数学建模2010A题

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 南通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2016 年 7 月 7 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘 要本文主要研究当卧式储油罐发生位变时罐内油位高度和储油量的变化情况。储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会

3、发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。所以需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定。针对问题一，要求研究罐体变位后对罐容表的影响问题，首先建立椭圆柱体在无变位时体积与高度的计算模型，并通过解析几何知识和微积分原理求解出液面高度与体积的关系模型为：利用Matlab最终求解出椭圆柱体储油罐无变位时储油量与罐内油位高度的对应关系表达式。然后再利用二重积分的方法建立了变位后的储油罐液面高度与体积之间的关系：同样利用Matlab求解出椭圆柱储油罐在发生变位以后的储油罐液面高度与体积和倾角之间的关系表达式（见正文第5页公式（1.2.2）。通过可以得出罐体变位后油位高度间隔位1

4、cm的罐容表标定值。通过无变位和变位的罐容表的数值比较，最终解释了罐体变位后对罐容表的影响（见正文第5页表1）。并通过Excel表格的图像对比形象的表现出来(见正文第7页表2)。针对问题二，要求建立变位后罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。首先对图二储油罐发生纵向倾斜变位后的示意图根据图形的几何特点将储油罐分为圆柱形罐身和两个球缺封口，并分别建立模型求解了三部分图形体积与高度及纵向偏角之间的函数关系.通过图三横向偏转倾斜后正截面图建立了实际的液面高度与测量的液面高度之间的关系表达式：。通过变位过程中油位探针的连接关系最终求解出了罐内储油量与油位高度与变位参数之间的函数关系（见正文第1

5、3页公式（2.3.2），由附件二中的实际检测数据求解出，并给出罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容表标定值（见正文13页表4）；最后通过spss软件对数据进行误差分析（见正文14、15页图10和图11），从而验证了模型的正确行与方法的可靠性。关键词：倾斜卧式储油罐标定、误差分析、变位识别、曲线拟合.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变

6、形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1c

7、m的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型的基本假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设： 1.不考虑浮子在地下储油罐内的体积；2.油量计测出的体积与实际无变位时的体积无误差，气

8、测得的油量是准确的； 3.储油罐的密闭性是绝对的，不存在储油罐中的有以任何形式减少； 4.储油罐的体积就是它的容积，忽略它的厚度，并且其内壁是绝对光滑平整，储油罐是理想的标准几何体； 5.在进油口和出油口是绝对光滑，不存在摩擦，并在进油口和出油口均没有残留物附着其上的情况下测得油量值； 6.发生变位时，倾斜角和的范围在0到10之间；三、符号说明1. 为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明H:显示油位高度 L:小椭圆型储油罐的长度 a:椭圆的长半轴 :b:椭圆的短半轴 h:横截面内油面的高度 S:横截面中燃油所占的面积 V:椭圆型储油罐无变位的情况下内部燃油的体积 V11:椭圆形油罐内无变位的

9、情况下内部燃油的体积V12:椭圆形油罐内纵向变位4.1的情况下内部燃油的体积:纵向变位倾斜角:横向变位倾斜角d:罐身边缘距油浮子的水平距离（较近端）V1：左球缺体内油料体积V2：中间圆柱体体内油料体积V3：右球缺体内油料体积说明：其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。四、问题分析1.储油量的计算及分析通读全题我们发现，“油位计量管理系统”主要是通过油浮子所测得的高度H来计算储油量，即体积V，然后再通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。所一对于变位后，我们必须通过油位高度H与体积V（H）之间的关系，建立数学模型 问

10、题一的分析问题一要求我们根据图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）来掌握罐体变位后对罐容表的影响，并利用附录1中罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位的实验数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。所以若要建立数学模型研究管体变位后对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐容表标定值与油面高度H分别满足的关系。并由变量H计算发生纵向变位后的实际燃油体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积V与油面测量高度H的模型。利用几何知识和微积分

11、的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵向变位，可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。 问题二的分析问题二要求我们对这种两边是球冠体，中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积V与油面测量高度H的数学模型。由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂，而且又发生了、的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中 间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为H的情况下，分别计算三个部分内燃油的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油体积与油面测量高度H

12、的模型，不过要考虑H取不同范围内的值时，体积求解方法可能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模型建立时，参数和是未知的，可以用回归分析的方法，求得使理论计算值与实际值之间整体误差最小的和。可以用遍历思想，设定两参数的取值范围，逐一代入模型计算比较。模型确立后，用题目附件二中的其余数据对模型进行检验，分析误差，思考改进方法。五、 模型的建立与求解1.模型的建立5.1.1无变位时椭圆形油罐的H-V模型无变位时，椭圆形储油罐水平卧立，油浮子测得油面高度H，此时，可根据公式V=SL计算储油量，此时L=2.45。以横向截面做平面直角坐标系如图：椭圆满足的曲线方程为：x

