导数复习经典例题分类(含答案)

1、最新资料推荐导数解答题题型分类之拓展篇（一）编 制 : 王 平审 阅：朱成2014-05-31题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 f ( x) 0 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数） ；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（ f ( x)g( x) 恒成立h( x) f (

2、x) g (x) 0 恒成立）；参考例 4；例 1.已知函数 f (x)1x3bx22x a ， x 2 是 f (x) 的一个极值点3（）求 f (x) 的单调递增区间；（）若当 x1, 3 时， f ( x) a22恒成立，求 a 的取值范围3例 2. 设 f ( x)2x2, g (x) ax 5 2a( a 0) 。x1（1）求 f ( x) 在 x0,1 上的值域；（2）若对于任意x1 0,1 ，总存在 x00,1 , 使得 g(x0 )f ( x1 ) 成立 , 求 a 的取值范围。1最新资料推荐例 3. 已知函数 f (x)x3ax2 图象上一点 p(1,b) 的切线斜率为 3

3、，g (x) x3t 6 x2(t1)x3(t0)2（）求 a,b 的值；（）当 x 1,4 时，求 f (x) 的值域；（）当 x1,4 时，不等式 f ( x) g(x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。例 4. 已知定义在 r 上的函数f (x) ax32（a）在区间2,1上的最大值是，最小值是2axb05 11.（）求函数f ( x) 的解析式；（）若 t 1,1 时， f (x） tx0 恒成立，求实数x 的取值范围 .例 5.已知函数 f ( x)x 3图象上斜率为 3的两条切线间的距离为2 10 ，函数a 25g (x)3bx 23 f ( x)a 2（1） 若函数 g( x)

4、在 x1处有极值，求 g( x) 的解析式；（2） 若函数 g( x) 在区间 1,1 上为增函数，且 b 2mb 4g( x) 在区间 1,1 上都成立，求实数m 的取值范围2最新资料推荐题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；经验 1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f ()0 ( )0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立x或 fx问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0 的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在 0 的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向

5、要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考 08 年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布， 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（ a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；经验 2：函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋

6、势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6已知函数 f ( x)1 x3( k 1) x 2 ， g (x)1kx ，且 f ( x) 在区间 (2, ) 上为增函数323k 的取值（ ）求实数 k 的取值范围；（ ）若函数 f ( x)与 g (x) 的图象有三个不同的交点，求实数12范围例 7. 已知函数 f (x)ax33x213 .a（i ）讨论函数 f ( x) 的单调性。（ii ）若函数 yf (x) 在 a、b 两点处取得极值，且线段ab与 x 轴有公共点，求实数a 的取值范围。3最新资料推荐例 8已知函数 f

7、(x) x3ax2 4x 4a，其中 a 为实数( ) 求导数 f (x) ； ( ) 若 f ( 1) 0，求 f(x) 在 2，2 上的最大值和最小值；( ) 若 f(x) 在( ， 2 和2 ， ) 上都是递增的，求a 的取值范围例 9. 已知：函数 f ( x)x3ax 2（i ）若函数 f ( x) 的图像上存在点（ii ）若函数 f (x) 在 x 1和 x 范围 .bxcp ，使点 p 处的切线与 x 轴平行，求实数 a, b 的关系式；3 时取得极值且图像与x 轴有且只有 3 个交点，求实数 c 的取值例 10设 yf ( x) 为三次函数，且图像关于原点对称，当x1 时， f

8、 (x) 的极小值为 12（）求 f (x) 的解析式；（）证明：当 x (1, ) 时，函数 f ( x) 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0例 11在函数 f (x)ax3bx(a 0) 图像在点（ 1， f （ 1）处的切线与直线 6x y 70. 平行，导函数 f (x) 的最小值为12。（ 1）求a、b 的值；（ ）讨论方程 f ( x)m 解的情况（相同根2算一根）。4最新资料推荐导数解答题题型分类之拓展篇（二）编 制 : 王 平审 阅：朱 成 2014-06-01例 12已知定义在 r上的函数( )3(, ,)f ( x) 取得极大值，f1 时，3x axbx c abc r

