全国版高考数学第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件理.pptx

1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算,【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有_,又有_的量叫向量,常 用a或 表示. (2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的 _叫做向量的模,记作|a|或| |.,大小,方向,长度,(3)几个特殊向量:,任意,1,相同,相等,相反,相同或相反,2.向量的加法、减法与数乘,三角形,平行四边形,b+a,a+(b+c),相反,向量,三角形,向量,相同,相反,(a),a+a,a+b,3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使 _.,b=a,【特别提醒】 1.三个常用的结论 (

2、1)零向量与任何向量共线. (2)平行向量与起点无关. (3)若存在非零实数,使得 或 或 ,则A,B,C三点共线.,2.两个注意点 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点. (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修4P78习题2.1A组T5改编)已知ABC,设D是BC边的中点,用 与 表示向量 ,则 =.,【解析】如图， = 答案：,2.(必修4P92习题2.2B组T5改编)在平行四边形ABCD中,若| |=| |,则四边形ABCD的形状为 .,【解析】如图，因为 所以| |=| |. 由对角

3、线长相等的平行四边形是矩 形可知，四边形ABCD是矩形. 答案：矩形,感悟考题试一试 3.(2016龙岩模拟)如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则(),【解析】选A.因为D,E,F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点,所以 则,4.(2016成都模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, ,则=.,【解析】在平行四边形ABCD中， ，而 所以 ,故=2. 答案：2,5.(2016石家庄模拟)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD= AB，BE= BC，若 (1, 2为实数)，则1+2的值为_.,【解析】由 则1+2的值为 . 答案：,考向一平

4、面向量的概念 【典例1】(1)(2016成都模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是() A.|a|=|b|且ab B.a=-b C.ab D.a=2b,(2)已知下列结论: 若ab,bc,则ac; 非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中正确的序号为.,【解题导引】(1)利用单位向量与向量相等的概念求解. (2)利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.,【规范解答】(1)选D.由 表示与a同向的单位向量, 表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知D满足题意. (2)对

5、于,当b=0时,条件满足但结论不成立; 对于,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;,对于,四边形是大前提,当 时,即ABDC,且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形ABCD是平行四边形,则 ,所以正确; 对于,当=0时,a与b可为任意向量,不一定共线, 所以不正确. 答案:,【母题变式】1.本例(2)中,若b0,该结论是否正确? 【解析】若b0,又ab,bc, 所以ac显然成立,故该结论正确.,2.若本例(2)中的实数,满足2+20,该结论是否正确? 【解析】由2+20知实数,中至少有一个不为0. ()若0,=0,则a=0b=0. 因为0,所以a=0, 又0与

6、任何向量共线,所以结论正确.,()同理,若=0,0,结论也正确; ()若0,0,由a=b得a= b,由共线向量定理知结论正确. 综上所述,该结论正确.,【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.(1)不清楚 表示何种向量,不知道 是a方向上的单位向量.(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.,【规律方法】把握向量有关概念的关键点 (1)定义:方向和长度. (2)非零共线向量:方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量:方向相同且长度相等. (4)单位向量:方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量:方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.,【变式训练】

7、设a0为单位向量,下述命题中: 若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0; 若a与a0平行,则a=|a|a0; 若a与a0平行且|a|=1,则a=a0. 假命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.,【加固训练】1.下列命题中正确的个数为()有向线段就是向量,向量就是有向线段;向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;向量 与 向量共线,则A,B,C,D四点共

8、线;如果a=b,b=c,那么a=c.A.1B.2C.3D.0,【解析】选A.不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;正确,因为a=b,b=c,由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.,2.(2016南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是 () A.向量 的相反向量是B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线,

9、【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图 , A,B,C,D四点满足条件,但 ,所以C不正确;对于 D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以 D正确.,考向二平面向量的线性运算及应用 【典例2】(1)(2014全国卷)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 =() (本题源自A版必修4P92A组T12),(2)(2015北京高考)在ABC中,点M,N满足 若 则x=,y=.,【解题导引】(1)结合图形和三角形法则求解. (2)结合图形利用向量线性运算的法则求解.,【规范解答】(1)选A.如图所示，,(2)由 得 所以 所以 答案：,【规律方法】 1.

10、平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.,2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较,观察可知所求.,【变式训练】(2016惠州模拟)已知点O,A,B不在同一条 直线上,点P为该平面上一点,且 则() A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.

11、点P不在直线AB上,【解析】选B. 即 ，所以点P在线段AB的反向延长线上.,【加固训练】 1.(2016乐山模拟)如图，点M是ABC的重心， = 则x+y=( ) A. B.1 C. D.2,【解析】选D.由题意，得点F是AB的中点， 所以 因为点M是ABC的重心， 所以 又 ,所以x=y=1.故x+y=2.,2.(2016厦门模拟)如图所示的方格纸中有定点O， P，Q，E，F，G，H，则 =( ),【解析】选C.设a= ，以OP，OQ为邻边作平行四 边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向 量a= ，因为a和 长度相等，方向相同， 所以a= ,故选C.,3.(2016亳州模拟)下

12、列各式中不能化简为 的是 ( ),【解析】选D. 显然由 得不出 所以不能化简为 的式子是D.,考向三共线向量定理及其应用 【典例3】(1)(2016杭州模拟)已知向量a与b不共线,若a+b与a+b共线,则=_.,(2)如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， 用a，b表示向量 求证：B，E，F三点共线.,【解题导引】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解. (2)利用线性运算几何意义求解.利用共线向量定理得出.,【规范解答】(1)因为a+b与a+b共线, 所以存在实数x,使a+b=x(a+b), 即a+b=xa+xb. 因为a与b不共线, 所以 即2=1,所以=1. 答案:1,(

13、2)由已知可得： (a+b)， 因为 所以 = (a+b)= (a+b)，,由 得 又 有公共点B，故B，E，F三点共线.,【规律方法】共线向量定理的应用 (1)证明向量共线:对于向量a,b，若存在实数,使a=b，则a与b共线. (2)证明三点共线:若存在实数，使 ，则A，B，C三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.,提醒:证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.,【变式训练】(2016朔州模拟)设e1与e2是两个不共线 向量, =3e1+2e2, =ke1+e2, =3e1-2ke2,若A,B,D 三点共线,则k的值为() A.- B.-

14、C.- D.不存在,【解析】选A.由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实 数,使得 又 =3e1+2e2, =ke1+e2, =3e1-2ke2, 所以 =3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2, 所以3e1+2e2=(3-k)e1-(2k+1)e2, 所以 解得k=,【加固训练】 1.a=b(R)是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选A.当a=b(R)时，若b=0,则a=0，显然a与b共线;若b0，则由共线向量定理知a与b共线. 反之,若a与b共线，当b=0，而a0时，a=b(R)不成立.故选A.,2.(2016南昌模拟)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于 () A.a B.bC.c D.0,【解析】选D.因为a+b与c共线,所以a+b=1c.又因为b+c与a共线,所以b+c=2a.由得:b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以 即所以a+b+c=-c+c=0.,3.设e1,e2是两个不共线向量,已