均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)

1、最新 料推荐利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一基本不等式的常用变形1. 若 x12(当且仅当 x1 时取“ =”）; 若 x 0 ，则 x10 ，则 x2 ( 当且仅当xx_ 时取“ =”）若 x012即 x12或 x1(当且仅当 _时取“ =”），则 xx-2xx2. 若 ab0 ，则 ab2( 当且仅当 _ 时取“ =”）ba若 ab0 ，则 ab2即 ab2或 ab-2 ( 当且仅当 _时取“ =”）bababa注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的

2、重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例 1已知 x, yr，且满足xy1 ，则 xy 的最大值为_。34解：因为 x0 ，y 0，所以 xy2xyxy (当且仅当 xy ，即 x= 6，y= 8 时取等号 )，3434334于是xy1， xy3. ，故 xy 的最大值 3.3变式：若 log 4xlog 411y 2 ，求的最小值 .并求 x,y 的值xy解： log 4 xlog 4y2log 4 xy2即 xy=16111 121当且仅当 x=y 时等号成立2xyx yxy2技巧二：配凑项求例 2：已知 x54 x21的最大值。，求函数 y44x5

3、解：x5 ,5 4x 0，y 4x 215 4 x132 3 144 x55 4 x当且仅当 54x1，即 x1 时，上式等号成立，故当x1 时， ymax 1。54 x例 3.当时，求 yx(82x) 的最大值。解：当，即 x 2 时取等号当 x 2 时， yx(82x) 的最大值为8。1最新 料推荐变式：设 0x34x(32x) 的最大值。，求函数 y232解： 0x 32x0 y4x(32x) 22x(32x)2 2x3 2x9222当且仅当2x32x, 即 x30, 3时等号成立。42例 4.求 yx27 x10 ( x1) 的值域。x 1解：当, 即时 , y2（ x1)49 （当且

4、仅当 x 1 时取“”号）。x51练习： 1、已知 0x1，求函数 yx(1x) 的最大值 .；2、 0x2yx(2 3x)，求函数3技巧三：“ 1”的巧妙利用 （常数代换）错 解 ： x0, y 0 ， 且191，199故x yx y 22 xy 12 xyxyxyxy min12。错 因 ： 解 法中 两 次 连 用基 本 不 等 式， 在 x y2 xy等 号 成 立 条 件 是 xy ，在1929199x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，等号成立条件是x即 yxyxyy在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：x0,

5、 y0, 191 ，xyx19y9x106 1016yyxyxyxy9 x19y min当且仅当xy时，上式等号成立， 又x1 ，可得 x4, y 12 时， x16 。y1x, yr且 2xy1，求 11 的最小值变式： （ ）若xy(2) 已知 a, b, x, yr 且 ab1 ，求 xy 的最小值xy2最新 料推荐2：已知 x 0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且yx(3)设 a0, b0.若3是3a 与3b的等比中项，则 11的最小值为（）aba 8b 4c 1d 14解析： 因为 3a3b3 ，所以 ab 1。又 a 0, b0, 所以 11(ab)(11)2ba2 2 b

6、a4 ，当且仅abababab当 ba 即 ab1时取“ =”。故选（） ab2a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x)xx的单调性。 例：求函数yx25x2的值域。4解：令24t (t2) ，则 yx25x21t1xx24(t 2)4x24t因 t 0, t11 ，但 t1解得 t1 不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 yt1单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数， 故 y5在区间 1,。t2所以，所求函数的值域为5。,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（1）yx23x1 ,( x 0)（ 2）y 2x1

7、, x 3xx3(3)y2sin x1 , x(0,)sin x的最大值 .技巧六 、已知 x， y 为正实数，且2 y 22x 1，求 x1 y的最大值 .2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a2 b 2ab2。同时还应化简1 y 2 中 y2前面的系数为1，x 1 y 2 x21 y 2 22212xy2 23最新 料推荐下面将 x，1y 22 2分别看成两个因式：2x21y 2)22y 211y (22x 2232x 2 222 4即 x1y 2 x1y 2322 2 4技巧七：已知a， b 为正实数，2b ab a 30，求函数 y 1ab 的最小值 .分析：这是一个二元函

8、数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说， 这种途径是可行的； 二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a 30 2b30 2b 2 b 230b，bb 1b1ab b 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 2 34t 31161616令 t b+1，1 t 16，abt 2（ t t） 34 t t 2t t81 ab 18 y 18当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30 ab

9、a 2b a 2b 2 2 ab 30 ab 22 ab令 u ab则 u222 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 32 ， ab 18， y 18点评：本题考查不等式abab（ a, b r ）的应用、不等式的解法及运算能力；2如 何 由 已 知 不 等式aba2b30a,br出 发 求 得 ab 的 范 围 ， 关 键 是 寻 找 到（）a b与 ab 之间的关系，由此想到不等式ab（）2ab a, br ，这样将已知条件转换为含 ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .变式： 1.已知 a0， b0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面

