转化与化归的思想方法---应用篇

1、转化与化归的思想方法(1)-应用篇“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法.转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价

2、性，保证逻辑上的正确。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。一、转化与化归的几种情况. 概念和载体之间的相互转化 依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为

3、具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化. 【例】 函数极限的值为（）. 解： 本题借用函数极限的具体形式，旨在考查学生对导数定义的正确理解，因而转化为求函数y=ln在x=x0处的导数，故选. 2. 特殊和一般之间的转化 【例】数列an中，a1=，an+an+1（a1+a2+an）= . 解： 通过求猜想从而达到解决问题的目的.也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，原式，选. 利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力. 3. 变量与常量之间的转化 【例】 已知函数f（x）ln（x）+ax在开区间

4、（，）内是增函数. （1）求实数a的取值范围； （）若数列an满足a1（，），an+1=ln（an）+an（nN+），证明：anan+11. 分析： 若用函数单调性定义解题，难度大，若利用导数的性质转化为求f （x）在（，）上恒不小于零的充要条件，不难得出a1.（）问先用数学归纳法证明0an1，再根据题目的递推关系式与函数解析式的相似性进行联想转化，只须令a=1即可知道f（x）ln（2-x）+x在（，）上是增函数. 4. 曲直之间的转化 【例】 如图，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，求：（）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（）和

5、的长；（）平面与平面所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）. 解： （）正三棱柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，其对角线边长为. （）如上图，将侧面绕棱 旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线.设x，则x，在t中，由勾股定理得（x）2+22=29，求得x=2， . （）如图，连结，则就是平面M与平面的交线，作于，又平面，连结，由三垂线定理得. NHC就是平面N与平面所成二面角的平面角（锐角）.在tPHC中， P1， ，在t中，tanNHC=，故平面与平面所成二面角（锐角）的大小为arctan. 【点评】 翻折问题、对称问题一般采用

6、曲直互化，可以把立体问题平面化，解决问题时简捷、直观. . 数学各分支之间的转化 【例】 给定抛物线：y2=4x，是的焦点，过点的直线l与相交于、两点.（）设l的斜率为，求与的夹角的大小； （）设，求l在y轴上截距的变化范围. 解： （）（，），l:y=x-1，将其代入y2=4x消去y得x2-6x+1=0，设（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1，y1=x1-1，y2=x2-1，x1x2+y1y22x1x2-（x1+x2）+1=-3. 点坐标（，）或（，-）. 若点坐标为（，-），则直线l在y轴的截距b的表达式为b=f（）=（，）为减函数， 同理若点坐标为（，），则 【

7、点评】 在各地高考试题和模拟试题中各分支之间转化试题占很大的比重，像函数和不等式、向量和三角、向量和几何、函数和数列、导数和函数等都是相互转化的好素材.融向量、解析几何、函数、方程、不等式等知识于一体，有效地考查了学生分析问题和解决问题的能力，是一道考查学生综合素质的好题二、 转化与化归的思想方法的应用1. 立体几何中的转化思想高考中的立体几何试题常以多面体为载体，融线面关系于几何体之中，融推理论证于几何量的计算之中，因而蕴含丰富的数学思想方法，其中最重要的就是转化的思想方法.本文从以下几个方面来阐述.(1) 位置关系的转化与化归【例6】 设矩形，、分别为、的中点，以为棱将矩形折成二面角（如图

8、）.求证：平面E平面.解法1： 因为，平面，所以平面.同理平面.又，所以平面平面. 解法2： 因为，且，所以平面.同理平面.故平面平面.（2）. 空间向平面转化 【例7】 如图，在正四棱柱中，为上使的点.平面交于，交的延长线于.求： （）异面直线与所成的角的大小； （）二面角的正切值. 解: （）由知为异面直线与所成的角.连结.因为和分别是平行平面和与平面的交线，所以. 由此可得 由，得 在RtCG中， 所以. （）作于，连结 由三垂线定理知，故为二面角即二面角的平面角. 在RtGHD中， ，所以 注： 实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展开法和辅助平面法等.（3

9、）. 割补转化 【例8】 如图3，三棱锥中，已知，n，与的公垂线h，求证：三棱锥的体积n2h. 此题证法很多，下面用割补法证明如下： 解法： 如图，连结、. 因为，所以平面，又， 所以 解法：如图以三棱锥的底面为底面，侧棱为侧棱，补成三棱柱，连结、，则易证平面， （4） . 等积转化 【例9】 如图，已知是棱长为a的正方体，、分别为棱与CC的中点，求四棱锥的体积. 解： 易证四边形是菱形，连结、，则 【例10】 球O的半径为r，、是球面上三点，弧、的度数分别是、.求球夹在二面角间部分的体积. 解析： 此题难点在于空间想象，比较抽象.题目条件即，然后给出图形（如图所示），于是题意即可想象为用刀沿

10、二面角将一个西瓜切下一块，则这一块西瓜的体积为整个体积的2. 解析几何中的转化和化归【例11】 如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、三点，且以、为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围. 分析： 这是给出双曲线上一点的参数（与双曲线有关两定点的有向线段的分点比）范围，求离心率的取值范围，此题是年高考的一道压轴题，它蕴含着多种数学思想方法，若避开这些数学思想方法硬解，一定会劳而无功.现在我们从转化、方程、函数的思想方法来考虑.通过转化寻找点坐标与 的关系，通过转化寻找双曲线方程与的关系，再运用方程与函数的思想方法寻找离心率e与的关系.这里转化思想是起主导作用的. 解： 运用转化思

