七年级三角形难题突破解析

1、七年级三角形难题突破一解答题（共19小题） 1（2015黄冈模拟）已知：如图，在ABC、ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD求证：（1）BADCAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明 2（2015武汉模拟）如图，在ABC与ABD中，BC=BD，ABC=ABD点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF求证：AE=AF 3（2015春铜陵校级月考）如图，已知BD为ABC的中线，CEBD于E，AFBD于F于是小白说：“BE+BF=2BD”你认为他的判断对吗？为什么？ 4（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（

2、即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证

3、：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若，则ABCDEF 5（2014泰安）如图，ABC=90，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由 6（2014苏州）如图，在RtABC中，A

4、CB=90，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF（1）求证：BCDFCE；（2）若EFCD，求BDC的度数 7（2014自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小 8（2014重庆）如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN 9

5、（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相

6、等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 10（2014内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P（1）求证：ABMBCN；（2）求APN的度数 11（2014福田区校级模拟）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中DCE=90，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）若AB=3

7、cm，则BE=cm（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由 12（2014汕尾校级模拟）如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE 13（2014长春模拟）探索与证明：（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得ADB=60，AEC=60通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使ADB=120，AEC=120通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足

8、的数量关系，并予以证明 14（2014怀柔区一模）问题：在ABC中，AB=AC，A=100，BD为B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC=度（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明也可以选用其它的方法证明你的猜想 15（2014市中区一模）如图，RtABC中

9、，ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F求证：BECD 16（2014江西模拟）在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CEAD于E，BFAC交CE的延长线于F（1）求证：ACDCBF；（2）求证：AB垂直平分DF 17（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明

10、；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 18（2009本溪）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE=度；（2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 19（2012青海）请阅读，完成证明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究

11、发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且DON=度（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且EON=度（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现：七年级三角形难题突破参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1（2015黄冈模拟）已知：

12、如图，在ABC、ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD求证：（1）BADCAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；探究型分析：要证（1）BADCAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角BAD=CAE，而由BAC=DAE=90很易证得（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力要证BDCE，需证BDE=90，需证ADB+ADE=90可由直角三角形提供解答：（1）证明：BAC=DAE=90BAC+CAD=DAE+CAD即BAD=CAE，又A

13、B=AC，AD=AE，BADCAE（SAS）（2）BD、CE特殊位置关系为BDCE证明如下：由（1）知BADCAE，ADB=EDAE=90，E+ADE=90ADB+ADE=90即BDE=90BD、CE特殊位置关系为BDCE点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可做题时，有时需要先猜后证2（2015武汉模拟）如图，在ABC与ABD中，BC=BD，ABC=ABD点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF求证：AE=AF考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据BC=BD，以及中点的定义证得BE=BF，然后利用S

14、AS即可证得ABEABF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得解答：证明：BC=BD，点E为BC中点，点F为BD中点，BE=BF，在ABE和ABF中，ABEABF（SAS），AE=AF点评：本题考查全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法就是转化为证明三角形全等3（2015春铜陵校级月考）如图，已知BD为ABC的中线，CEBD于E，AFBD于F于是小白说：“BE+BF=2BD”你认为他的判断对吗？为什么？考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：根据BD是中线得AD=CD，再根据CEBD，AFBD可以得到F=CED=90，然后证明AFD和CED全等，再根据全等三角形对应边相等得D

15、E=DE，再根据线段的和差关系即可证明解答：解：对理由如下：BD为ABC的中线，AD=CD，CEBD于E，AFBD于F，F=CED=90，在AFD和CED中，AFDCED（AAS），DE=DF，BE+BF=（BDDE）+（BD+DF），BE+BF=2BD点评：本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键4（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言

16、表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据HL，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作

17、法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若BA，则ABCDEF考点：全等三角形的判定与性质；作图应用与设计作图菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出CBG=FEH，再利用“角角边”证明CBG和FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明RtACG和RtDFH全等，根据全等三角形对应角相等可得A=D，然后利用“角角边