10、积最大值。技巧八、取平方5、已知 x，y 为正实数， 3x 2y10，求函数 w3x 2y 的最值 .解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ba 2 b 222，本题很简单3x 2y 2（ 3x） 2 （2y ） 2 23x 2y 25解法二： 条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。23x 2y 102 3x 2y 10 (3x22y )2 10(3x 2y)w 0，w 3x 2y2) (20 w 20 254最新 料推荐变式 :求函数 y2x152x ( 1x5 )的最大值。22解析：注意到 2 x1与 52x 的

11、和为定值。y2(2x 152 x) 24 2(2 x 1)(52 x) 4(2 x1) (5 2 x) 8又 y0 ，所以 0y22当且仅当 2x 1= 52x3故 ymax22 。，即 x时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。技巧 9：消元例 1. 设 x, y, z为正实数， xy22y3z0 ，则 xz 的最小值是 _.解：由 x, z 0, yx3z ,可得y2= x29z226xz6xz6xz3,xz4xz4xz当且仅当

12、x 3z,即xy, zy时，取 “ ” .3=故 y2的最小值为3.xz技巧 10. 换元yx2例 1.2x5 的最大值 .求函数解：令x 2t ,t0, xt 22,则yt(t0)2t 21当 t0时， y0;当 t0时， y1121142t22ttt当且仅当 2t = 1，即 t2 时，取等号 .t2所以 x3 时,取最大值为2 .24练习题：1111.若 a0， b0， a， b 的等差中项是2，且 a a， b b，则 的最小值为 ()a 2 b 3 c 4 d 52.已知三个函数y 2x， y x2 ，y 8的图象都过点a，且点 a 在直线 x y 1(m0， n0)xm 2n5最新

13、 料推荐上，则 log2mlog 2n 的最小值为 _3. 已知正数 a， b，c 满足： a2b c 1 则 1 11的最小值为 _ a b c 4. 设 m 是 abc 内一点，且 abac 2 3， bac 30，定义 f(m) (m， n， p)，其中 m，n，p 分别是 mbc ， mca ， mab 的面积若 f(m) 12， x， y ，则 1x 4y的最小值是 _5.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量q(万件 )与广告费 x(万元 )之间的函数关系为q3x 1(x 0)已知生产此产品的年固定投入为3 万元，x 1每生产1 万元此产品仍需再投入32 万元

14、，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润 w(万元 )表示为年广告费 x(万元 ) 的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？设正实数 x, y, z 满足 x23xy4 y2z0 , 则当xy2126.z 取得最大值时 ,xyz 的最大值为（）9a 0b 1c 4d37. 已知 a,b, c, a 2b3c6, 则 a24b29c2的最小值为 _.148.已知 a0， b 0，a+b=2，则 y= ab 的最小值是79a 2b 4c 2d 59.设 x, y 为实数，若 4x2y2xy1, 则 2xy

15、 的最大值是。10.已知 x0， y0,x+2y+2xy=8 ，则 x+2y 的最小值是11.设 ab0 ，则 a21a1的最小值是abab（ a） 1（b） 2（ c）3（ d） 4b. 4c.d.11211.111111a b习题答案：1. 2为 a、b 的等差中项， a b 2 21.a ab b?1 a b 1ab1 1 ，ab a b， ab a b2 1.原式 14.当且仅当 a=b=1/2 时， 的ab2446最新 料推荐最小值为5.故选 d.2.由题易得，点a 的坐标为 (2,4) ，因为点 a 在直线 x y 1(m0，n0)上，所以 1m2n24 224 ， mn16，所以

16、 log2m log2n log 2(mn) 4，当且仅当 m=n=4 时，故m2nm 2nlog 2m log 2n 的最小值为 4.3.答案 64 2 解析 1 1 1 a 2b c a 2b c a 2bc2ba c a c 2b a b cabca ba cb c4 22 2 22 4 6 42，等号在 2ba ab， caac， cb 2bc同时成立时成立即 ac 2b 1 2时等号成立24.答案 18解析 abac |ab| |ac|cos30 3 2 |ab| |ac| 2 3， |ab| |ac |4，由 f(m )的定义知， s abc 1 x y， 21又 sabc 2|a

17、b| |ac| sin30 1，1 x y2(x0 ， y0)14 2(x y)14 25y4x 2(5 24) 18，等号在 y4x，即y 2x1时xyxyx yxy31 4成立， x y min 18.5. 解析 (1)由题意可得，产品的生产成本为32q 3(32q 3)万元，每万件销售价为q 150% x 50%，q年销售收入为(32q 3 150% x 50%)qqq31 2(32q 3) 2x，31 3) x年利润 w (32q3) x (32q221x2 98x 35 (32q 3 x)(x 0)22 x 1(2)令 x 1 t(t 1) ，则7最新 料推荐 t 12 98 t1 35t 32 50w2t2t . t 1，t32 2t322t2 8，即 w 42，t当且仅当 t 32，即 t 8时， w 有最大值