高中数学导数练习题3.8

1、最新资料推荐高考文科导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。例 1.f( x) 是 f ( x)1 x32x1 的导函数，则f (1) 的值是。3解析： f xx 22 ，所以 f 11 23答案： 3考点二：导数的几何意义。例 2.已 知 函 数yf (x) 的 图 象 在 点 m (1， f (1)处 的 切 线 方 程 是y1x2， 则2f ( 1 ) f( 1 )。解析：因为 k1，所以 f 11，由切线过点 m (1， f (1) ，可得点 m 的纵坐标为5 ，所以 f 15，2222所以 f1f 13答案： 3例 3.曲线 yx32x24x2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。解析

2、：y3x 24x4 ，点 (1， 3) 处切线的斜率为k 34 45，所以设切线方程为y5xb ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得b2 ，所以，过曲线上点(1， 3) 处的切线方程为：5x y 2 0答案：5xy20点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 c： yx33x 22x ，直线 l : ykx ，且直线 l 与曲线 c 相切于点x0 , y0x00 ，求直线 l 的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则 ky0x00 。由点 x0 , y0在曲线 c 上，则 y0x033x022x0 ，x0y0x0 23x02 。又 y 3x26

3、 x2 ，在x0 , y0处 曲 线 c 的 切 线 斜 率 为x0kf x03x 26x02，x2 3x02 3x26x02 ，整理得： 2x03x00 ，解得：000x03或 x00 （舍），此时，y03k112，。所以，直线 l 的方程为 yx ，切点坐标8441最新资料推荐是 3 ,3。28答案：直线 l 的方程为 y1 x ，切点坐标是3,3428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 fxax 33x 2x 1在 r 上

4、是减函数，求a 的取值范围。解析： 函数 f x的导数为f x3ax 26x1。对于 xr 都有 f x0 时， fx 为减函数。由3ax 26x10 x r可得a012a0，解得 a3 。所以，当 a 3时，函数 f x 对36x r 为减函数。38 。（ 1） 当 a3 时， f x3x33x2x 1 3 x139由函数 yx3在 r上的单调性，可知当a3 是，函数 fx 对 xr 为减函数。（ 2） 当 a3 时，函数 fx 在 r 上存在增区间。所以，当a3 时，函数 fx 在 r 上不是单调递减函数。综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a3 。答案： a3点评：本题考查导数在函数单调性

5、中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数 f ( x)2 x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值。（ 1）求 a、 b 的值；（ 2）若对于任意的x0，3 ，都有 f (x)c2 成立，求c 的取值范围。解析：（ 1）f (x)6x26ax3b ，因为函数f ( x) 在 x1 及 x2取得极值，则有 f(1)0 ，f (2)0 即6 6 a3b0 ，3， b4。24 12 3a0 b，解得 a（ 2）由（）可知，f ( x)2x39x212 x 8c ， f (x)6 x218 x 126( x1)(x2) 。当 x (01)， 时

6、， f( x)0 ；当 x(12)， 时， f ( x) 0 ；当 x(2，3) 时， f( x)0 。所以，当 x1 时，f (x) 取得极大值f (1) 58c ，又 f (0)8c ， f (3) 98c 。则当 x0，3 时， f ( x) 的最大值为2最新资料推荐f (3) 98c 。因为对于任意的x0，3 ，有 f ( x)c2恒成立，所以98cc2 ，解得c1 或 c9 ，因此 c 的取值范围为 (， 1)(9，) 。答案：（ 1） a3 ， b4 ；（ 2） (， 1)(9，) 。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx 的极值步骤：求导数f x ；求 f x0 的根

7、；将 f x0 的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x 的极值。考点六：函数的最值。例 7.已知 a 为实数， fxx24xa 。求导数 f x；（ 2）若 f 10 ，求 fx在区间2,2上的最大值和最小值。解析： （ 1） fxx 3ax 24x4a ，f x3x22ax4 。（ 2） f 13 2a 4 0 ，a1 。 f x3x2x 43x 4 x 124令 f x0 ，即 3x 4x10 ，解得 x1 或 x， 则 fx 和 f x 在区间2,2 上随 x 的变3化情况如下表：x22,11444,221,333f x00fx0增函数极大值

8、减函数极小值增函数0f9450。 所 以 ， f x在 区 间4501，f272,2 上 的 最 大 值 为 f， 最 小 值 为23327f91。2答案：（ 1） f x3x 22ax4 ；（ 2）最大值为f450，最小值为f19。3272点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 fx在区间 a, b上的最值， 要先求出函数fx 在区间 a, b上的极值，然后与f a 和 fb 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设函数 f ( x)ax3bxc ( a0) 为奇函数， 其图象在点 (1, f (1)处的切线与直线x6y70 垂3最新资料推荐直，导函数

