百校联盟全国卷I高考最后一卷（yati卷）文科数学（第七模拟）Word版含解析

1、百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第七模拟）一、选择题：共12题1已知集合A=x|-1x4,B=xZ|x2-6x0,则AB=A.1,2B.2,3C.1,2,3D.2,3,4【答案】C【解析】本题考查不等式的解法、集合的基本运算,考查考生基本的运算能力,属于基础题.通解解题时,先求出集合B,再求解交集;优解由排除法得出正确选项.通解由x2-6x0可得0x6,所以B=1,2,3,4,5,所以AB=1,2,3.优解因为求的是交集,先排除D,又元素1,2,3均符合集合A和B,故选C. 2已知tan0,且sin=-,则sin 2=A.B.-C.D.-【答案】B【解析】本题考查三角

2、函数求值,考查考生基本的运算能力和对基础知识的掌握情况.解题的关键在于由tan0,sin0,所以x=x-2=3;当x=3时,因为x0,所以x=x-2=1;当x=1时,因为x0,所以x=x-2=-1;当x=-1时,y=,则处的关系式可以是y=5x. 7已知对数函数y=f(x)的图象过点P(81,-4),则在(0,10内任取一个实数x,使得f(x)0,a1).由点P(81,-4)在函数图象上可得,loga81=-4,即a=,所以f(x)=x.由f(x)2,即x.又x(0,10,所以f(x)0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=|PF2|(1),=0,双曲线的离

3、心率为,则=A.B.2+C.2+D.2【答案】B【解析】本题考查双曲线的定义、离心率,考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力和数形结合思想.由=0可知,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,即|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=,|PF1|=,由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为|F1F2|=2a,在PF1F2中,由勾股定理可得()2+()2=(2a)2,得=2+. 12若关于x的不等式6-4x在(0,+)上恒成立,则实数m的取值范围为A.(-,2)B.(-,2C.(2,+)D.2,+)【答案】D【解析】本题考查导数与函数的单调性、最值,考查考生的数形结合能力、运算

4、能力、分析问题与解决问题的能力.解题时,先分离参数,再构造函数,将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解.因为x(0,+),故6-4xmex6x-4x2m.令f(x)=,则f(x)=,故函数f(x)在(0,)和(3,+)上单调递增,在(,3)上单调递减,且当x趋近于+时,f(x)趋近于0,故f(x)max=f()=2,故m2,故选D. 二、填空题：共4题13已知平面向量a=(1,2),b=(2,x),若ab,且a-2b与a+b所成的角为,则cos=.【答案】-【解析】本题考查平面向量垂直的充要条件、向量夹角的求解,考查考生的运算能力,属于基础题.由ab可得2+2x=0,所以x=-1,则a

5、-2b=(-3,4),a+b=(3,1),所以cos=-. 14已知函数f(x)=sinx+a,x-5,0)(0,5.记函数f(x)的最大值为M,最小值为m,若M+m=20,则实数a的值为.【答案】10【解析】本题考查函数的奇偶性、函数的最值等知识,考查考生的数形结合能力、运算求解能力和分析问题与解决问题的能力.令函数g(x)=sinx+,因为x-5,0)(0,5,且g(-x)=-g(x),故函数g(x)为奇函数,故g(x)max+g(x)min=0,故M+m=g(x)max+a+g(x)min+a=20,解得a=10. 15已知球O的半径为R,过球O的半径的中点作垂直于此半径的截面,该截面的

6、面积为3,若一个直四棱柱的底面是边长为1的正方形,且八个顶点都在球O的表面上,则该四棱柱的表面积为.【答案】4+2【解析】本题考查棱柱的表面积、棱柱的外接球,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.解题的关键是得到球的半径与四棱柱的高.由条件可得球O的截面圆的半径为,根据球的性质可得()2+3=R2,故R=2,设该四棱柱的高为h,则212+h2=42=16,故h=,故该四棱柱的表面积为2+41=4+2. 16已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为.【答案】【解析】本题考查抛物线的

7、定义、几何性质,利用基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识.先画出图象、作出辅助线,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义得2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,再根据基本不等式,求得|AB|2的取值范围,代入化简即可得到答案.如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,则由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,因为ab

8、()2(当且仅当a=b时等号成立),所以(a+b)2-ab(a+b)2-()2=(a+b)2,即|AB|2(a+b)2,所以=3,则,即所求的最小值是. 三、解答题：共8题17已知数列an满足a1=2,前n项和为Sn,若Sn=2(an-1)(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(log2an+1)2-(log2an)2,若cn=anbn,求cn的前n项和Tn.【答案】(1)由条件可知,当n2时,an=Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1,又a1=2,an是首项为2,公比为2的等比数列,an=2n.(2)由(1)可得bn=(n+1)2-n2=2n+1,则cn=

9、(2n+1)2n,Tn=32+522+(2n+1)2n,2Tn=322+523+(2n+1)2n+1,-可得-Tn=6+2(22+23+2n)-(2n+1)2n+1=6+2-(2n+1)2n+1=(-2n+1)2n+1-2,Tn=(2n-1)2n+1+2.【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式与错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用Sn与an的关系求解;(2)由数列cn的特征利用错位相减法求cn的前n项和Tn.【备注】数列类解答题主要考查数列的通项公式、前n项和以及求和的方法:裂项相消法、错位相减法等.因此有关数列的问题,在掌握数列的题型后,对数列的通项公式、前n项和公式要

