控制工程基础-第二章-控制系统的动态数学模型

1、第二章 控制系统的数学模型,2.0 系统数学模型的基本概念 2.1 基本环节数学模型 2.2 数学模型的线性化 2.3 拉氏变换和拉氏反变换 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数 2.5 系统函数方框图及其简化 2.6 系统信号流图及其梅逊公式 2.7 受控对象数学模型 2.8 绘制实际物理系统的函数方块图 2.9 控制系统数学模型的MATLAB实现,本章要熟悉下列内容: (1)建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机)的数学模型及模型的线性化 (2)重要的分析工具:拉氏变换及反变换 (3)经典控制理论的数学基础:传递函数 (4)控制系统的图形表示:方块图及信号流图 (5)建立实际

2、机电系统的传递函数及方块图 (6)系统数学模型的MATLAB实现,建立控制系统的数学模型,并在此基础上对控制系统进行分析、综合,是机电控制工程的基本方法.如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来,就得到了组成物理系统的数学模型. 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础.而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础.而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型,是列写传递函数和状态空间方程的基础.,2.0 系统数学模型的基本概念,数学模型:是描述系统输入、输出量以及内部变量之间关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系.,建

3、立数学模型的方法 解析法:依据系统及元件各变量间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式,建立模型. 实验法:人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型进行逼近.这种方法也称为系统辨识. 数学模型应能反映系统内在的本质特征,同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑. 数学模型的形式 时间域:微分方程、差分方程和状态方程 复数域:传递函数和函数方块图 频率域:频率响应特性,2.1 基本环节数学模型,2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统,机电控制系统的受控对象是机械系统. 较大惯性的构件:抽象为质量块 较小惯性且柔度较大的构件:抽象为弹簧 这样受控对象的机械系统可抽象为质量-

4、弹簧-阻尼系统,进给传动装置 (a)结构示意图; (b)等效力学模型,(a)结构示意图,(b)等效力学模型,机械系统中以各种形式出现的物理现象,都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素:,组合机床动力滑台及数学模型,控制系统微分方程的列写,质量:假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计,运动部件的质量是集中参数.则运动部件产生的惯性力为:,弹簧:设弹簧的变形在弹性范围内,k为弹性刚度,则弹性力为:,对于不同的弹簧,受力相同,变形量不同.,阻尼:阻尼器的阻尼力为,机械平移系统(质量-弹簧-阻尼系统),式中:m、D、k通常均为常数,故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述. 显然,微分方程的系数取决于系

5、统的结构参数,而阶次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量.,根据牛顿定律:,可整理,此即机械平移系统以外力f(t)为输入信号,位移xo(t)为输出信号的运动方程式,即数学模型.,弹簧-阻尼系统,当质量M很小可忽略不计时,系统的运动方程变为一阶常系数微分方程.,1,机械旋转系统,J -旋转体转动惯量;k-扭转刚度系数;D-粘性阻尼系数.,此即机械旋转系统以齿轮角位移为输入信号,角位移o(t)为输出信号的运动方程式,即数学模型.,2.1.2 电路网络,电路网络由三个基本元件:电阻、电容和电感.,电阻:,电容:,电感:,R-L-C无源电路网络,一般R、L、C均为常数,上式为二阶常系数微分方

6、程.,若L=0,则系统简化为:,此即R-L-C串联电路的数学模型,它描述了输入ui(t)和输出uo(t)之间的动态关系.,有源电路网络,2.1.3 电动机,基尔霍夫定律,电磁感应定律,牛顿第二定律,为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型,系统输入是电动机电枢输入电压,输出是电机轴转角. 当电枢电感较小时,通常可忽略不计,系统微分方程可简化为二阶系统:,消去中间变量,得到,复杂数学模型建立的一般步骤 (1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统和各元件的输入、输出量; (2)从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方程; (