11、想，首先建立直角坐标系，将问题放到直角坐标系里来处理.以的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图.依题意，设c，梯形的高为h，则、的坐标依次为（c，0），（，h），从而点（x0，y0）中的 即.再运用方程的思想，设双曲线方程为=1，则. 、的坐标分别为代入双曲线方程，得 化简得，将它视为的函数，则函数e2=f（）在（，）上是增函数.事实上，设-， 【例12】.已知定点（，），（，），满足条件的点的轨迹是曲线，直线y=kx-1与曲线交于、两点. （）求k的取值范围； （）如果，且曲线上存在点，使求m的值和的面积. 解： （）由双曲线的定义可知，曲线是以（，），（，）为焦点的双曲线的

12、左支，且c=，a=1，易知b=1，曲线的方程为x2-y2=1（x0）.设（x1，y1），（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0又由已知直线与双曲线左支交于两点，有 （）（略） 【点评】 解析几何是用代数的方法研究几何问题，这要求我们要善于将几何条件等价地转化为代数条件，本题的（）问关于k的不等式组就是将直线y=kx-1与曲线交于、两点转化来的.【例13】 （如图）椭圆：=1，直线l：，是l上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足2，当点在l上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解： 设点、的坐标为：（x，y），（x，y），（xP，yP）. 把关系式

13、投影到x轴上，得又设的方程为y=kx， 轨迹的参数方程，k为参数. 消去k， 化为标准方程 当点在y轴上时，k不存在，此时，点的坐标（，）满足方程，因此点的轨迹是以（，）为中心，长轴平行于x轴，长、短半袖分别为的椭圆（除去点（，）. 【点评】 将条件投影到x轴上是求解本题及简化运算的关键. 解答数学问题，有时采用以退为进的策略，如对于空间的问题转化为平面的问题来处理；对于平面的问题，通过投影转化为直线的问题，对于高次的问题通过换元转化为低次的问题来解决3、数列中的转化和化归【例14】 数列an满足a1=1且an+1= （）用数学归纳法证明：an2（n2）； （）已知不等式ln（x）0成立，证明

14、：ane2（n1）.其中无理数e.71828. 分析与求解： （）证明：（）当n=2时，a2=22，不等式成立. （）假设当n=k（k2）时不等式成立，即ak（k），那么 这就是说，当n=k+1时不等式成立. 根据（）、（）可知：an对所有n成立. （）要证明ane2（n），就要证明lnan2，这就涉及到题设的不等式ln（1+x）0）的最小值. （）若关于x的方程log4x2=log2（x+4）-a的根在区间（，）内时，求实数a的取值范围.分析： 对函数的定义域、值域，可用其概念化归为不等式或不等式组.对方程根的分布，用等价命题的转化，也可化归为不等式或不等式组.不论哪一种化归必须注意的是：等

15、价转化，即要注意不等式或不等式组成立的条件. 解： （）函数，x3=8，即x=2时，y有最小值为. 说明： 该题要注意的是：x0的条件必须具有应用a+b+c的条件：即a，b，c0；拆项时必须均匀拆项.即3x=x+x.若3x=2x+x.那么应用基本不等式取等号的条件就不能成立，2x=x=的x值取不到. （）方程log4x2=log2（x+4）-a变形为a=log2（x+4）-log4x2（x0， 即4+a+b0，4-2a+b0， a-（b），a4+b， 2a0，4-2a+b0， f（）0，f（）0， 由f（x）=x2ax+b的图象可知，f（x）0的每个实根或者均在区间（，）之内，或者均在区间（，

16、）之内，或者均在区间（，）之内. 若两根、均在区间（，）之内，或者均在区间（，）之内，则有而这与已知条件矛盾， 、均在区间（，）之内. 即 【点评】 本题充分抓住“三个二次”之间的内在联系，将二次方程实根的研究等价地转化为对二次函数图象的研究与讨论，整个解题过程充满转化与化归.【例18】 在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点，使取得最大值. 解： 如图，此题转化为正切函数来解.设点的坐标为（，a）点的坐标为（，b），ab0，又设所求的点的坐标为（x，），x0，则，显然，0， 令，那么当x=时，y取得最小值，因此，当x=时，tan

17、取得最大值. 在（，）内tan是增函数，当x=时，取最大值arctan.故所求点的坐标为（，）. 【点评】将求角的最值问题等价地转化为三角函数最值问题是求解本题的关键.小结:有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析后，可以找到一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题的思路.【例19】 若正数a、b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围. 解析： 此题若由ab=a+b+3想直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然ab成立，当且仅当a=b时取等号.把等式ab=a+b+3转化为关于ab的不等式：ab，这是关键的一步.解不等

18、式（） 得，或（舍去） ab即ab的取值范围是ab.【点评】 “遇困难，要转化”，这是解题的基本思想方法，本题在a、b为正数的条件下，运用基本不等式a+b，将等式转化为不等式，通过解不等式求得ab 的取值范围，这里有一定的技巧，但也含有思维的基本规律.【例20】.设x、yR且3x2y6x，求xy的范围。【分析】 设kxy，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。【解】由6x3x2y0得0x2。设kxy，则ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其对称轴为x3。由0x2得k0,4。所以xy的范围是：0xy4。【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。xy的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为xyk，代入椭圆中消y得x6x2k0。由判别式368