9、f(x) 的最小值为12 。（ 1）求 a ， b ， c 的值；（ 2）求函数 f ( x) 的单调递增区间，并求函数f (x) 在 1,3上的最大值和最小值。解析：（1） f ( x) 为奇函数， f (x)f (x) ，即ax3bx cax3bxc c0 ， f ( x)3ax 2b 的最小值为12， b12 ，又直线 x6 y70 的斜率为1 ，6因此， f (1)3ab6 ， a2， b12， c0 （ 2） f ( x)2x312 x 。f ( x)6x2126( x2)( x2)，列表如下：x( ,2)2(2,2)2( 2,)f ( x)00f ( x)增函数极大减函数极小增函数

10、所以函数f (x)的单调增区间是 (,2)和 ( 2,) ， f (1)10， f (2)82 ，f (3)18 ， f ( x) 在 1,3 上的最大值是f (3) 18 ，最小值是f ( 2)82 。答案：（ ），b12，c0；（2）最大值是f (3)18 ，最小值是f (2)82。1 a 2点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一）选择题1.已知曲线 yx21 ，则切点的横坐标为（a）的一条切线的斜率为42a 1b 2c 3d 42.曲线 yx33x 21在点（ 1， 1）处的切线方程为（ b）a y 3x 4 b

11、 y3x 2 c y4x 3 d y 4x 53.函数 y(x1)2 (x1) 在 x1处的导数等于（ d）a 1b2c3d 44最新资料推荐4.已知函数 f(x)在 x 1处的导数为 3, 则 f (x) 的解析式可能为（a）a f ( x)( x1)23( x 1)b f ( x) 2( x1)c f ( x)2(x 1) 2d f (x)x 15.函数 f ( x)x3ax 23x 9 ，已知 f ( x) 在 x3 时取得极值，则a =（ d）（ a ） 2（ b） 3（ c） 4（d ） 56.函数 f ( x)x33x21是减函数的区间为 ( d)（） (2,) （） (, 2)

12、（） (,0) （） (0, 2)7.若函数 f x x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f x 的图象是（a）yyyyoxoxoxoxbcda8.函数 f ( x)2x21 x3 在区间 0 , 6 上的最大值是（a）332b 16c 12d 9a 339.函数 y x33x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 mn 为（a ）a 0b 1c 2d 410.三次函数 f xax 3x 在 x,内是增函数，则（a）a a 0b a 0c a 1d a1311.在函数 yx38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是4（ d）a 3b 2c 1d 012.函数 f (

13、 x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数f (x) 在开区间(a,b) 内有极小值点（a）yyf ( x)a 1 个b 2 个c3 个d 4 个5boax最新资料推荐（二）填空题13.曲线 yx 3 在点 1,1处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为 _ 。14.已知曲线 y1x34，则过点 p(2, 4)“改为在点 p(2, 4) ”的切线方程是 _3315.已知 f ( n ) ( x) 是对函数 f (x) 连续进行 n 次求导， 若 f ( x) x6x5 ，对于任意 x r，都有 f (n) (x) =

14、0，则 n 的最少值为。16.某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元次， 一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨（三）解答题17.已知函数 f xx 3ax 2bx c ，当 x1时，取得极大值7；当 x 3 时，取得极小值求这个极小值及 a, b, c 的值18. 已知函数f ( x)x33x 29xa.（ 1）求 f (x) 的单调减区间；（ 2）若 f (x) 在区间 2， 2. 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.19. 设 t0 ，点 p（ t ， 0）是函数f ( x)x 3ax与 g (x)bx 2c 的

15、图象的一个公共点，两函数的图象6最新资料推荐在点 p 处有相同的切线。（ 1）用 t 表示 a,b,c ；（ 2）若函数yf ( x)g (x) 在（ 1， 3）上单调递减，求t 的取值范围。20. 设函数fxx3bx2cx(xr) ，已知 g ( x)f ( x)f (x) 是奇函数。（ 1）求 b 、 c 的值。（ 2）求 g( x) 的单调区间与极值。21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？7最新资料推荐22. 已知函数f ( x)1 x3 1 ax2 bx 在区间 11

