流体力学-第二章

1、流体静力学,电子教案,研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。,什么是平衡？,平衡包括两种： 1、绝对平衡：重力场中的流体平衡 流体对地球无相对运动； 2、流体的相对平衡 流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。,2.1 作用在流体上的力,1. 质量力,2. 表面力,定义：作用在流体质点上，大小与流体质点质量成正比的力，它是非接触力，有些教材也称为超常力。,2.1.1 质量力,另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可能受到其他一些非接触力，如电场力和磁场力，这些力虽然与流体质量无直接关系，在静力学分析中，仍把它们称为质量力。,定义：作用在流体表面上，且与表面积大小成正比 的力。 表

2、面力分为两种：一种是沿着表面内法线方向的压力，一种是沿着表面切向的摩擦力。 法向力（流体静压力）,2.1.2 表面力,切向力（平衡流体=0）,流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。,图21,归纳两点： 1、平衡流体内不存在切向应力，表面力即为 法向应力（即静压强）； 2、绝对平衡流体所受质量力只有重力，相对 平衡流体可能受各种质量力的作用。,流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大小、方向、作用点），单位符号是N，用大写字母 来表示。它的大小和方向均与受压面有关，方向是沿受压面内法线方向。,流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号Pa,用小写

3、字母p来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。,流体静压力和流体静压强区别,1、流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线方向。 2、流体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点的流体静压强在各方向等值，即 故 平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。 证明：在平衡流体中取出一微小四面体ABOC，考察其在外力作用下的平衡条件。,流体静压强两个重要特性,表面力,各个面上的静压力,ABC 斜面面积,质量力 若,则：,质量力在三个坐标方向上的投影, x 方向上的力平衡方程式（Fx= 0） px1/2dydz pn ABCcos(n,x) + 1/6dxdydz fx

4、 = 0 因ABCcos(n,x) = 1/2dydz (ABC在yoz平面上 的投影) 则： 1/2dydz ( px pn ) + /6dxdydz fx = 0 略去三阶微量 dxdydz. 可得： px = pn,同理： 在 y 方向上有 py = pn 在 z 方向上有 pz = pn 则有： px = py = pz = pn 即：平衡流体中某点处所受的静压强是各向同 性的。 静压强是一个标量。其大小由该点所处的空间位置决定。 p = p ( x、y、z ),2.2流体平衡微分方程式,2.2.1 流体平衡微分方程式的导出,从静止流体中取出一个边长为dx、dy、dz的微元平行六面体，

5、对其进行受力分析。,流体平衡微分方程导出示意图,1、质量力 dFmx = dxdydz fx dFmy = dxdydz fy dFmz = dxdydz fz,分析微小正平行六面体微团受力：,2、表面力 先讨论沿 x 轴方向的表面力。 形心A( x、y、z ) 处的静压强为pA( x、y、z ) 距A点 x 轴方向上 1/2dx 处的前、后两个面上的表面力分别为：,由于微元六面体处于平衡状态，故在X方向有： 化简，得 同理可求得y、z方向的平衡方程。,流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式 ）,矢量形式： 方程物理意义：在静止流体中，作用在单位质量流体上的 质量力与作用在该流体表面上的表面力相互

6、平衡。,欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用的一个基本公式，因为在推导过程中，质量力是空间任意方向，故它既适应于绝对静止，也适于相对静止。同时推导过程中也不涉及流体的密度是否发生变化，故它不仅适应于不可压缩流体，也适于可压缩流体。 流体静力学的一切其它计算公式都是以它为基础面推导出来的。,2.2.2 欧拉平衡方程式的综合形式,静压强的全微分, 质量力的势函数,有,结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处 于平衡状态。,2.2.3 等压面,1、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。,方程：,2、等压面的选取 （1）同种流体； （2）静止； （3）连续。,例1：1、2、3、4各点是否处在一个等

7、压面上？各点压强的大小关系如何。,液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。,互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。,2.3.1 不可压缩流体的静压强基本公式 综合方程： 现 故有： 积分有： 即： (静压强基本公式),2.3 重力场中的平衡流体, 重力作用下、连续、均质、不可压缩流体 的静压强基本公式（静力学基本方程）。,如图若 1、2 两点是流体中的任意两点，则上式 可写成 ：,Z：单位重力流体的位置势能 ：单位重力流体压强势能 物理意义：平衡流体中任意点的总势能（包括位置势能和压强势能）保持不变。 使用条件：重力场、不可压缩流体,（1）静