13、2a2+y2b2=1又：S=bh-bdS=2abh-b1-y2b2dy令y=sint,则S=-2arcsinh-bb(cost)2dt,利用积分可求得：S=abarcsinh-bb+2+ab2(sin2(arcsinh-bb) (公式5.1.1)椭圆型油罐内燃油的体积:V=SL=abLarcsinh-bb+2+ab2(sin2(arcsinh-bb)其中a=0.89m,b=0.6m,L=2.45m。此时h=H.这就是无变位是的椭圆油罐油量高度H与储油量V的数学模型H-V11。5.1.2纵向变位时椭圆形油罐的H-V模型当椭圆形油罐发生纵向变位时，主要有以下四种情况，如图：图一 图二图三 图四 如

14、图一所示，当油浮子未达到测量高度而储油罐内有油，即h0.4tan，此时，H=0，我们无法知道油罐内油量的确切值，但V12V， 如图二所示，当油浮子可以测得高度，且油未触及另一端边缘，即0.4tanh2.45tan,此时V12=12Sh,其中h=H+0.4tan,S(h)为公式5.1.1. 如图三所示，当2.45tanh1.2时，此时以较近边缘的最大值h=2b为上界，此时V12=SL-12Sh其中h=h-Htan+2.05*tan=2.45tan,h=H+0.4tan,S(h),S(h)均为公式5.1.1。 如图四所示，虽然h=1.2，但，H1.2,依旧可以进油，此时认定可以继续加油，理论上1.

15、2h1.2+0.4tan,此时，V=abL-12Sh其中h=1.2-H+2.05tan,S(h)为公式5.1.1. 当H=1.2时，虽然实际还有容量可以进油，但是油浮子已经达到最大值，默认不可以进油。上述五种情况在求解的过程中，发现无法用积分的方法进行准确的解析解，因此转用Matlab求数值解，输入变量H，输出实际燃油体积V。5.2.1罐体变位后标定罐容表的数学模型H,-V根据已知数据可以得到r=1.5m，h=1m，L=9m，R=1.625m。对于横向变位与纵向变位后的储油量的求解本文是通过对左球缺、中间圆柱体和右球缺所含油量之和求得，即V=V1+V2+V3。罐容表的建立主要受油浮子测量高度，

16、横向变位角与纵向变位角的影响，在此文中，先建立纵向变位对罐容表的影响，再在纵向变位的基础上建立横向变位对罐容表的影响，即得H，-V。对于球缺油量体积，本文以球缺的球心为原点，平行于水平面为x轴，垂直与水平面为y轴，建立直角坐标系，如图：球冠体横截面示意图得：=arccos(0.6251.625-y2)则球缺内油料的横截面积为：S=x2-0.625x2-0.6252=arccos0.6251.6252-y21.6252-y2-0.6252.25-y2（公式5.2.1）所以可以求得油料的体积：V=-1.5h-1.5Sdy当发生横向变化时H=h-rcos+r当发生纵向变位时，左球缺高度：H1=2ta

17、n+h，右球缺高度：H2=h-6tan,此时h=h-rcos+r。因此。在计算两端球缺油料体积时，将H1和H2代替公式5.2.1即可。对于求中间圆柱体油料容积时，与问题一类似，问题一讨论的椭圆柱体的油料体积的几种情况，在此问题中转化为圆柱体的油料体积的情况，即a=b=r=1.5。油面高度下横截面的截面面积为：S=r2arcsinh-rr+2+r22(sin2(arcsinh-rr)（公式5.2.2） 当油浮子未达到测量高度而储油罐内有油，即h2tan，此时，H=0，我们无法知道油罐内油量的确切值，但V12V，当油浮子可以测得高度，且油未触及另一端边缘，即0H6tan,此时V12=12Sh,其中

18、h=H+2tan,S(h)为公式5.2.2.如图三所示，当6tanH3时，此时以较近边缘的最大值h=2b为上界，此时V12=SL-12Sh其中h=h-Htan+6*tan=8tan,h=H+2tan,S(h),S(h)均为公式5.1.1。如图四所示，虽然H=3，但，h3,依旧可以进油，此时认定可以继续加油，理论上3h1+2tan,此时，V=r2L-12Sh其中h=3-H+6tan,S(h)为公式5.1.1. 当h=3时，虽然实际还有容量可以进油，但是油浮子已经达到最大值，默认不可以进油。上述五种情况在求解的过程中，发现无法用积分的方法进行准确的解析解，因此转用Matlab求数值解，输入变量H，

19、输出实际燃油体积V。5.2.2模型V-(H，)的求解5.2.3罐容表的标定5.2.4变位参数，的确定5.2.5罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值六、模型的检验与推广1、 模型的检验2、 模型的推广本模型虽解决的是储油罐的变位识别及其罐容表标定问题，但可以推广到各种罐状容器，用类似方法建模求解， 解决该问题时，我们计算的是平顶和球缺顶的圆柱形储油罐，通过查阅国家技术监督局1996年发布的中华人民共和国国家计量检定规程 JJG 266-1996，卧式罐的两端顶板按形状可以分为平顶、弧形顶、圆台顶、锥形顶、球缺顶、椭球顶等类顶。本文所建立的模型可推广到其他各种情形。建议根据结果将各种卧式罐内液体体积列成表格，以后只要测出罐的必要参数及液面高度，即可根据相应表格快速计算出对应的液体体积。 七、模型评价1. 模型的评价1) 模型的优点本题主要运用微积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型，进而求出罐内油料体积与