上海市杨浦区控江中学2016年高考数学模拟试卷(文科)(5月份) Word版含解析

1、2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一.填空题（每小题4分，共56分）.1集合A=x|x22x0，B=x|x21，则AB等于2函数y=的定义域是3已知函数f（x）=，则f1（1）=4若复数+b（bR）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为5等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为6已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=7若对任意正实数a，不等式x4+a恒成立，则实数x的最大值为8如图，水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为9对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C

2、的对称轴的夹角为若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为10已知实数x，y满足，则目标函数u=x+2y的取值范围是11函数f（x）=（2x1）+sin（2x1）的图象的一个对称中心的坐标是（只需要写出一个对称中心的坐标）12某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是13设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为14如图，l1，l2，l3是

3、同一平面内的三条平行直线，l2，l3在l1的同侧l1与l2的距离是d，l2与l3的距离是2d，边长为1的正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则d=二.选择题（每小题5分，共20分）.15下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）Ay=（）x+1By=ln（x+1）Cy=Dy=x+16角终边上有一点（1，2），则下列各点中在角的终边上的点是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）17一无穷等比数列an各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）ABCD或18正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H直线EG与FH的关系是（）A相交且垂直B

4、异面且垂直C相交且不垂直D异面且不垂直三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19已知复数1+3i、cos+isin（0，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点（1）若OAOB，求tan的值；（2）若B点的横坐标为，求SAOB20某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l2）假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元设该储油罐的建造费用为y千元（1）写出y关于r的函数表

5、达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）21已知fn（x）=xn+xn1+x1，x（0，+）n是不小于2的固定正整数（1）解不等式f2（x）2x；（2）试分别证明：函数f3（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点22如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=c交于点P，Q（1）若=2，求c的值；（2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛

6、物线有且仅有一个公共点（3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由23在数列an中，若a1，a2是正整数，且an=|an1an2|，n=3，4，5，则称an为“D数列”（1）举出一个前五项均不为零的“D数列”（只要求依次写出该数列的前五项）；（2）若“D数列”an中，a1=3，a2=0，数列bn满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，写出数列an的通项公式，并分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：设“D数列”an中的最大项为M，证明：a1=M或a2=M2

7、016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）.1集合A=x|x22x0，B=x|x21，则AB等于（1，2）【考点】并集及其运算【分析】化简集合A、B，求出AB即可【解答】解：集合A=x|x22x0=x|0x2=（0，2）；B=x|x21=x|1x1=（1，1）；所以AB=（1，2）故答案为：（1，2）2函数y=的定义域是（，0【考点】函数的定义域及其求法【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案【解答】解：由，得，2x0，即x0函数y=的定义域是：（，0故答案为：（，03已知函数f（x）=，则f1（1）=1

8、【考点】反函数；二阶矩阵【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出【解答】解：由f（x）=2x1，由反函数的性质知2x1=1，解得x=1所以f1（1）=1故答案为：14若复数+b（bR）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为0【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，b+1=1，解得b=0故答案为：05等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【考点】等比数列的性质【分析】先根据等差中项可知4S2

9、=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为6已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决【解答】解：=+，=故答案为：7若对任意正实数a，不等式x4+a恒成立，则实数x的最大值为4【考点】函数恒成立问题【分析】看成关于a的不等式：x4+a，只需求出右式的最小值即可，显然最小值大于4，可得

10、答案【解答】解：看成关于a的不等式：x4+a，a+4的最小值大于4，x4，故答案为48如图，水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由直观图判断其左视图为矩形，根据正视图可得三棱柱的底面为边长为2的正三角形，由此可得棱柱的侧棱长及底面三角形的高，代入矩形的面积公式计算【解答】解：由正三棱柱ABCA1B1C1的主视图是一边长为2的正方形得：三棱柱的底面为边长为2的正三角形，正三棱柱的左视图为矩形，矩形的高为棱柱的侧棱长，高为2，底边长为底面三角形的高，底边长为，左视图的面积S=；故答案为：29对于抛物线C，

11、设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为【考点】抛物线的简单性质【分析】设抛物线方程为y2=2px（p0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p则焦点到顶点的距离为【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x联立方程组，消元得y22pyp2=0y1+y2=2p，y1y2=p2直线l被抛物线解得弦长为=4=4，解得p=1F（，0）即抛物线C的焦点到顶点的距离为故答案为：10已知实数x，y满足，则目标函数u=x+2y的取值范围是2，4【考点】简单

12、线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（2，1）时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，为u=2+2=4，当直线y=x+经过点B（2，0）时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，为u=2，故2u4故答案为：2，4；11函数f（x）=（2x1）+sin（2x1）的图象的一个对称中心的坐标是（，0）（只需要写出一个对称中心的坐标）【考点】正弦函数的图象【分析】令2x1=t，将原函数转化为g（t）=t+sint，根据g（t）的奇偶性得

