字滤波器保持稳定。,由,s平面上每一条宽为 的横带部

5、分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。,s平面,z平面,频谱混叠：,数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓,如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内，有,但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠,数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响,数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真越小，这时，采用脉冲响应不变法设计

6、的数字滤波器才能得到良好的效果。,例 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。,模拟滤波器的频率响应为:,数字滤波器的频率响应为:,显然 与采样间隔T有关, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,小结,1) 频率变换是线性的: ，与是线性关系。,如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。,2) 在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。,3) 如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(z)也是稳定的。,4) 缺点：存

7、在频谱混叠效应，只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。,回节首,2 双线性变换法,脉冲响应不变法的主要缺点：产生频谱混叠。 原因：从s平面到z平面的变换zesT是多值对应。,建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。,第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；,第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。,1） 原理,修正：,虚轴压缩通过正切变换实现：,C：待定常数。,扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：,再将 s1 平面通过标准变换关系映射到z平面，即令,通常取C=2/T,1,当 z = ej,其中,s平面与z平面的单

8、值映射关系：,双线性换法的主要优点：s平面与z平面单值对应，s平面的虚轴(整个j)对应于z平面单位圆，s平面的=0处对应于z平面的=0处，=处对应于z平面的=处，即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处（= ），所以双线性变换不存在混迭效应。,s平面的虚轴对应于z平面的单位圆,验证是否符合从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：, 当 时，得：,满足第一个要求, 即s平面的虚轴(整个j)对应于z平面 单位圆,双线性变换的频率非线性关系,即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。满足第二个要求.,时,小结,1) 双线

9、性变换的主要优点：s平面与z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个j轴单值地对应于单位圆一周，关系式为：,双线性变换的频率非线性关系,消除了脉冲响应不变法频谱混叠的问题。,a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。,b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。,c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。,2） 双线性变换缺点：,与成非线性关系，导致：,例如，模拟微分器的幅 度与频率是直线关系，通过双线性变换后，不可能得到数字微分器,虽然双线性变换有这样的缺点，

10、但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。,预畸变：,将所要设计的数字滤波器临界频率点 ，变换成对应的模拟域频率 利用此 设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是 。,将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。,利用关系式：,双线性变换时频率的预畸,) 计算H(Z)

11、 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程:,频响,这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。,回章首,3.2 常用模拟低通滤波器特性,0 一般方法,1 巴特沃思（Butterworth）滤波器,2 切比雪夫（Chebyshev）滤波器,3 椭圆（Elliptic）滤波器,回章首,0 一般方法,对实际的因果系统，,系统的冲激响应ha(t) 是实函数,频响幅度平方函数为,由

12、 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j,问题：由A(-S2)Ha(S) 对于给定的A(-S2)，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴。选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。 为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。,回节首,1）巴特沃思滤波器 (Butterworth 滤波器) (巴特沃思逼近),特点：具有通带内最大平坦的幅度特性，且随f，幅频特性 单调。,其幅度平方函数：,N为滤波器阶数,过渡带为零， 阻带|H(j)|=0 通带内幅度|H

13、(j)|=常数.， H(j)的相位是线性的。,理想滤波器,图中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。,通带内，分母/c1, ( /c)2N1，A(2)1。,过渡带和阻带，/c1， ( /c)2N 1, 增加， A(2)快速减小。,=c, ， 幅度衰减为 ，相当于3dB衰减点。,幅度平方函数的极点：,令分母为零，得,有2N个极点，均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。 N=3阶BF振幅平方函数的极点分布,三阶A(S2)的极点分布,考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：,系统函数为：,令 ，得归一化的三阶BF：,如果要还原的

14、话，则有,回节首,2 切比雪夫（Chebyshev）滤波器(切比雪夫多项式逼近),巴特沃思滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，在靠近截止频率 处，幅度下降很多，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。,振幅平方函数为,有效通带截止频率 与通带波纹有关的参量，大 ，波纹大。 0 1,切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃思滤波器要小。还可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。,VN（x） N阶切比雪夫多项式，定义为,如图, 通带内 ， 变化范围 1,c，随/c

15、， 0(迅速趋于零),当 =0时，,N为偶数，,N为奇数，,给定通带波纹值分贝数 后，可求 。,有关参数的确定:,(2)、通带波纹为,(1)、通带截止频率c ，预先给定,(3)、阶数N： 由阻带的边界条件确定。（ 、A事先给定）,回节首,3 椭圆（Elliptic）滤波器（考尔滤波器）,特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器具有更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。,其振幅平方函数为,RN（，L）：雅可比椭圆函数,L：表示波纹性质的参量,在归一化通带内（-11）， 在（0，1）间 振荡，而超过L后， 在 间振荡。,5阶（ N=5）雅可比椭