18、”证明ABC和DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到DEF与ABC不全等；（4）根据三种情况结论，B不小于A即可解答：（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是钝角，180B=180E，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如图，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，则ABCDEF

19、故答案为：（1）HL；（4）BA点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细5（2014泰安）如图，ABC=90，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFCAFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，MFC=90，FD=EF，FM

20、=FC，即可得出FDE=FMC=45，即可理由平行线的判定得出答案解答：（1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又ABC=90，DCF，AMF都与MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，FMC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90，FD=EF，FM=FC，FDE=FMC=45，DECM，ADMC点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出DCF=AMF是解题关键6（2014苏州）如图，在RtABC中，ACB=90，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线

21、段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF（1）求证：BCDFCE；（2）若EFCD，求BDC的度数考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明BCD=FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明BCDFCE；（2）由（1）可知：BCDFCE，所以BDC=E，易求E=90，进而可求出BDC的度数解答：（1）证明：将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，CD=CE，DCE=90，ACB=90，BCD=90ACD=FCE，在BCD和FCE中，BCDFCE（SAS）（2）解：由（1）可知BCDF

22、CE，BDC=E，BCD=FCE，DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90，EFCD，E=180DCE=90，BDC=90点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件7（2014自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）利用AEBCFB来求证AE=

23、CF（2）利用角的关系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得结果解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，FBE=90，ABE+EBC=90，CBF+EBC=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）解：BEBF，FBE=90，又BE=BF，BEF=EFB=45，四边形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=9055=35，EGC=EBG+BEF=45+35=80点评：本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得AEBCFB，找出相等的线段8（2014重庆）如图，AB

24、C中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：证明题；几何综合题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出B=ACB=45，再求出ACF=45，从而得到B=ACF，根据同角的余角相等求出BAE=CAF，然后利用“角边角”证明ABE和ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）过点E作EHAB于H，求出BEH是等腰直角

25、三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；求出CAE=CEA=67.5，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明RtACM和RtECM全等，根据全等三角形对应角相等可得ACM=ECM=22.5，从而求出DAE=ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明ADE和CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可解答：证明：（1）BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，FCBC，BCF=90，ACF=9045=45，B=ACF，BAC=90

26、，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC；由题意得，CAE=45+45=67.5，CEA=1804567.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=45=22.5，又DAE=45=22.5

27、，DAE=ECM，BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角9（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEA

28、DG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离考点：全等三角形的判

29、定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出B=ADG，然后利用“边角边”证明ABE和ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“边角边”证明AEF和GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出EAF=AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可解答：解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延

30、长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立

31、，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点10（2014内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P（1）求证：ABMBCN；（2）求APN的度数考点：全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，ABM=C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出BAM+ABP=APN，进而得出C

32、BN+ABP=APN=ABC即可得出答案解答：（1）证明：正五边形ABCDE，AB=BC，ABM=C，在ABM和BCN中，ABMBCN（SAS）；（2）解：ABMBCN，BAM=CBN，BAM+ABP=APN，CBN+ABP=APN=ABC=108即APN的度数为108点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键11（2014福田区校级模拟）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中DCE=90，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）若AB=3cm，则

33、BE=6cm（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断ACDBCE；（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE，而DB=AB=3cm，所以BE=6cm；（3）根据全等三角形的性质得到1=2，而3=4，然后根据三角形内角和定理即可得到EBD=ECD=90解答：（1）证明：ACB和DCE都是等腰直角三角形，CD=CE，CA=CB，ACB=90，DCE=90，ECD+DCB=DCB+ACB，即ECB=ACD，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）；（2）解：A

34、CDBCE，AD=BE，DB=AB=3cm，BE=23cm=6cm；（3）解：BE与AD垂直理由如下：ACDBCE，1=2，而3=4，EBD=ECD=90，BECD故答案为6点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的性质12（2014汕尾校级模拟）如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：由已知条