9、，当 xf (0) 1.（）求 f ( x) 的解析式；（）已知实数 t 能使函数 f (x) 在区间 (t, t3) 上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数 t 组成的集合为 m.请判断函数 g( x)f ( x) (x m ) 的零点个数 .x例 13. 已知函数( )33(1) 22 24,若( )的单调减区间为（， ）f xkxkxkf x0 4（i ）求 k 的值；1,1, 关于 x的方程 2 x2（ii ）若对任意的 t5xa f (t ) 总有实数解，求实数 a 的取值范围。例 14. 已知函数 f (x) ax3bx 2x( x r,a,b 是常数 ) ，且当 x1和

10、x 2 时，函数 f ( x) 取得极值 .（）求函数 f (x) 的解析式；（）若曲线 yf ( x) 与 g( x)3x m( 2 x 0) 有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围 .例 15. 已知 f (x) x3 bx2 cx2若 f(x) 在 x 1时有极值 1，求 b、 c 的值；若函数 yx2x5的图象与函数 y k2 的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围x5最新资料推荐例 16.设函数 f (x)1 x3 x 2 ax ， g (x) 2x b ，当 x 12 时， f ( x) 取得极值 .3（1）求 a 的值，并判断f (12) 是函数 f ( x) 的极大值

11、还是极小值；（ 2）当 x 3,4 时，函数 f (x) 与 g (x) 的图象有两个公共点，求b 的取值范围 .题型三：函数的切线问题；经验 1：在点处的切线，易求；经验 2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式） ；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例 17. 已知函数 f ( x)ax 3bx 2cx 在点 x0 处取得极小值 4，使其导数f ( x)0 的 x 的取值范围为 (1,3) ，求：（ 1） f (x) 的解析式；（ 2）若过点 p( 1,m) 可作曲线 y f (x) 的三条切线，

12、求实数 m 的取值范围例 18.已知 f (x)x3ax24x （ a 为常数）在 x2 时取得一个极值，（ 1）确定实数 t 的取值范围，使函数f ( x) 在区间 t,2 上是单调函数；（ 2）若经过点 a（2，c）（ c8 ）可作曲线 yf ( x) 的三条切线，求 c 的取值范围6最新资料推荐题型四：函数导数不等式线性规划结合；例 19. 设函数 g( x)1 x3 1 ax 2 bx(a,b r) ，在其图象上一点 f ( x, y) 处的切线的斜率记为 f ( x) 3 2(1) 若方程 f ( x) 有两个实根分别为 -2 和 4，求 f ( x) 的表达式；(2) 若 g( x

13、) 在区间 1,3 上是单调递减函数，求 a2 b2 的最小值。例 20. 已知函数 f ( x)1 x3ax 2bx(a, b r)311) 处的切线的斜率为（1）若 yf ( x) 图象上的是 (1,4, 求 y f ( x) 的极大值。3（2） yf ( x) 在区间 1,2上是单调递减函数，求 ab 的最小值。例 21. 已知函数 f ( x)mx 3nx 2 （ m ， nr ， mn 且 m0 ）的图象在 (2,f (2) 处的切线与 x轴平行 .(i) 试确定 m 、 n 的符号；(ii)若函数 yf ( x) 在区间 n, m 上有最大值为 mn2 ，试求 m 的值 .7最新资

14、料推荐题型五：函数导数不等式的结合例 22. 已知函数 f xab x0 ，其中 a, b r .xx（）若曲线 y f x在点 p 2, f2 处的切线方程为 y3x 1 ，求函数 f x 的解析式；（）讨论函数 f x 的单调性；（）若对于任意的 a1 ,2，不等式 f x 10 在 1,1上恒成立，求 b 的取值范围 .24例 23. 已知函数 f ( x)1321(x r, a ， b 为实数）有极值，且在 x1处的切线与直线3 xax bxx y 1 0 平行 .（1）求实数 a 的取值范围；f ( x) 的极小值为，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，（ ）是否存在实数 a，使得