10、掌握好,尤其是等比数列的前n项和,一定要对公比进行讨论.18农历正月十五是中国的传统节日元宵节,元宵节吃汤圆是一个古老的汉族传统节日习俗,随着人们生活水平的提高,现如今汤圆的种类也越来越多.在元宵节到来之际,小枫去超市为家里选购3袋汤圆,已知该超市有黑芝麻馅、巧克力馅两种传统口味的汤圆,同时今年又新进了菠萝味、草莓味两种水果馅的汤圆.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,求小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆的概率;(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,求小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆的概率.【答案】记黑芝麻馅的汤圆为A,巧克力馅的汤圆为B,菠萝馅的汤圆为C,草莓馅的汤圆为D

11、.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAA,AAB,AAC,AAD,ABB,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,共10种.记“小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆”为事件M,则事件M包含的情况有AAA,AAB,ABB,共3种,由古典概型的概率计算公式可知P(M)=.(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAC,AAD,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,BBC,BBD,BCC,BCD,BDD,共12种,记“小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆”为事件N,则事件N包含的情况有AAC,ABC,ACC,ACD

12、,BBC,BCC,BCD,共7种,由古典概型的概率计算公式可知P(N)=.【解析】本题主要考查古典概型概率的计算,考查考生的应用意识和分析问题、解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,熟练掌握古典概型的有关知识.【备注】古典概型是高考考查的核心考点,解题思路是先使用列举法求得基本事件的总数,再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,最后按照古典概型的概率计算公式计算.频率分布直方图、抽样方法、回归直线方程、独立性检验、几何概型也经常一起考查,复习的时候应全面.19已知四棱锥P-ABCD如图所示,其中四边形ABCD是菱形,且ABC=60,三角形PAD是等边三角形,平面PAD平面ABCD,点M为棱

13、PC上的点,且PM=P.(1)求证:PBC是直角三角形;(2)若CD=2,求四棱锥M-ABCD的体积.【答案】(1)取AD的中点O,连接OP,OC,AC,因为ABC=60,四边形ABCD为菱形,所以ACD为正三角形,所以OCAD,又三角形PAD是等边三角形,所以OPAD,又OPOC=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC.又PC平面POC,所以ADPC.因为BCAD,故BCPC,即PBC是直角三角形.(2)由题意知,菱形ABCD的面积S=2,PO=,故VM-ABCD=2.【解析】本题考查线线垂直的证明、锥体体积的求解,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.(1)实质上是证明线线

14、垂直,应由线面垂直来证线线垂直;(2)解题的关键是熟记锥体的体积公式,并能够灵活应用.【备注】高考中,立体几何试题主要考查空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系及几何体的体积等.证明平行常和三角形的中位线或平行四边形有关;证明垂直的桥梁是线面垂直,要证线线垂直或面面垂直常先证线面垂直.20已知椭圆M:+=1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程;(2)试问:TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意得,b=1,又a2=b2+c2,所以a

15、=,c=1,椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由得,3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,=16m2-24(m2-1)0,即m2-30,所以-m0时,f(x)Q(x)恒成立.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=exlnx+,所以f(1)=0,f(1)=e,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1).(2)当x0时,f(x)Q(x)恒成立,等价于当x0时,xlnx-恒成立.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx,所以当x(0,)时,g(x)0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g(

16、)=-.设函数h(x)=-,则h(x)=,所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),所以当x0时,f(x)Q(x)恒成立.【解析】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质中的应用与不等式的证明,考查考生综合分析问题的能力、数形结合能力、等价转化能力及计算能力.(1)考查利用导数求切线,比较基础,容易得分;(2)利用导数研究函数的单调性,将不等式f(x)Q(x)等价变形为xlnx-是解题的关键,构造新函数g(x)=xlnx和h(x)=-是难点,然后分别求g(x)=xlnx的最小值和h(x)=-的最大值是技巧,难度比较大.【备注】高考对导数的考查通常是利

17、用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式的恒成立问题(处理方法是:分离参数,将问题转化为求函数的最大值或最小值)与不等式的证明(处理方法是:构造函数,利用函数的单调性,将不等式转化为函数值大小的比较).利用导数研究函数的性质有如下特点:重视分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想的考查;重视推理论证能力的考查,把对函数的概念、性质、图象及导数等知识的考查融入到所设计的问题中.22如图,AB为圆O的一条切线,B为切点,ACD为过圆心O的割线,AB=4,AO=7.求:(1)圆O的直径;(2)ABC的正弦值.【答案】(1)设圆O的半径为R,由切割线定理得,AB2=ACAD=(AO-R)(AO+R

18、),即48=(7-R)(7+R).因为R0,解得R=1,故圆O的直径为2.(2)连接BD,因为AB为圆O的一条切线,故ABC=CDB,又A=A,故ABCADB,故.因为CD为圆O的直径,故CBD=90,设BC=k,BD=2k,故CD=k,故sin ABC=sin CDB=.【解析】本题考查切割线定理、三角形相似等知识,考查考生的运算能力和对平面几何的基础知识的掌握情况.(1)利用切割线定理列出等式,求解即可;(2)关键是证明三角形相似,从而得到对应线段的比例关系. 23已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4cos(+).(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为2,求实数m的取值范围.【答案】(1)由=4cos(+)可得=4(coscos-sinsin),即-4cos+4sin=0,所以2-4cos+4sin=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-4x+4y=0,即(x-2)2+(y+2)2=8,曲线C对应的图形是以C(2,-2)为圆心,以2为半径的圆.(2)l的参数方程化为普通方程可得x-y-m=0,由条件可知,圆C上的点到直线l的距离的最小