7、3)消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程; (4)标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列.,a0 ,a1,a2,an和b0,b1,bm为由系统结构参数决定的实常数,mn.,单输入、单输出线性系统的微分方程的数学模型的一般形式如下:,2.2 数学模型的线性化,数学模型线性化问题的提出: (1)几乎所有的实际物理系统都是非线性的:机械系统中的高速阻尼器,阻尼力与速度的平方有关;齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性. (2)非线性系统的理论还不完善,求解非线性系统也很复杂. (3)线性系统的理论相当成熟:将非线性系统简化为线性系统,利用线性系统理论解决非线性系

8、统是解决问题的一个方法. 实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作范围内成立.为分析方便通常在合理条件下将非线性系统简化为线性系统处理.,泰勒级数展开法:函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近 的泰勒级数展开式为:,非线性系统数学模型的线性化方法,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项,则:,或：y -y0 = y = Kx，,由于反馈系统不允许出现大的偏差,因此,这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义.,对多变量系统,如:y = f (x1, x2),同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程.,实例:单摆运动线性化,解:根据牛顿第二定律:,将非线性项sin0,在0= 0

9、点附近泰勒展开,实例:阀控液压缸,液压缸工作腔流量连续性方程：,液压缸力平衡方程：,2.3 拉氏变换及反变换,对于利用微分方程表达的数学模型形式,手算是很麻烦的. 利用拉氏变换,可将微分方程转换为代数方程,使求解大为简化,故拉氏变换成为分析机电控制系统的基本数学方法之一.,2.3.1 拉氏变换定义,函数x(t)的拉普拉斯变换定义为:,其中s=+j(, 均为实数),拉氏变换存在的条件: (1)当t0时,x(t)在每个有限区间上是分段连续的;(2)存在一正实数,使得:,拉氏反变换,L1为拉氏反变换的符号.,X(s)称为函数x(t)的拉普拉氏变换或象函数,它是一个复变函数;x(t)称为X(s)的原函

10、数;L为拉氏变换的符号.,2.3.2 简单函数的拉氏变换,1.单位阶跃函数(1(t),单位阶跃函数的拉氏变换: 幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为:,2.指数函数,（a为常数）,指数函数的拉氏变换:,3.正弦函数和余弦函数,正弦函数的拉氏变换:,余弦函数的拉氏变换:,4.单位脉冲函数 (t) P28 例2-1,由洛必达法则：,2,5.单位斜坡函数,单位斜坡函数的拉氏变换:,斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为:,6.单位加速度函数,7.幂函数,函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏 变换表直接或通过一定的转换得到。,拉氏变换积分下限的说明:在某些情况下,函数x(t)在t0处有一个脉冲函数.这时必须明确拉氏

11、变换的积分下限是0-还是0+,并相应记为:,2.3.3 拉氏变换的性质,1.叠加原理,显然,拉氏变换为线性变换.,若 Lx1(t)=X1(s), Lx2(t)=X2(s) 则 Lax1(t)+bx2(t)=aX1(s)bX2(s),2.微分定理,3,当x(t)在t=0处具有间断点时,dx(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数.故若x(0+)x(0-), 则:,零初始条件(当x(0)=0,x(1)(0)=0,x(n1) (0)=0时),3.积分定理,当初始条件为零时,若x(0+)x(0-), 则,同样:,当初始条件为零时:,4.衰减定理,Leat x(t)=X(s + a), a为实数,例:,

12、5.延时定理,有:Lx(t a)1(t a) = eas X (s),6.初值定理,初值定理建立了函数x(t)在t=0处的初值与函数sX(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系.,7.终值定理,x(t)稳定值与sX(s)在s=0时的值相同.,8.时间比例尺改变的象函数,即若一个函数在时间上展宽(或压缩)a倍,则它的象函数在复平面上向原点将收缩(或伸展)a倍.,证明:,例:,9. tx(t)的象函数,证明:,同理,10. x(t)/t 的拉氏变换,证明:,12.卷积分的象函数,证明:,2.3.4 拉氏反变换,拉氏反变换公式:,直接求解复杂,不便于工程应用. 对于大多数控制系统,可避免积分,而是利用部