8、压强基本方程的物理意义,单位重力流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称水头。 Z ：位置水头 ：压强水头,（2）静压强基本方程的几何意义,流体的静水头线和计示水头线,流体静力学基本方程几何意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。,（3）静压强分布规律,1、2两点同种液体、静止、连续，且在同一高度，是同一等压面；（重力场中等压面是水平面） 2、3两点不满足连续条件，压强不一定相等； 3、4两点不满足同种液体条件，压强不一定相等； 事实上，,2.4 静压强的计算与测量,2.4.1 静压强的计算单位 流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa =1N

9、/m2 )， KPa, MPa 。应力单位多用于理论计算。 工程中习惯上用如下两种换算单位: 1)液柱高单位 液柱高 液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等, 多用于实验室计量 。 2 )大气压单位 1标准大气压(atm)=101325Pa=760mmHg 大气压单位多用于机械或航天行业 。,国外：bar (巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa,(1)绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大小。 (2)计示压强：以当地大气压为零计算的压强，比当地大气压大多少的压强，叫做计示压强或表压强。 (3)真空度：某点压强低于当地大气压，其低于

10、当地大气压的数值叫真空度。,2.4.2 静压强的计算标准,绝对压强、相对压强、真空度,绝对压强是以绝对真空为起点，其值恒大于0； 相对压强是以当地大气压为起点，其值可正可负，也可为0.相对压强又称计示压强； 相对压强小于0时，其数值的绝对值又称真空度。,真空度,金属式压力表 机械式,压力传感器 电测法,液柱式测压计 基于以静压强基本公式,2.4.3 静压强的测量,（1）测压管（最简单的液柱式测压计）,预测量容器（管道）中某点A压强，在容器（管道）该点处开一个小孔，接测压管（管内径一般大于5mm)，液体在压强作用下升高，可测出高度h ,继而得到A点的计示压强。 测压管测压计结构简单，测量准确。

11、但存在限制条件：1不能测气体压强；2.管内压强要大于当地大气压；3.测点A压强不能过高；,预测量容器中气体的真空度,容器中的真空度 P=gh,（2）U形管测压计,(a) p+1gh1= 2gh2 ，则计示压强 p= 2gh2 - 1gh1 (b) p+1gh1+ 2gh2=0 ，则真空度 p=1gh1+ 2gh2,（3）差压计 测量两点压差的仪器叫差压计。,取等压面1-1，列方程： p1+1gh1= p2+2gh2 +gh 则 p1 -p2 =2gh2 +gh- 1gh1,常用来测量两容器的压强差或管路中两点的压强差。,（4）倾斜式微压计（自己看）,测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。,实质：

12、应用几何原理测压。,例2. 为了测量高度差为z的两个水管中的微小压强差PB-PA,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U形管。已知A、B管中的液体相对密度d1=d3=1,倒U形管中液体相对密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，试求压强差PB-PA。,解：逐段采用压强公式，可算出：,例题3 如图所示测定装置，活塞直径d=35mm，油的相对密度d油=0.92,水银的相对密度d水银=13.6，活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15N时，h=700mm，试计算U形管侧压计的液面高度h值。（P35 例题2.2),例题4如下图所示，用双U形管测压计测量A、B两点的压差。已知:,2

13、.5 平衡流体对壁面的作用力,三峡船闸,2.5.1 作用在平面上的总压力(水平面、垂直面、斜面),（1）左侧壁面受力,（2）右侧壁面受力,（3）底面受力,平面受力计算公式： ：受力面形心点的压强 ：受力面面积,1、总压力,2、积分法求总压力及作用点,讨论与水平成 角的平面,则,（1）总压力,（2）总压力的作用点,各微总压力对y轴的力矩之和，等于其合力对y轴的力矩。,惯性矩定义,惯性矩移轴定理,总压力作用点D到y轴垂直距离,偏距,压力中心点总是低于形心点,曲面1,曲面2,曲面3,曲面4,曲面5,压力体,压力体,压力体,压力体,压力体,例题5：绘出曲面压力体图，并标出垂直分力的方向,例题6：如图为