16、)， ， (13， 内各有一个极值点3 2（ 1）求 a2 4b 的最大值；（ 1）当 a24b8 时 ，设 函数 yf (x) 在点 a(1， f (1)处 的切 线为 l ， 若 l 在点 a 处 穿过函 数y f ( x) 的图象（即动点在点 a 附近沿曲线 y f (x) 运动，经过点 a 时，从 l 的一侧进入另一侧） ，求函数 f ( x) 的表达式强化训练答案：1.a2.b 3.d 4.a 5.d 6.d7.a 8.a9.a10.a 11.d 12.a（四）填空题13.8y4x4 015.716.2014.3（五）解答题17.解： f x3x22axb 。据题意， 1，3 是方程

17、 3x22axb0 的两个根，由韦达定理得132a133b38最新资料推荐 a3, b9 f xx33x29xc f17 ， c2极小值 f 33333293225极小值为 25， a3, b9 ， c2 。18. 解：（ 1） f( x)3x26x9.令 f(x)0 ，解得 x1或 x3,所以函数 f ( x)的单调递减区间为 (, 1), (3,).（ 2）因为 f ( 2)81218 a2a,f (2)8 1218a 22 a,所以 f (2)f ( 2). 因为在（ 1，3）上 f( x)0，所以f ( x) 在 1，2 上单调递增，又由于f ( x) 在 2， 1 上单调递减，因此f

18、 (2) 和 f (1) 分别是f (x) 在区间2,2上的最大值和最小值. 于是有 22a 20 ，解得a2.故 f (x)x 33x29 x2.因此 f ( 1) 1 3 9 27,即函数 f (x) 在区间2,2上的最小值为 7.19. 解：（ 1）因为函数 f (x) ， g (x) 的图象都过点（t ，0），所以 f (t )0 ，即 t 3at0 . 因为 t0, 所以 at 2.g(t)0,即 bt 2c0, 所以 cab.又因为 f ( x) ， g( x) 在点（ t ，0）处有相同的切线，所以f(t)g (t ).而 f ( x) 3x 2a, g (x)2bx, 所以 3

19、t 2a2bt .将 at 2 代入上式得 bt .因此 cabt 3 . 故 at 2 ， bt ， ct 3 .（ 2） yf ( x)g( x)x 3t 2 x tx 2t 3 , y3x22tx t 2(3x t )( x t) .当 y(3xt )( xt )0时，函数 yf (x)g( x) 单调递减 .由 y0 ，若 t0,则tx t ；若 t0,则 txt.33由题意，函数yf (x)g( x) 在（ 1， 3）上单调递减，则( 1,3) (t , t )或 (1,3)(t,t ). 所以 t3或t3.即 t9或 t3.3339最新资料推荐又当9t3时，函数yf ( x) g

20、( x) 在（ 1， 3）上单调递减 .所以 t 的取值范围为 (,93,).20. 解：（ 1） fxx3bx2cx ， fx3x22bxc 。从而g (x)f ( x)f( x)x3bx2cx(3 x22bxc) x3(b3) x2(c 2b) x c 是一个奇函数，所以g (0)0得 c0，由奇函数定义得b 3；（ 2）由（）知g ( x)x36x ，从而 g ( x)3x26 ，由此可知，(,2) 和 (2,) 是函数 g(x) 是单调递增区间；(2,2)是函数 g( x) 是单调递减区间；g( x) 在 x2时，取得极大值，极大值为42， g(x) 在 x2时，取得极小值，极小值为4

21、 2 。21. 解：设长方体的宽为 x （m），则长为 2x (m) ，高为1812xx x3h4.53 (m)0.42故长方体的体积为v x 2x 2 4.5 3x 9x26x3 m30 x32从而 v (x)18x18x 2 (4.53x)18x(1x).令 v x0 ，解得 x0 （舍去）或 x1 ，因此 x 1.当 0 x1时， v x0 ；当 1 x30 ，时， v x2故在 x1处 vx 取得极大值，并且这个极大值就是v x 的最大值。从而最大体积 vv x9 12613m3，此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m 3。22.解 ： （ 1 ） 因 为 函 数 f (x)1x31ax2bx 在 区 间 1，1 )， (13， 内 分 别 有 一 个 极 值 点 ， 所 以32f( x)x2axb0 在 11)， ， (13， 内分别有一个实根，设两实根为 x1，x2 （ x1x2 ），则 x2xa24b ，且0 x2x1 4 于是10a24b 4 ， 0a24b 16 ，且当 x11，x23 ，即 a2 ， b3 时等号成立故 a24b 的最大值是 16（ 2）解法一：由