13、分分式展开,化象函数为拉氏变换常见的形式,查表得到原函数.,如果 x(t)的拉氏变换X(s)已分解成为下列分量: X(s)=X1(s)+X2(s)+Xn(s) 假定X1(s) , X2(s) , ，Xn(s)的拉氏反变换可以容易地求出,则 L-1X(s) = L-1X1(s)+L-1X2(s)+L-1Xn(s) = x1(t) + x2(t) + + xn(t),部分分式法思想:,例2-3 试求如下式子的拉氏反变换:,在控制系统中,拉氏变换X(s)可写成下列一般形式:,因式分解:,式中,-p1,-p2, -pn称为X(s)的极点,任何实系数多项式 因式分解,因式的形式?,(1)实根 (2)复数

14、根,1、只含不同单极点的情况,例 求 的拉氏反变换,解,4,2、含共轭复数极点的情况,a1和a2的值可由下式求解:,例2-5:,即:,例2-6:,3、含多重极点的情况,例2-7: 的拉氏反变换,2.3.5 利用拉氏变换求解微分方程,将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程; 解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表达式; 应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解.,例2-8: 解方程 其中,解:将方程两边取拉氏变换,得:,2.4 传递函数以及典型环节的传递函数,在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比.,零初始条件:t0时,输入量、输出量及其各阶导数均为0.,传递

15、函数有以下特点: (1)传递函数是复数s域中的系统数学模型,其参数仅取决于系统本身的结构及参数,与系统的输入形式无关. (2)传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性.即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性. (3)比微分方程简单,通过拉氏变换,实数域复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算; (4)输入典型信号时,其输出与传递函数有一定对应关系,当输入是单位脉冲函数时,输入的象函数为1,其输出象函数与传递函数相同； (5)令传递函数中的s=j,则系统可在频率域内分析(详见第四章); (6)G(s)的零极点分布决定系统动态特性.,微分方程: 设初始条件为零,对上式进

16、行拉氏变换得: 传递函数:,质量-弹簧-阻尼系统的传递函数,微分方程: 设初始条件为零,对上式进行拉氏变换得: R-L-C电路的传递函数:,R-L-C无源电路网络的传递函数,特征方程、零点和极点,D(s)=0称为系统的特征方程,其根称为系统的特征根.特征方程决定着系统的动态特性.D(s)中s的最高阶次等于系统的阶次.,将G(s)写成零极点形式:,式中,N(s)=K(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,m),称为传递函数的零点; D(s)=(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j= 1,2,n),称为传递函数的极点; 系统传递函数的极点就是系统的特征根

17、.零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数.,零、极点分布图 将传递函数的零极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图.图中,零点用“O”表示极点用“”表示.,系统传递函数可以写成:,传递函数表达式包含七种不同的因子,即:,比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,一阶积分环节 (惯性环节),二阶积分环节 (振荡环节),5,2.4.1 比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量,两者成比例关系.,其运动方程为:,传递函数:,齿轮传动副,运算放大器,2.4.2 一阶积分环节(惯性环节),输出量变化落后于输入量变化(含有储能元件) 运动方程式: 传递函数:,无源滤波电路,

18、弹簧-阻尼系统,2.4.3 微分环节,理想微分环节:输出量正比于输入量的导数. 运动方程为: 传递函数为:,测速发电机,无负载时:,输入与输出的量纲不一样,对于相同量纲的理想微分环节在物理上是难以实现,近似微分环节: 实例:RC串联微分电路显然无源微分网络包括有惯性环节和微分环节,称之为惯性微分环节,只有当|Ts|1时,才近似为微分环节.,无源微分网络,除了上述微分环节外,还有一类一阶微分环节其传递函数为,微分环节的输出是输入的导数,即输出反映了输入信号的变化趋势,从而给系统以有关输入变化趋势的预告.因此,微分环节常用来改善控制系统的动态性能.,输出量与输入量呈积分关系. 微分方程式: 传递函

