二项式定理-计数原理.ppt

1、学案3 二项式定理,返回目录,1.二项式定理的内容 (a+b)n= . 右边的多项式叫做(a+b)n的 ，其中的系数 (r=0,1,n)叫做展开式的 ， 式中的第r+1项 an-rbr叫做二项展开式的 ，记作Tr+1= (其中0rn,rN,nN*).,二项展开式,二项式系数,通项,考点分析,2.二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . （2）增减性与最大值由 知，当k 时，二项式系数是逐渐的 ，由对称性知它的后半部分是逐渐的 ，且在中间取最大值. 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和

2、为2n，即 =2n. （4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即,返回目录,增大,减小,（1） 的展开式中x5的系数为 . （2）若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a= .,返回目录,考点一 求二次展开式的特定项,【分析】由通项公式列方程可得.,题型分析,【解析】（1）二项展开式的通项为 令8- =5,则r=2, T3=(-1)2 x5=28x5, x5的系数为28. （2）在二项展开式中通项公式Tr+1= (ax)r = arxr, 令r=3,得x3的系数: a3=-80, a3=-8,a=-2.,返回目录,【评析】 （1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指

3、数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数. （2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力.,返回目录,若(x+ )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120,B(由展开式的二项式系数之和为64,得2n=64,得n=6,则展开式中的第r+1项 Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r, 令6-2r=0,得r=3. 则展开式中的常数项为T4= =20. 故应选B.),返回目录,对应演练,B,（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数

4、最大的项和系数最大的项.,【分析】根据条件可求出n；再根据n的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定.,返回目录,考点二 增减性与最值问题,【解析】T6= (2x)5,T7= (2x)6, 依题意有 25= 26 n=8. (1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为 T5= (2x)4=1 120 x4, 设第r+1项系数最大,则有 2r 2r-1 2r 2r+1 ,返回目录,2(8-r+1)r r6 r+12(8-r) r5 又rN，r=5或r=6, 系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.,返回目录,5r6.,【评析】求二项式系数最大的项，要根据二

5、项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法.,返回目录,在(3x-2y)20的展开式中,求: (1) 二项式系数最大的项; (2) 系数绝对值最大的项; (3) 系数最大的项.,返回目录,对应演练,(1)二项式系数最大的项是第11项,T11= 310(-2)10 x10y10 = 610 x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第r+1项, 320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1, 3(r+1)2

6、(20-r) 2(21-r)3r, 解得 r . 所以r=8. 即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项.,返回目录,于是,化简得,(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数最大,于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 320-2r22r, 10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240. 解之得r=5,即25-1=9项系数最大. T9= 31228x12y8.,返回目录,化简得,设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各式的值： （1）a0; （2）a1+a2+a100; （3）a1+

7、a3+a5+a99; （4）（a0+a2+a100）2-(a1+a3+a99)2.,返回目录,考点三 利用赋值法求二项式系数和的有关问题,【分析】利用二项式系数的性质.,【解析】（1）由(2- x)100展开式中的常数项为 2100，即a0=2100,或令x=0，则展开式可化为a0=2100. （2）令x=1，可得 a0+a1+a2+a100=(2- )100， a1+a2+a100=(2- )100-2100.,返回目录,（3）令x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100， 与x=1所得到的联立相减可得 a1+a3+a99= . （4）原式=(a0+a2+a100)+

8、(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99) =(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100) =(2- )100(2+ )100=1.,返回目录,【评析】（1）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,. （2）一般地，对于多项式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn. g(x)的各项的系数和为g(1), g(x)的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1), g(x)的偶数项的系数和为 g(1)-g(-1).,返回目录,设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a

9、9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（ ） A.29 B.49 C.39 D.59,B(由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为“-”，即a1,a3,a9均小于零. |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49. 故应选B.),返回目录,对应演练,求值： （1）2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1 + 3n; （2）2 + +2 + + +2 .,返回目录,考点四 有关二项式的

10、应用,【分析】构造二项式，通过赋值法求值.,【评析】与组合数有关的求值问题，解答过程大体上用两个知识点:二项展开式的逆用（从右往左用）；赋值法.,【解析】（1）在二项展开式(a+b)n= an+ an-1 b+ bn中，令a=2,b=3,得 2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n=(2+3)n=5n. （2）原式 =( )+( ) =(1+1)2n+ (1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.,返回目录,证明：2(1+ )n3,其中nN*.,证明：当n=1时，(1+ )1=2. 当n1时， (1+ )n=1+ + + + =1+1+ + 2.当n=1时等号成立. (1+ )n2成立.,返回目录,对应演练, (1+ ) n=1+ + + 1+1+ 2+ =2+ =2+1-( )n-1 =3-(