13、出对称中心【解答】解：令2x1=t，则f（x）=g（t）=t+sint，g（t）=t+sin（t）=tsint=g（t），g（t）是奇函数，g（t）关于（0，0）对称，令t=2x1=0，解得x=f（x）的一个对称中心为（，0）故答案为：（，0）12某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是【考点】等可能事件的概率【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A，首先计算4名学生选择3个专业，可能出现的结果数目，注意是分步问题，再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的

14、可能出现的结果数，结合等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：设“这3个专业都有学生选择”为事件A，由题知，4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，可能出现的结果共有34=81种结果，且这些结果出现的可能性相等，3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36，则事件A的概率为，故答案为：13设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为4x3y=0【考点】双曲线的简单性质【分析】过F2点作F2QPF1于Q点，得PF1F2中，PF2=F1F2

15、=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：PF2=F1F2=2c，根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2QPF1于Q点，则F2Q=2a，等腰PF1F2中，PQ=PF1=c+a，=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，解之得a=c，可得b=c=，得该双曲线的渐近线方程为y=x，即4x3y=0故答案为：4x3y=014如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l2，l3在l1的同侧l1与l2的距离是d，l2与l3的距离是2d，边长为1的正三角形ABC的三个顶点

16、分别在l1，l2，l3上，则d=【考点】点、线、面间的距离计算【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将RtBCF绕点B逆时针旋转60至RtBAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将RtBCF绕点B逆时针旋转60至RtBAD处，延长DA交L2于点G由作图可知：DBG=60，AD=CF=2d在RtBDG中，BGD=30在RtAEG中，EAG=60，AE=d，AG=2d，DG=4dBD=d在RtABD中，AB=d=1，d=故答案为：二.选择题（每小题5分，共20分）.15下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数

17、为（）Ay=（）x+1By=ln（x+1）Cy=Dy=x+【考点】函数的值域【分析】知道已知函数的值域是R，再观察四个选项的y的取值情况，从而找出正确答案【解答】解：函数y=x3的值域为实数集R，又选项A中y0，选项B中y取全体实数，选项C中的y1，选项D中y0，故选B16角终边上有一点（1，2），则下列各点中在角的终边上的点是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据诱导公式和点的对称即可求出【解答】解：角终边与角的终边关于x轴对称，（1，2）关于x轴对称的点为（1，2），故选：C17一无穷等比数列an各项的和为，第二项为，则该数列的公比为

18、（）ABCD或【考点】等比数列的性质【分析】设无穷等比数列an的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得【解答】解：设无穷等比数列an的公比为q，则，联立消去a1可得，整理可得9q29q+2=0，分解因式可得（3q2）（3q1）=0，解得q=或q=故选：D18正四面体ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点依次记为E，F，G，H直线EG与FH的关系是（）A相交且垂直B异面且垂直C相交且不垂直D异面且不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据中位线定理即正四面体的性质得出四边形EFGH是菱形，从而得出结论【解答】解：E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点EF，HGAC

19、，EHBD，FGBD，又AC=BD，四边形EFGH是菱形，EGFH，EG与FH相交故选：A三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19已知复数1+3i、cos+isin（0，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点（1）若OAOB，求tan的值；（2）若B点的横坐标为，求SAOB【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得的坐标，由OAOB得，代入坐标后整理可得tan的值；（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sinAOB，代入三角形的面积公式得答案【解答】解：（1）由

20、题可知：A（1，3），B（cos，sin），由OAOB，得，cos+3sin=0，；（2）由（1），记AOx=，|OB|=1，得，sinAOB=sin（）=SAOB=20某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l2）假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元设该储油罐的建造费用为y千元（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油

21、罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）【考点】组合几何体的面积、体积问题【分析】（1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；（2）令y80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值【解答】解：（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2=2rl于是定义域为（2）16r2+2r80，即，解得，经计算得V22.7（立方米）故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米21已知fn（x）=xn+xn1+x1，x（0，+）n是不小于2的固定正整数（1）解不等式f2（x）2x；（2）试分别证明：函数f3（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点【考点】根的存在性及根的

22、个数判断【分析】（1）根据函数的表达式求出当n=2时，f2（x）的表达式，即可解不等式f2（x）2x；（2）根据函数零点的判定条件进行证明即可【解答】解：（1）n=2时，由f2（x）2x得x2+x12x，即x2x10得x，故不等式的解集为，证明：（2），f3（1）=20（因f连续）故f（x）在上有零点又f在上增，故零点不会超过一个22如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=c交于点P，Q（1）若=2，求c的值；（2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一

23、个公共点（3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里xA=t0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2txt2求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2kxc=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=c，从而y1y2=x12x22=c2，由=2，可得c2c=2得c=2或1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ：x=，可得Q（，1）设，kQA=，由（1）可得x1x2=1，即有x2=，可得kQA=2x1，由y=x2的导数为y=2x，可得过A的切线的斜率为2x1，故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A（t，t2），这里xA=t0，由（2）知