15、函数21请说明理由；例 24. 已知函数f x1 ax31 x2cx d（ 、 ）满足且f ( x) 0 在 r()f (0) 0, f (1)04acd r3上恒成立。（1）求 a、c、d 的值；（2）若 h( x)3 x2bxb1 ，解不等式 f ( x) h(x)0 ；424例 25. 设函数 f ( x)x(xa)2 （ x r），其中 ar（1）当 a1 时，求曲线 yf ( x) 在点（ 2， f (2)）处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 f ( x) 的极大值和极小值；（3）当 a3 时，证明存在 k 1,0 ，使得不等式 f ( k cos x) f (k 2cos2

16、x) 对任意的 xr恒成立。8最新资料推荐导数解答题题型分类之拓展篇答案 2014-05-31题型一 例 1、解：（） f ( x)x22bx 2 . x2是 f ( x) 的一个极值点， x 2 是方程 x22bx20的一个根，解得 b3 .令 f (x)0 ，则 x223x20 ，解得 x1或 x 2 .函数 yf ( x) 的单调递增区间为 (, 1) ， (2,+) .（）当 x (1,2) 时 f ( x)0 ， x (2,3)时 f (x)0 ， f ( x) 在（ 1， 2）上单调递减， f (x) 在（ 2，3）上单调递增 . f (2) 是 f ( x) 在区间 1 ， 3上

17、的最小值，且 f (2)2a .若当 x1, 3 时，要使 f ( x)a22 恒成立，只需f (2) a2 2 ， 即 232 ，解得 03a a2a1.3332x22x2例 2、解： (1)4x( x1)4x0在 x0,1 上恒成立 .法一 :( 导数法 ) f ( x)1)2( x1)2(x f ( x) 在0,1 上增， f ( x) 值域 0,1 。2x20, x02, x (0,1, 复合函数求值域 .法二 : f ( x)1x 11xx22x22( x1)24( x1) 22( x1)法三 : f ( x)x1x 1(2) f (x) 值域 0,1， g( x)ax52a(a0)

18、 在 x由条件 , 只须 0,152a,552a0a ，24 用 对号函数求值域 .x10,1 上的值域 52a,5a .5a4 .5 a1例 3、解：（） f / (x) 3x22ax f / (1)3，b1a2解得a3b2（）由（）知，f (x) 在 1,0 上单调递增，在 0,2上单调递减，在 2,4上单调递减又f ( 1)4, f (0)0, f ( x) minf (2)4, f ( x) maxf (4)16 f (x) 的值域是 4,16（）令 h(x)f (x)g ( x)tx2(t1)x3x1,42，即 t ( x2要使 f (x)g( x) 恒成立，只需 h(x)02x)2

19、x6（1）当 x1,2)时 t2 x6 ,解得 t1 ；（2）当 x2 时tr ；x22x（3）当 x(2,4 时 t2x6 解得 t8 ；综上所述所求 t的范围是 ( , 1 8,)x22x例 4、解：（）f ( x) ax32ax2b,f ( x)3ax24axax(3x 4)令 f ( x) =0, 得 x10, x242,13因为 a0 ，所以可得下表：x2,000,19最新资料推荐f( x)+0-f ( x)极大因此f (0)必为最大值 , f（0） 5因此 b5 ，f ( 2)16a 5,f (1)a 5,f (1)，f ( 2)即 f ( 2)16 a511 ， a1 ， f (

20、 x） x 32x 25.（） f(x)3x 24x ， f(x） tx0 等价于 3x 24 xtx0 ， 令 g(t )xt3x24x ，则问题就是 g(t )0 在 t1,1上恒成立时，求实数 x 的取值范围，为此只需g(1)0g（，即01)3x 25x0，x2x0解得 0x1，所以所求实数 x 的取值范围是 0 ，1.例 5、解： f( x)3x2，由323有 xa ，即切点坐标为 (a, a) ， (a,a)a22 xa切线方程为 ya3( xa) ，或 ya3( xa) ，整理得3xy2a0 或 3xy2a0 |2a2a |210 ，解得 a1 ，f ( x)3， g( x)x33

21、bx3。（ ）g ( x)3x23b，32( 1) 25x1g (x) 在 x1处有极值， g (1)0，即3123b 0，解得 b1， g ( x)x 33x3（2）函数 g (x) 在区间 1,1上为增函数， g (x)3x 23b0 在区间 1,1上恒成立， b0，又 b 2mb4g(x) 在区间 1,1 上恒成立， b2mb4g(1) ，即 b 2mb443b ，m b3 在 b(,0 上恒成立， m3 m 的取值范围是 3,题型二答案：例 6 解：（1）由题意 f(x)x2(k1) x f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数， f ( x)x2(k1) x0在区间 (2,) 上恒

