现代控制技术-第二讲New-现代控制理论基础--状态方程建立

1、第九章 现代控制理论基础,第九章 现代控制理论基础,第九章 现代控制理论基础,第九章 现代控制理论基础,9.1 概 述,现代控制理论是在20世纪50年代末，60年代初发展的。,当经典控制理论不能应对此类问题的挑战时现代控制理论便应运而生了。,第九章 现代控制理论基础,现代控制理论的优点,它采用状态空间描述，不仅可以刻画系统的输入输出关系，而且还揭示了系统内部的特性，如能控性、能观性等,9.1 概 述,它提供了对控制系统进行分析和设计的系统化方法，可以方便地使用矩阵论等强有力的数学工具，并结合计算机高速处理信息的能力，对设计者的经验依赖较少。,第九章 现代控制理论基础,9.1 概 述,现代控制理

2、论应用范围,现代控制理论成为研究动态系统的重要工具之一。,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,微分方程和传递函数只能够描述系统的输入输出关系，而对系统的内部结构不提供任何信息。如下图所示,其微分方程数学模型,在零初始条件下，对其进行拉氏变换可得其传递函数,由左边两式只能得到输出与输入之间的关系，对系统的内部信息比如流过电感的电流却完全没有体现。控制理论发展到20世纪50年代末60年代初，产生了一种新的能满足对复杂系统的内部结构(信息)有要求的描述方法状态空间法。,图9-1 RLC电路,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,一、基本概念,状态变量：,状态

3、空间：,状态向量：,能够完全表征某系统运动状态的最小个数的一组变量 。,若这些状态变量写成向量 形式，则就称为此系统的状态向量。,状态规线：,若已知初始时刻时的状态，则随着时间的推移，将以为初始点在状态空间中描绘出一条轨迹。,以状态空间变量 为坐标所构成的维空间 。,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,系统的状态方程 ：,系统的输出与状态变量间及输入之间的函数关系式，称为系统的输出方程,由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程,输出方程：,状态方程和输出方程合起来完成了对一个系统完整的动态描述，称之为系统的状态空间表达式,状态空间 表达式：,第九章 现代控制

4、理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,例9-1 写出图9-1所示RLC网络的状态空间表达式。,根据基尔霍夫电压定律和电流定律,进而得两个含有状态变量的一阶微分方程组,(9-1),图9-1 RLC电路,解 以 和 作为此系统的两个状态变量，即令,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,式(9-1)就是图9-1系统的状态方程，若将状态变量用状态向量代替，则可得到,若指定 作为输出，输出一般用 表示，则输出方程为,(9-2),(9-3),式(9-2)和式(9-3)即为系统的状态空间表达式。,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,若改选 和 作为两个状态变量，

5、即令 可得状态方程,(9-4),比较式(9-2)和式(9-4)，显而易见，同一系统的状态变量选取不同，状态方程也不同。,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,例9-2 建立图9-2所示机械系统的状态空间表达式。,图9-2 机械系统示意图,解 根据牛顿定律，有,若f为粘性摩擦系数，k表示弹簧刚度，则,或表示成,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,若选择位移y和速度dy/dt为状态变量，位移y为输出，力F为输入，则,(9-5),则该机械系统的状态方程为,(9-6),输出方程为,(9-7),第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,二、状态空

6、间表达式的建立,1状态空间表达式的一般表示形式,设单输入-单输出定常系统，其状态变量为 ， ， ， ，则状态方程的一般形式为：,输出方程式则有如下形式：,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,用状态向量表示状态空间表达式则为：,(9-8),第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,对于一个具有r个输入，m个输出的多输入多输出系统，状态方程可表示为,输出方程有如下的一般形式：,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,多输入-多输出系统状态空间表达式的向量矩阵形式为,(9-9),第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,对于式(

7、9-8)和式(9-9)所描述的系统，它们的方框图分别如图9-3a和图9-3b所示。,从状态空间表达式和系统方框图都能清楚地说明：它们既表征了输入和输出对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态和输入对外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。,第九章 现代控制理论基础,9-2 控制系统的状态空间描述,2状态空间表达式的建立,用状态空间法分析系统时，首先要建立系统的状态空间表达式。求取表达式一般可以从三个途径求得：,一是由系统方框图来建立； 二是从系统的物理或化学的机理出发建立； 三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。,1) 方框图法 该法首先将系统的各

8、个环节变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量 ，其输入便是相应的 ；然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,例9-3 系统方框图如图9-4a所示，输入为u，输出为y。试求其状态空间表达式。,a),解 各环节的模拟结构如图9-4b所示。,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,从图9-4b可得,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,写成向量矩阵形式，系统的状态空间表达式为,2) 机理法 一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动、液压、热力等系统。根

9、据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，也很容易写出系统的输出方程。,其中，例9-1、例9-2即采用的机理法，在此就不再冗述。,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,3) 传递函数法 由系统的传递函数建立的状态空间表达式，既保持了原传递函数所确定的输入-输出关系，又可将系统的内部关系揭示出来。虽然得到的状态空间表达式非唯一，系统矩阵A的元素取值各有不同，但既为同一个系统的实现，其特征根必是相同的。,为了不失一般性，采用如下所示时间连续系统传递函数,(9-10),为了说明方便，先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶系统。设待实现的系统传递函数为,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,(9-11),式(9-11)可变换为,(9-12),令,则,第九章 现代控制理论基础, 9-2控制系统的状态空间描述,对上式两侧进行拉氏反变换，可得,第九章 现代控制理论基础, 9-2控