14、一贮水容器，器壁上有三个半球形盖，设d=0.5m，h=2m，H=2.5m。试求作用在每个球盖上的液体总压力。,解：1、底盖 底盖左右两部分曲面在铅垂平面上的投影面积相同，故两部分水平分力大小相等方向相反而抵消。所以液体总压力，就等于垂直分力： F1=gV= g【d2/4 (H+h/2) + d3/12】 =7063（N） 由于V为实压力体，故F1的作用方向垂直向下，且通过压力体中心。 2、顶盖 水平分力为零，总压力等于垂直分力。 F2=gV= g【d2/4 (H-h/2) - d3/12】 =2568（N） 由于V为虚压力体，故F1的作用方向垂直向上，且通过压力体中心。 3、侧盖 液体总压力由

15、垂直分力及水平分力合成，即； FZ3= g d3/12=321（N） (向下） 由于V为实压力体，故 FZ3的方向垂直向下，且通过压力体中心。 Fy3= gHAy=4813（N） （这样即可，要写成合力的形式，则要求进一步求出合力的方向）,例7 如图所示一弧形闸门，半径R=7.5m，挡着深度 h=4.8m的水，其圆心角 。旋转轴的位置距底,为H=5.8m，闸门的水平投影CB=a=2.7m，闸门的宽度 b=6.4m。试求作用在闸门上的总压力的大小。,解 总压力的水平分力为,总压力的垂直分力为,解题过程和答案见教材,2.5.3 作用在沉没物体上的总压力,物体浸在液体中的位置有三种： (1)物体沉到

16、液体底部，此时物体为沉体； (2)物体潜入液体中的任何位置，此时物体为潜体； (3)物体浮在液体上，此时物体为浮体。 液体作用在潜体或浮体上的总压力叫浮力，浮力的作用 点叫浮心。,设有一任意形状的物体沉没在静止液体中，如图2.26所示,1、水平力 左半部曲面cad与右半部曲面cbd上 所受到的水平分压力 Fy1=Fy2,因而整个 潜体水平方向的流体静压力为零。,2、竖直力 整个潜体沿直方向的流体静压力大小为,综上所述，液体作用在沉没物体（潜体）上的总压力方向 垂直向上，大小等于沉没物体所排开的重量。该力又称作 浮力。这就是阿基米德原理。对于浮体，其浮力大小等于 物体浸没部分所排开液体的重量。,

17、例9 有一比重计其质量为40克，它是由体积V=15厘 米3的小球和外径d=2.5厘米的管子构成。将其放入煤油 中，已知煤油的密度为760千克/米3，求该比重计沉入煤 油中的深度h.,解：根据浮力定义比重计在煤油中所受的浮力为,比重计在图示情况下平衡时，其平衡条件为,则,相对平衡流体所受的质量力：重力 惯性力,2-6 液体的相对平衡,除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。,工程上

18、常见的流体的相对平衡有两种： 1、作匀加速直线运动容器中的液体； 2、作等角速旋转运动容器中的液体。, 2.6.1 恒加速度直线运动,边界条件:,等压面上,Euler 平衡方程,得,则,有,结论：等加速水平运动容器中的液体等压面是一组倾斜面。,例题：装有7cm深水的容器， 1、当以 ax=7m/s2旋转时，水是否能否溢出？ 2、计算A点压强。,It will not spill out !, 2.6.2 刚体旋转,结论：等压面是一组抛物面,等压面,讨论作等角速旋转运动容器内液体的相对平衡。,如图，盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴 z 以角速度作旋转运动，液体被甩向外周。 当旋转角速度稳定不变时，液

19、体形成如图所示的自由表面，液体质点之间不再有相对运动,液体连同容器作整体回转。如果将运动坐标系固结在回转容器上,且坐标原点取在自由液面的最低点，则液体对运动坐标系形成相对平衡。,容器作等角速回转运动,下面讨论其静压强分布规律和等压面方程。 单位质量力 单位质量液体所受质量力的各分量为： fx = 2 r cos= 2x fy = 2 r sin = 2y fz = g 式中：r 流体质点到旋转轴的距离； x、y r 在两水平坐标轴上的投影。,此时作用在液体上的质量力有两种： 重力 W = mg 虚构的离心惯性力 F = m2 r （方向与向心加速度的方向相反）,将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式， 可得： 2 x dx + 2 y dy g dz = 0,作不定积分得：,一、等压面方程 在等压面上 p = C 则 dp = 0 由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 0,或:,自由表面方程：