22、成立即 k1x 恒成立，又 x2 ， k12 ，故 k1 k 的取值范围为 k1（2）设 h( x)f ( x)g (x)x3(k21) x 2kx1 ，h ( x) x233(k 1)x k ( x k )( x 1)令 h ( x)0 得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1，当 k1时，h(x)(x1) 20，h(x) 在 r上递增，显然不合题意当 k1时，h( x)，h (x)随 x 的变化情况如下表：x(, k )k(k,1)1(1,)h (x)00h( x)极大值k 3k 21极小值k 16232由于 k10，欲使 f (x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点， 即方程 h(

23、 x)0有三个不同的实根，2k1k3k210 ，即 (k1)(k 22k2)0，解得 k13故需k 22k26230综上，所求 k 的取值范围为 k13例 7、解：（1）()326,得或2，当时，递增2递减2fxaxxf( x)0x10x2aa0(,0), (0,a),(a,)递增；10最新资料推荐当 a0 时x( ,0)0(0,2 )2(2 , )aaaf (x)+00+f ( x)增极大值减极小值增此时，极大值为 f (0)13 , 极小值为 f ( 2 )413 . 7 分aaa2a当 a0 时x( , 2)2( 2 ,0)0(0, )aaaf (x)0+0f ( x)减极小值增极大值减

24、此时，极大值为24133. 因为线段 ab与 x 轴有公共点所以f ( )2, 极小值为 f (0)1aaaaf (0) f ( 2 )0即 (a 3)( a4)(a1)0, 解得 a 1,0) 3,4aa3例 8、解：（） f (x) 3x 2 2ax 4（）由 f(1)0得 a1 ,f ( x)x31 x24x2. f( x)3x 2x 4 ，由 f( x)0得 x4或223x= 1又 f ( 4 )50 , f ( 1)9 , f (2)0, f (2)0,f ( x) 在 -2，2 上最大值 9 ，最小值503272227（） f (x)3x22ax4 ， 由题意知 f(2)0,4a8

25、0,f(2) 0,84a0,2a 2.22a2,6a6,6例 9、解：（i ）设切点 p (x , y)f (x)3x22axb|x x0,22axb0, 因为存在极3x值点，所以4 2120，即a23b。（ii）因为x1，x 3是方程 f (x)3x22axb0ab的根，所以 a3,b9，f (x)x33x29 xc 。f (x)3x26x9 3(x1)(x3),f(x)0, x3, x1；f (x)0,1x3f ( x) 在x1处取得极大值，在 x3 处取得极小值 .函数图像与 x 轴有 3 个交点，f ( 1)0，f (3)0c(5,27)例 10解：（）设 f ( x) ax3bx2c

26、x d (a0)其图像关于原点对称， 即 f ( x)f (x)得ax3bx2cxdax3bx2cxd b0d0， 则有f ( x)ax3cx由f (x)3ax2c， 依题意得f10 3ac0 ， f11 a1 c1由24282得 a4, c3故所求的解析式为： f ( x)4x33x. （）由 f ( x)12x230解得： x11(1 ,2或 x，(1,) x(1,) 时，函数 f ( x) 单调递增；设 x1, y1,x2 , y2是2211最新资料推荐x (1,) 时，函数 f ( x) 图像上任意两点，且 x2x1 ，则有 y2 y1 过这两点的直线的斜率y2y10.kx1x2例 11、解：（1） f ( x) 3ax2 b的最小值为6x y 7 0的斜率为 6,因此 f (1) 3a b （2）由（ 1）知 f (x) 2x3 12x, f ( x) 6xx(,2)2(f +0f （x）极大值所以，函数 f （ x）的单调增区间是(,12,b12,且a 0.(3) 又直线6,a2,b12.(6 )2126( x2)( x2) ，列表如下：2 ,2)2( 2, )0+极小值2 ) 和 (2 ,)f ( 1)10, f ( 2 )82, f (3)在x2上的极大值是f (2)