16、圆函数 的特性曲线,滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。,典型的椭园滤波器振幅平方函数,图中和A的定义 同切比雪夫滤波器,椭圆滤波器的振幅平方函数,当c、r、和A确定后，阶次N的确定方法为：,式中,为第一类完全椭圆积分,三种模拟低通滤波器的设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。,一般情况下，在相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高。,回节首,3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换,模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型，设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。,模拟归一化 原型,模拟低通、高通 带通、带阻,数字低通、高 通带通

17、、带阻,模拟-模拟 频带变换,数字化,也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计,1 低通变换,2 高通变换,3 带通变换,4 带阻变换,回章首,4种原型变换,一低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。 2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。 3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数）,解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按c =2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频

18、率c 归一化的三阶巴特沃思滤波器的传递函数为（可查表）,例 设采样周期 , 设计一个三阶巴特沃思LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。,以 代替其归一化频率，得：,分解为部分分式,极点与系数,对应的数字滤波器,可见，H（z）与采样周期T有关，T越小，H（z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（z）后，再乘以因子T，使H（z）只与 有关，即只与fc和fs的相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。,b. 双线性变换法（规范化设计方法）,（一）确定数字域临界频率,（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟

19、滤波器临界频率,(三 ) 归一化的三阶巴特沃思模拟器传递函数,（四）将双线性变换关系代入，求H(z)。,以 取代s得,三阶Butterworth 数字滤波器的频响,fs/2,对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混叠,且没有传输零点。,回节首,二.高通变换,频响映射关系：,低通频率,高通频率1,0,-,0,扩展,不失一般性，取,即：将低通变换式的s换为1/s就得到高通滤波器变换式,由于倒数关系不改

20、变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。,1.0,1.0,0,通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,高通原型变换,应当明确： 所谓DF高通，并不是高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。,采用 ,在确定模拟原型预畸的临界频率时，,不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义,例 设计一数字高通滤波器，它的通带为400500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，

21、采样频率为1000Hz。,解,（1）数字滤波器性能指标：,通带边界频率,阻带边界频率,（2）利用切比雪夫滤波器，对对应的模拟低通滤波器频率进行预畸,（3）为了计算方便，将c、r及s对T/2进行归一化,( 4 ) 确定最小阶数 N,其中,2为阻带衰减分贝数，19dB,解得 N=2.98, 取N=3,（5） 查表 得3阶归一化切比雪夫低通滤波器的系统函数为,（6）用 代替 得通带边界频率为 的模拟低通滤波器， 其中,（7） 将 代入上式即得所需的高通数字滤波器,回节首,三带通变换,如图 ,如果数字频域上带通的中心频率为 ，则带通变换的目的是将:,模拟低通,映射成,映射成,即将s平面的原点映射到 ，

22、而将 点映射到 满足这一要求的双线性变换为：,当 时,带通变换的频率关系,图中 点正好映射在 上，而 映射在 ， 两端，因此满足带通变换的要求。,稳定性：,由于上式完全是实数，所以是映射在s平面 轴上。,这种变换关系是稳定，可用它来完成带通的变换,s左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外,设,设计方法：,设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率 作为设计要求。,为了应用以上变换，首先要将上下边带参数 换算成中心频率 及模拟低通截止频率,由于,又 同时也就是模拟低通的截止频率,有了这两个参数就可完成全部计算。,例 设计一巴特沃思带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz, f

23、1=110kHz，在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。采样 fs=400kHz。,解,（1） 确定数字频率,（2） 求中心频率：,3dB,10dB,f2,f1 f3,H(ej),f,带通滤波器设计,（3）求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率 ：,（4） 采用巴特沃思设计，确定模拟低通滤波器的阶数 N,取 N=2,（5） 查表得2 阶的归一化低通滤波器的系统函数,（6） 上式中用 代替 便得到通带边界频率为 的低通滤波器的 系统函数,（7） 代入 得带通数字滤波器的系统函数H(z),回节首,四带阻变换,把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。,例题见教材,回节首,模拟原型滤波器数据设计表格,3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换,频率变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行,DF低通原型函数,各型DF的 H（z）,这种变换是由 所在的u平面到H（z）所在的z平面的一个映射变换。,映射关系用函数g表示,DF的原型变换可表为,1) 是 的有理函数。,3） 必须是全通函数。 z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以 分别表示u平面和z平面的单位圆，则,2）希