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文档简介

1、“材料的结构，材料的物理” 固体物理学 陆栋 蒋平 徐至中 编著 072,7.2 近自由电子近似（微扰法）,7.2.1 一维周期势作为微扰,由于V(x)为周期函数，可展开成傅立叶级数,为简单计，令,由于势场为实数，,代入薛定谔方程（7.2.1）式，方程化为,可得势场的傅立叶分量Vn满足,其中 为一维电子的动能算符,于是上式化为,其本征函数就是自由电子的波函数,波矢 k 满足自由电子的色散关系,而周期性边界条件为,限制 k 取值为,式（7.2.8）中的,将其看作微扰，可得一级微扰能量,由于除 n=0 外,因此必须计及二级微扰。二级微扰能量,注意,由（7.2.11）式与 7.2.16）式可知，除非

2、,于是（7.2.18）式中对k的累加可转化成对倒格矢的累加,由此得能量,而波函数为,一级微扰波函数为,将上式与（7.1.34）比较可知，如将上式写成一维布洛赫函数的形式,则函数,明显具有晶格周期性,7.2.2 能隙由来,当,即,时，（7.2.22）与 （7.2.25）发散。因此,时，应以,作为零级波函数,将（7.2.8）式中的波函数近似代入（7.2.32）式中,这样得到关于系数A和B的线性齐次方程组,由波函数不应为零得到如下关于电子能量的久期方程,由此得,将（7.2.31）和（7.2.33）式代入上式，并令,可将电子能量写成,上式中的第二项进行泰勒展开，得,能隙如图7.1所示,7.2图为扩展区

3、表示法,出现能量不连续的kn/a值正是一维布里渊区的边界，对应于禁带的出现，而禁带的宽度为傅立叶分量绝对值的两倍，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果。,7.2.3 三维情况（自学）,现在我们可以将结果推广到三维情况。将周期场 V(r) 展开成傅立叶级数，并取平均场 V0=0 可得,类似于（7.2.8）式将（7.1.15）式写成,一级微扰能量为,其中自由电子波函数为,由于除非Kh=0，否则与一维情况一样，必须计及二级微扰,由此得到非简并微扰适用的三维近自由电子近似的电子能量为,波函数,在布里渊区边界处非简并微扰理论失效。,图7.3可以清楚的看到，如 MN为一垂直于纸面的布里渊区边界，则电子在其上的波矢必满足上式。,由图7.3还可以看到，当k满足（7.2.52）式时,对于布拉维格子来说，如图7.4所示，若一晶面与Kh 垂直，则改晶面族的面间距为,对于复式格子，晶体可以看作t个子晶格的组合，晶体势也可以看作各个子晶格晶体势的叠加。第j个子晶格的晶体势可以如下展开成傅立

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