35、件，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明ABDACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE解答：证明：BE平分FBC，BECF，BF=BC，CE=EF，CF=2CE，BAC=90，且AB=AC，FAC=BAC=90，ABC=ACB=45，FBE=CBE=22.5，F=ADB=67.5，在ABD和ACF中，ABDACF（AAS），BD=CF，BD=2CE点评：本题考查了等腰三角形的判断与性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质13（2014长春模拟）探索与证明：（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得ADB=60，AEC

36、=60通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使ADB=120，AEC=120通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：应用题分析：（1）通过证明DABECA（AAS），AD=CE，BD=AE，从而证得BD+CE=AE+AD=DE：（2）通过DABECA（AAS），AD=CE，BD=AE，从而证得CEBD=ADAE=DE解答：解：（1）猜想：BD+CE=DE（1分）证明：由已知条件可知：DAB+CA

37、E=120，ECA+CAE=120，DAB=ECA在DAB和ECA中，ADB=AEC=60，DAB=ECA，AB=CA，DABECA（AAS）AD=CE，BD=AEBD+CE=AE+AD=DE（5分）（2）猜想：CEBD=DE（6分）证明：由已知条件可知：DAB+CAE=60，ECA+CAE=60，DAB=ECA在DAB和ECA中，ADB=AEC=120，DAB=ECA，AB=CA，DABECA（AAS）AD=CE，BD=AECEBD=ADAE=DE（10分）点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，及等边三角形的性质，难度适中，注意熟练掌握这些知识以便灵活应用14（2014怀柔区一模）问题：在

38、ABC中，AB=AC，A=100，BD为B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为AD+BD=BC（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC=20度（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明也可以选用其它的方法证明你的猜想考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有分析：（1）AD+BD=

39、BC；（2）由等腰三角形的性质及角平分线的性质可得ABD=DBC=20；（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，先证得ABDFBD，DFB=A=100，DFC=80，再得BED=BDE=80，所以DFE=FED再推得EDC=C，DE=EC，AD=EC，于是AD+BD=BC解答：解：（1）AD+BD=BC；（2）AB=AC，A=100ABC=C=40BD为B的平分线，ABD=DBC=20；（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，BD为B的平分线，ABD=DBC在ABD和FBD中，ABDFBDA=100，DFB=A=100，DFC

40、=80，BE=BD，DBC=20，BED=BDE=80，DFE=FEDDF=DEFED=80，C=40，EDC=40EDC=CDE=ECAD=ECAD+BD=BC点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键15（2014市中区一模）如图，RtABC中，ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F求证：BECD考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：首先根据HL证明RtECBRtEDB，得出EBC=EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明解答：证明

41、：EDAB，EDB=90在RtECB和RtEDB中，RtECBRtEDB（HL），EBC=EBD，又BD=BC，BFCD，即BECD点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出EBC=EBD，是解题的关键16（2014江西模拟）在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CEAD于E，BFAC交CE的延长线于F（1）求证：ACDCBF；（2）求证：AB垂直平分DF考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据ACB=90，求证CAD=BCF，再利用BFAC，求证ACB=CBF=90，然后利用ASA即可证明A

42、CDCBF（2）先根据ASA判定ACDCBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可解答：解：（1）在RtABC中，ACB=90，AC=BC，CAB=CBA=45，CEAD，CAD=BCF，BFAC，FBA=CAB=45ACB=CBF=90，在ACD与CBF中，ACDCBF；（2）证明：BCE+ACE=90，ACE+CAE=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，在ACD与CBF中，ACDCBF，CD=BFCD=BD=BC，BF=BDBFD为等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，A

43、BC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分线BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF点评：本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等17（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系式QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的

44、数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）证BFQAEQ即可；（2）证FBQDAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF；QE=QF

45、（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，

46、AAS，SSS，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等18（2009本溪）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC=90，则BCE=90度；（2）设BAC=，BCE=如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）问要求BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角