19、数:,2.4.4 积分环节,有源积分网路,积分环节特点: 输出量取决于输入量对时间的积累过程.且具有”记忆” 功能. 具有明显的滞后作用.如当输入量为常值A 时,由于 输出量须经过时间T才能达到输入量在t= 0时的值A.积分 环节常用来改善系统的稳态性能.,含有两个独立的储能元件,且所存储的能量能够相互转换,从而导致输出带有振荡的性质. 运动方程为: 传递函数:,2.4.5 二阶积分环节(振荡环节),R-L-C振荡电路,运动方程为:,传递函数:,无源R-L-C网路,质量-弹簧-阻尼系统,运动方程为:,传递函数:,质量-弹簧-阻尼系统,P68： 2-1 (6) (7)，2-2 (5)，2-5；

20、P70： 2-9 (c) ，2-10 (b) 与第一次作业一起3月27日交(星期二),作 业,2.5 系统函数方块图及其简化,系统方框图是系统控制系统的动态数学模型的图解形式.可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程. 注意:即使描述系统的数学关系式相同,其方框图也不一定相同.,方块图的基本单元,图中指向方块的箭头表示输入,从方块出来的箭头表示输出,箭头上表明了相应的信号,G(s)表示其传递函数.,比较点,比较点:它代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件,对于相减的元件又称为比较器,用符号“”及相应的信号箭头表示,每个箭头前方的“+”或“-”

21、表示加上此信号或减去此信号.,引出点,引出点:它表示信号引出和测量的位置,同一位置引出的几个信号,其大小和性质完全一样.,串联,并联,反馈,Xo(s)= G (s) E (s ) E (s) = Xi (s) B(s) B(s) = H(s) Xo(s),方块图变换法则,1、求和点的移动,方块图变换法则遵守两条规律: (1)各前向通路传递函数的乘积保持不变; (2)各回路传递函数的乘积保持不变.,2、引出点的移动,方块图简化,基本思路:利用等效变换法则,移动求和点和引出点,消去交叉回路,变换成可以运算的简单回路.,例2-19:试化简下图所示系统的方块图,并求系统传递函数.,解:(1) A点后移

22、,(2)消去G6(s)反馈回路,(3)消去G5(s)反馈回路,(4)消去G7(s)反馈回路,6,2.6 系统信号流图及梅逊公式,信号流图:起源于梅逊(S. J. MASON)利用图示法来描述一个和一组线性代数方程,是由节点和支路组成的一种信号传递网络.,节点:表示变量或信号,其值等于所有进入该节点的信号之和.节点用“”表示.,支路:连接两个节点的定向线段,用支路增益(传递函数)表示方程式中两个变量的因果关系.支路相当于乘法器.信号在支路上沿箭头单向传递. 例:,输入节点(源点):只有输出的节点,代表系统的输入变量.,输出节点(阱点、汇点):只有输入的节点,代表系统的输出 变量.,系统方框图,信

23、号流图,混合节点:既有输入又有输出的节点.若从混合节点引出一条具有单位增益的支路,可将混合节点变为输出节点.,通路:沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径.,前向通路:从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不多于一次的通路.前向通路上各支路增益之乘积,称前向通路总增益,一般用pk表示.,回路:起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路.回路中所有支路增益之乘积称为回路增益,用La表示.,不接触回路:相互间没有任何公共节点的回路.,信号流图的绘制(两种方法) (1)由系统方框图绘制信号流图 (2)由系统微分方程绘制信号流图:根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似.,例子:根据方框

24、图绘制信号流图,系统方框图,信号流图,例2-20:根据微分方程绘制信号流图,取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo(s)作为信号流图的节点,其中,Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点.按上述方程绘制出各部分的信号流图,再综合后即得到系统的信号流图.,梅逊公式,式中, P 系统总传递函数 n 从源节点到汇节点的前向通道数; Pk 第k条前向通路的传递函数(通路增益) 流图特征式,例子:用梅逊公式求系统传递函数,对于二阶RC电路网络,输入Ui(s)与输出Uo(s)之间只有一条前向通路,其传递函数为:,三个不同回路的传递函数分别为:,流图特征式为:,前向通路特征式的余因子为:1 = 1,所以,例2-21:用梅逊公式求系统传递函数,P69：2-7 P72：2-18 P75：2-26 (b) 4